1、考研数学一（线性代数）-试卷 21 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 - 2 ， 1 -2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.13.设 A 是秩为 n-1 的 72 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 )4.设
2、 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.5.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数忌 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出D.存在一组不全为零的数 k 1
3、，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 06.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s - s 线性相关B. 1 ， s 及 1 ， s 均线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ，
4、 1 - 1 ， s - s 线性无关7.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1C. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 18.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2
5、， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关D.以上都不对二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知 ABC=D，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 1 =1，0，-1，2 T ， 2 =2，-1，-2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，-1，-5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 - 2 ， 2 -k 3 ，
6、3 - 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 n 维向量组 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设四元齐次线性方程组()为 （分数：4.00）(1).求线性方
7、程组()的基础解系；（分数：2.00）_(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由（分数：2.00）_15.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 基础解系证明：AX=0 和BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_已知 1 =1，2，-3，1 T ， 2 =5，-5，a，11 T ， 3 =1，-3，6，3 T ， 4 =2，-1，3，a T 问：（分数：6.00）(1).a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关；（分
8、数：2.00）_(2).a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关；（分数：2.00）_(3).a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_已知 （分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表达式唯一；（分数：2.00）_(2). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表达式不唯一；（分数：2.00）_(3). 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_16.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，a n T ， 2 =a 11 ，a 22 ，a n2 T ， s =a 1s ，a 2s ，a
9、1ts T 证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_17.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_18.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_设 A 是 33 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 =
10、 1 + 2 （分数：4.00）(1).证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；（分数：2.00）_(2).求A（分数：2.00）_19.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_20.设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，若 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_21.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_考研数学一（线性代数）-试卷 21 答案解析(总分
11、：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 - 2 ， 1 -2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.1解析：解析：由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 - 2 )=A 1 -A 2 =b-b=0， A( 1 -2 2 + 3 )=A 1 -2A 2 +A 3 =b-2b+b=0， 3.设 A 是秩为 n-1 的 72 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0
12、的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 ) 解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由规 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 - 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 ， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 =- 2 0，则 1 ， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B)，(C)由于 1 2 ，必有 1 - 2 0
13、可见(D)正确4.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 A n x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n x)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 A n+1 x=0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，A n x 是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 n 维向量，而 n+1 个 n
14、维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是()的解，故正确，错误故选(B)5.n 维向量组 1 ， 2 ， s (3sn)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数忌 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量都线性无关C. 1 ， 2 ， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 D.存在一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使 k 1 1 +k 2 2 +k s s 0解析：解析：可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由 1 ，
15、2 ， s-1 线性表出，则 1 ， 2 ， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出，充分性：假设 1 ， 2 ， s 线性相关 6.设有两个 n 维向量组() 1 ， 2 ， s ，() 1 ， 2 ， s ，若存在两组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s ，使(k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k s - s ) s =0，则 ( )（分数：2.00）A. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s - s 线性相关 B. 1 ， s 及 1 ， s 均
16、线性无关C. 1 ， s 及 1 ， s 均线性相关D. 1 + 1 ， s + s ， 1 - 1 ， s - s 线性无关解析：解析：存在不全为 0 的 k 1 ，k 2 ，k s ， 1 ， 2 ， s 使得 (k 1 + 1 ) 1 +(k 2 + 2 ) 2 +(k s + s ) s +(k 1 - 1 ) 1 +(k 2 - 2 ) 2 +(k s - s ) s =0， 整理得 k 1 ( 1 + 1 )+k 2 ( 2 + 2 )+k s ( s + s )+ 1 ( 1 - 1 )+ 2 ( 2 - 2 )+ s ( s - s )=0，从而得 1 + 1 ， s + s
17、， 1 - 1 ， s - s 线性相关7.已知向量组() 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1B. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1C. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 + 4 ， 4 - 1D. 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 解析：解析：因(A) 1 + 2 -( 2 + 3 )+( 3 + 4 )-( 4 + 1 )=0； (B)( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 4 )+( 4 - 1 )=0； (
18、C)( 1 + 2 )-( 2 - 3 )-( 3 + 4 )+( 4 - 1 )=0，故均线性相关，而 1 + 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 ， 4 - 1 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 C 其中 8.设向量组() 1 ， 2 ， s 线性无关，() 1 ， 2 ， t 线性无关，且 i (i=1，2，s)不能由() 1 ， 2 ， t 线性表出， i (i=1，2，t)不能由() 1 ， 2 ， s 线性表出，则向量组 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s ( )（分数：2.00）A.必线性相关B.必线性无关C.可能线性相关，也可能线性无关 D
19、.以上都不对解析：解析：只要对两种情况举出例子即可 取 1 = 线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关； 取 1 = 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.已知 ABC=D，其中 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B -1 = ，B * =BB -1 ，且 B -1 =(A -1 DC -1 ) -1 =CD -1 A= 所以 10.设 1 =1，0，-1，2 T ， 2 =2，-1，-2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，-1，-5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t=
20、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：11.已知 3 维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 = 1 ， 2 ， 3 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 - 2 ， 2 -k 3 ， 3 - 1 线性无关的充要条件是 12.设 n 维向量组 1 ， 2 ， 3 满足 2 1 - 2 +3 3 =0，对于任意的 n 维向量 ，向量组 l 1 + 1
21、，l 2 + 2 ，l 3 + 3 都线性相关，则参数 l 1 ，l 2 ，l 3 应满足关系 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2l 1 -l 2 +3l 3 =0）解析：解析：因 l 1 + 1 ，l 2 + 2 ，l 3 + 3 线性相关 13.设 A 是 5 阶方阵，且 A 2 =O，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因 A 2 =AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A * =O，r(A * )=0三、解答题(总题数：12，分数：34.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
22、步骤。_解析：设四元齐次线性方程组()为 （分数：4.00）(1).求线性方程组()的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：线性方程组()的解为 )解析：(2).问线性方程组()和()是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组()的通解代入方程组()，得 )解析：15.设 1 ， 2 ， t 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 基础解系证明：AX=0 和BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性
23、由 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0 令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，则 0(否则 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =-l 1 1 -l 2 2 -l s s ，即非零向量 既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解，假设为 0，则
24、=k 1 1 +k 2 2 +k t t 且 =-l 1 1 -l 2 2 -l s s ，于是，存在 k 1 ，k 2 ，k t 不全为零，存在 l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0， 从而 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关)解析：已知 1 =1，2，-3，1 T ， 2 =5，-5，a，11 T ， 3 =1，-3，6，3 T ， 4 =2，-1，3，a T 问：（分数：6.00）(1).a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关；（分数：2.00）_正确答案：
25、(正确答案： 1 ， 2 ， 3 ， 4 )解析：(2).a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a4，a12 时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关；)解析：(3).a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=4 时， 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出得 4 = 1 + 3 )解析：已知 （分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表达式唯一；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 ， )解析：(2).
26、 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表达式不唯一；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=0 时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表达式不唯一；)解析：(3). 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=-3 时， 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：16.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，a n T ， 2 =a 11 ，a 22 ，a n2 T ， s =a 1s ，a 2s ，a 1ts T 证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1
27、， 2 ， s (线性无关)线性相关 (不)存在不全为 0 的 x 1 ，x 2 ，x s ，使得 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0 成立 )解析：17.已知 1 ， 2 ， s 线性无关， 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用反证法设 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量组 1 ， 2 ， i-1 ， i+1 ， s ， 线性相关，则存在不全为零的 k 1 ，k 2 ，k i-1 ，k i+1 ，k s ，k，使得 k 1 1 +k i-1 i-1 +
28、k i+1 i+1 +k s s +k=0 另一方面，由题设 =l 1 1 +l 2 2 +l i i +l s s ， 其中 l i 0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1 +kl 1 ) 1 +(k 2 +kl 2 ) 2 +(k i-1 +kl i-1 ) i-1 +kl i i +(l i+1 +kl i+1 ) i+1 +(k s +kl s ) s =0 因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，从而由 kl i =0，l i 0，故 k=0，从而由式得 k 1 ，k 2 ，k i-1 ，k i+1 ，k s 均为 0，矛盾 故 1 ， 2 ， s ， 中任意 s 个向量线性无关)解
29、析：18.已知向量组 1 ， 2 ， s+1 (s1)线性无关， i = i +t i+1 ，i=1，2，s证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0 成立，即 k 1 ( 1 +t 2 )+k 2 ( 2 +t 3 )+k s ( s +t s+1 ) =k 1 1 +(k 1 t+k 2 ) 2 +(k 2 t+k 3 ) 3 +(k s-1 t+k s ) a +k s t s+1 =0 因 1 ， 2 ， s+1 线性无关，故 )解析：设 A 是 33 矩阵
30、， 1 ， 2 ， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 （分数：4.00）(1).证明：A 1 ，A 2 ，A 3 线性无关；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 1 ，A 2 ，A 3 = 2 + 3 ， 1 + 3 ， 1 + 2 其中C= )解析：(2).求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 两边取行列式，得A= )解析：19.已知 A 是 n 阶矩阵， 1 ， 2 ， s 是 n 维线性无关向量组，若 A 1 ，A 2
31、 ，A s 线性相关证明：A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关，故存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =0， 即 A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=A=0 其中 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 成立，因已知 1 ， 2 ， s 线性无关，对任意不全为零的 k 1 ，k 2 ，k s ， 有 =k 1 1 +k 2 2 +k s s 0， 而 A=0 说明线性方程组 AX=0 有非零解，从而A=0，A 是不可逆矩阵)解析：20.设 A 是 nm 阶
32、矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，若 AB=E证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 证 B 的列向量线性无关，即证 B 列满秩，即证 r(B)=n 因 r(B)n(nm)，又 r(B)r(AB)=r(E)=n故 r(B)=n，所以 B 的列向量组线性无关 方法二 设 B= 1 ， 2 ， n ，其中 i (i=1，2，n)是 B 按列分块后的列向量 设 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，即 )解析：21.设 A 是 mn 矩阵，证明：存在非零的 ns 矩阵 B，使得 AB=O 的充要条件是 r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 r(A)n，AX=0 有非零解，将非零解 X 组成 B，则 BO，且有 AB=O 必要性 若 AB=O，其中 BO，设 B= 1 ， 2 ， s ，则 A i =0，i=1，2，5其中 i ，i=1，2，s，不全为 0，即 AX=0 有非零解，故 r(A)n)解析：
