【考研类试卷】考研数学一-206及答案解析.doc

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1、考研数学一-206 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)，g(x)在点 x=x0处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x 0)0，则Ax 0不是 f(x)g(x)的驻点.Bx 0是 f(x)g(x)的驻点，但不是 f(x)g(x)的极值点.Cx 0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点.Dx 0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点.（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x 0)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得A曲线 y=f(x)在(x

2、 0-，x 0+)是凹的.B曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的.C曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加. D曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少.（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 ，f(0，0)=0，则 f(x，y)在(0，0)处A不连续.B连续，但 不 .C连续且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 y=f(x)在1，3上单调，导函数连续，反函数为 x=g(y)，且 f(1)=1， ，则 _.A B C D（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足

3、 ABAC=E，则下列结论中不正确的是AA TBTATCT=E. BBAC=CAB.CBA 2C=E. DACAB=CABA.（分数：4.00）A.B.C.D.6.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本， ，S 2是样本均值与样本方差，则下列不服从 2(n-1)分布的随机变量是A B C(n-1)S 2. D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为A BCf 1(x)=f(x)+f

4、(-x). D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：4.00）填空项 1:_12.设有曲面 S：x 2+y2=a2(0za)，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在

5、该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(-，+)有连续的导数，且 f(0)=0，f(0)=1，（分数：10.00）_16.求 f(x，y，z)=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值.（分数：10.00）_17.设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证 f(x)满足不等式()0f(x)2(x1).() （分数：10.00）_18.设正项级数 是它的部分和. ()证明 收敛并求和；()证明级数 （分数：10.00）_19.设()求 与(

6、)求 （分数：10.00）_20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值.（分数：11.00）_21.已知 （分数：11.00）_22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球，现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：()(X，Y)的联合分布；

7、()cov(X，Y)+cov(Y，Z).（分数：11.00）_23.设随机变量 X 在0，2上服从均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立. ()求关于 a 的方程 a2+Xa+Y=0 有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值).()求 PX+2Y3.（分数：11.00）_考研数学一-206 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)，g(x)在点 x=x0处可导且 f(x0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x 0)0，则Ax 0不是 f(x)g(x)的驻点.Bx 0是 f(x)g(x)的驻点，

8、但不是 f(x)g(x)的极值点.Cx 0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极小值点.Dx 0是 f(x)g(x)的驻点，且是 f(x)g(x)的极大值点.（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由于 =f(x 0)g(x0)+f(x0)g(x 0)=0，因此 x=x0是 f(x)g(x)的驻点，进一步考察是否是它的极值点.由条件 f(x 0)g(x 0)0 f(x 0)0，g(x 0)0(或 f(x 0)0，g(x 0)0). 由及极限的保号性质 ，当 x(x 0-，x 0 +)，xx 0时x(x 0，x 0+)时f(x)0(0)，g(x)0(0)；x(x 0-，x 0)

9、时f(x)0(0)，g(x)0(0)x(x 0-，x 0+)，xx 0时f(x)g(x)0=f(x 0)g(x0)x=x0是 f(x)g(x)的极大值点，因此选 D.可特殊选取 f(x)=x-x0，g(x)=-(x-x 0)，则 f(x)，g(x)满足题中条件，显然 x=x0是 f(x)g(x)=-(x-x0)2的驻点，且是其极大值点，即对此 f(x)，g(x)，选项 A.B，C 不对，D 成立. 因此选 D.在题设下，已知 ，但不能求 f(x)g(x)的二阶导数(因为没假设 f(x)，g(x)二阶可导). 若我们加强条件，设 f(x)，g(x)在 x=x0处二阶可导=f(x 0)g(x0)+

10、2f(x 0)g(x 0)+f(x0)g(x 0)=2f(x 0)g(x 0)02.设 f(x 0)=0，f(x 0)0，则必定存在一个正数 ，使得A曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凹的.B曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的.C曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调减少，而在x 0，x 0+)单调增加. D曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0单调增加，而在x 0，x 0+)单调减少.（分数：4.00）A.B.C. D.解析： 由极限的不等式性质 ，当 x(x 0-，x 0+)且 xx 0时， 当 x(x 0-，x 0)时，f(x)0；当 x(x 0，x 0+)时

11、，f(x)0. 又 f(x)在 x=x0连续 f(x)在(x 0-，x 0单调增加，在x 0，x 0+)单调减少. 故应选 D.若 x0的某邻域(x 0-，x 0+)使得 f(x)f(x 0)(x(x 0-，x 0)，且 f(x)f(x 0)(x(x 0，x 0+)，则称 f(x)在 x0是下降的，由 在 x0是下降的，由此结论知， 在 x0下降，再由 f(x 0)=0，于是有结论 D.若 f(x 0)0，又 f(x)在 x=x0连续 ，x(x 0-，x 0+)时，f(x)0 f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的，但若 f(x 0)0，又 f(x)在 x0不连续3.设 ，f(0，0)=0，则

12、 f(x，y)在(0，0)处A不连续.B连续，但 不 .C连续且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：由，f(x，y)在(0，0)连续.由即 均 .现考察(因沿 y=-x 时取值为4.设 y=f(x)在1，3上单调，导函数连续，反函数为 x=g(y)，且 f(1)=1， ，则 _.A B C D（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一选 C.分析二函数 y=f(x)与反函数 x=g(y)表示同一条曲线，由定积分几何意义，有=曲边梯形 EDCF 的面积=矩形 OBCF 的面积-正方形 OADE 的面积-曲边梯形 ABCD 的面积5.设 A，B，C 是 n 阶矩阵，并满足 ABAC=

13、E，则下列结论中不正确的是AA TBTATCT=E. BBAC=CAB.CBA 2C=E. DACAB=CABA.（分数：4.00）A.B.C. D.解析：这一类题目要注意的是矩阵乘法没有交换律、有零因子、没有消去律等法则，由 ABAC=E 知矩阵A，B，C 均可逆，那么由ABAC=E ABA=C-1 CABA=E.从而(CABA) T=ET，即 ATBTATCT=E，故 A 正确.由 ABAC=E 知 A-1=BAC，由 CABA=E 知 A-1=CAB，从而 BAC=CAB，故 B 正确.由 ABAC=E CABA=E6.设矩阵 ，则下列矩阵中与矩阵 A 等价、合同但不相似的是A BC D

14、 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由可知矩阵 A 的特征值是 3，-3，0，故秩 r(A)=2，二次型 xTAx 的正、负惯性指数均为 1.A中矩阵的秩为 1，不可能与矩阵 A 等价；C 中矩阵的特征值为 3，-3，0，与矩阵 A 不仅等价、合同，而且也是相似的，不符合题意.对于 D，记其矩阵为 D，由7.设 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0，1)的简单随机样本， ，S 2是样本均值与样本方差，则下列不服从 2(n-1)分布的随机变量是A B C(n-1)S 2. D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 XiN(0，1)，故 ，由 2分布的可加性知 . 又 ，故

15、 . 所以 ，故A 正确，可知 B 不服从 2(n-1)分布，因此应选 B.又 ，说明 C 与 D 均服从 2(n-1)分布.8.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)，则随机变量|X|的概率密度 f1(x)为A BCf 1(x)=f(x)+f(-x). D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析一设|X|的分布函数为 F1(x)，则当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=0，从而 ；当 x0 时，F 1(x)=P|X|x=P-xXx=F(x)-F(-x)，故所以 因此，应选 D.分析二用排除法. 因为|X|0，故当 x0 时，必有 F1(x)=P|X|x=0，从而 f1(x)=0，所

16、以选项A，C 应排除. 对于选项 B，由于二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.质量为 M，长为 l 的均匀杆 AB 吸引着质量为 m 的质点 C，C 位于 AB 的延长线上并与近端距离为 a，已求得杆对质点 C 的引力 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：以 AB 为 x 轴，近端点为原点，正 x 轴指向 C. C 的坐标为 x，则杆对 C 的引力于是，C 从 r0移至无穷远时，引力作的功10.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：，其中 C 为任意常数. ）解析：将原方程改写为以 y 为自变量，x 为因变量，这是伯努利方程. 两边乘 x-2得以

17、 为未知函数，这是一阶线性的，两边再乘 得于是通解为 ，其中 C 为11.设 ，当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：由复合函数求导法，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数间的关系，把题设方程转化为 u(r)的常微分方程.u(x，y)是 u(r)与 的复合，注意由对称性将它们相加得因此 u=u(r)满足的常微分方程是12.设有曲面 S：x 2+y2=a2(0za)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：用 S 的方程简化被积表达式，并注意 S 关于 yz 平面，zx 平面均对称，被积函数对 x，y 均为

18、偶函数，于是其中 S1=Sx0，y0，投影到 yz 平面上，该题有如下变式：设有曲面 S：x 2+y2=a2(0za)，其面密度 (x，y，z)= 则该由面 S 的质量M=_. 13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 其中 k1，k 2，k 3不全为 0.由 BA=0 知 r(B)+r(A)3. 又由 B0 知 r(B)1. 显然 A 中有 2 阶子式非 0，知 r(A)2. 故必有 r(A)=2，r(B)=1. 由 ，得 a=1. 因 ATBT=0，所以齐次线性方程组 ATx=0 的解就是 B 的行向量，又由可知 ATx=0 的通解为 k(-1，1，1) T.故 ）解析：1

19、4.在以原点为圆心的单位圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则任意画的弦其长度大于 1 的概率为_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：如图弦 AB 与 x 轴垂直，设其交点为 x，依题意该交点在横轴 x 上的位置是等可能的，这是一个几何型概率问题. 设事件 C 表示“弦 AB 的长度|AB|大于 1”，依题意 C 的样本点集合为C=x：|AB|= ，样本空间 ：x：|x| ，()=2，则根据几何概率定义可得三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在(-，+)有连续的导数，且 f(0)=0，f(0)=1，（分数：10

20、.00）_正确答案：()因 x0 时显然 F(x)连续，要使 F(x)在(-，+)连续，只需 F(x)在 x=0 连续，即于是因此，()x0 时，由连续性运算法则及变限积分函数的连续性知，x0 时 F(x)连续，又，从而 F(x)在 x=0 也连续，因此 F(x)在(-，+)处处连续. )解析：f(0)=0，f(0) ，则上述证明中用到了一个结论：若 g(x)在 x=x0连续，又 g(x)在 x=x0的某空心邻域可导且则 g(x 0)=l(即 g(x)在 x=x0可导且 g(x)在 x=x0连续.若不用这个结论，求出 A=0 后，就要按定义先求出然后再按前面的方法证明16.求 f(x，y，z)

21、=2x+2y-z 2+5 在区域 ：x 2+y2+z22 上的最大值与最小值.（分数：10.00）_正确答案：(f(x，y，z)在有界闭区域 上连续，一定存在最大、最小值. 第一步，先求 f(x，y，z)在 内的驻点. 由 在 内无驻点，因此 f(x，y，z)在 的最大、最小值都只能在 的边界上达到.第二步，求 f(x，y，z)在 的边界 x2+y2+z2=2 上的最大、最小值，即求 f(x，y，z)在条件 x2+y2+z2-2=0下的最大、最小值.令 F(x，y，z，)=2x+2y-z 2+5+(x 2+y2+z2-2)，解方程组由， x=y，由 x=0 或 =1. 由 x=y，z=0 代入

22、 )解析：求解条件最值应用问题的方法是：1由实际问题提成条件最值问题(包括目标函数与约束条件)，必要时为简化计算转化为求解等价的问题.2用拉格朗日乘子法求解. 构造拉格朗日函数，转化为求解拉格朗日函数的驻点. 根据实际问题知道存在条件最大值或最小值，由求得的驻点可得相应的最值.17.设 1ab，函数 f(x)=xln2x，求证 f(x)满足不等式()0f(x)2(x1).() （分数：10.00）_正确答案：()求出f(x)在1，+)单调下降 f(x)f(1)=2(x1). ()方法 1引进辅助函数利用单调性证明不等式. 将 b 改为 x，考察辅助函数其中 1axb.由其中 . 又当 1ax

23、时 f(x)2，于是当 1ax 时即 G(x)在a，+)，从而 G(x)G(a)=0(xa)，特别有 G(b)0，即方法 2用泰勒公式，在 处展开，有分别取被展开点 x=a，b，得其中+得由题()，)解析：18.设正项级数 是它的部分和. ()证明 收敛并求和；()证明级数 （分数：10.00）_正确答案：()级数 的部分和 Tn易求出因为 (若正项级数 发散)，或 (是正数，若 收敛) (若 发散)，或(若 收敛).()考察级数 由 Sn与 an的关系：Sn=a1+a2+an-1+an，a n=Sn-Sn-1，将一般项 改写成只与 Sn有关，即因正项级数的部分和数列 Sn单调上升，上式可放大

24、成由题() 收敛，再由比较原理知， 收敛. 因此，原级数绝对收敛. )解析：19.设()求 与()求 （分数：10.00）_正确答案：()()因为可考虑用格林公式计算 J. 因为 P，Q 在点(-1，0)处没定义，所以不能在 C 围成的区域 D 上直接用格林公式. 但可在 D 中挖掉以(-1，0)为圆心，0 充分小为半径的圆所余下的区域中用格林公式见下图，求解如下：以(-1，0)为圆心 0 充分小为半径作圆周 (取顺时针方向)，C 与 C 围成的区域记为 D ，在 D上用格林公式得其中 取逆时针方向，用“控洞法”求得(*)式后，可用 C 的方程(x+1)2+y2= 2简化被积表达式，然后用格林

25、公式得其中 是 )解析：我们用 的参数方程x+1=cost，y=sint，t0，2来计算本题有如下变式：()分别讨论在 y0 与 x0 且(x，y)(-1，0)时积分 是否与路径无关.y0 是单连通区域，且有 因此 y0 中积分与路径无关.区域 D：x0，(x，y)(-1，0)不是单连通区域，此时还须求出某积分 是环绕(-1，0)的某闭曲线. 随()中已求出取 使得 包含在 D 中 一条闭曲线 使得在区域 D：x0(x，y)(-1，0)内不是与路径无关的.()分别讨论 y0 与 x0 且(x，y)(-1，0)时 Pdx+Qdy 是否 原函数，若 并求出原函数.注意 P，Q 在区域 D 连续时P

26、dx+Qdy 在 D 原函数 在 D 与路径无关. y0 是单连通区域，且有 因此 y0 中 Pdx+Qdy原函数Pdx+Qdy 的原函数为C 为 常数.x0 且(x，y)(-1，0)时 Pdx+Qdy 不20.设 A 是 n 阶反对称矩阵，()证明：A 可逆的必要条件是 n 为偶数；当 n 为奇数时，A *是对称矩阵；()举一个 4 阶不可逆的反对称矩阵的例子；()证明：如果 是 A 的特征值，那么- 也必是 A 的特征值.（分数：11.00）_正确答案：()按反对称矩阵定义：A T=-A，那么|A|=|AT|=|-A|=(-1)n|A|，即1-(-1) n|A|=0.若 n=2k+1，必有

27、|A|=0. 所以 A 可逆的必要条件是 n 为偶数. 因 AT=-A，由(A *)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(-A)*. 又因(kA) *=kn-1A*，故当 n=2k+1 时，有(A*)T=(-1)2kA*=A*，即 A*是对称矩阵. ()例如， )解析：21.已知 （分数：11.00）_正确答案：(由矩阵 A 的特征多项式得到 A 的特征值是 1=1-a，A 2=a， 3=a+1.由(1 -a)E-Ax=0，得到属于 1=1-a 的特征向量是 1=k1(1，0，1) T，k 10.由(aE-A)x=0，得到属于 2=a 的特征向量是 2=k2(1，1-2a，1) T，k 2

28、0.由(a+1)E-Ax=0，得到属于 3=a+1 的特征向量 3=k3(2-a，-4a，a+2) T，k 30.如果 1， 2， 3互不相同，即 1-aa，1-aa+1，aa+1，即 且 a0，则矩阵 A 有 3 个不同的特征值，A 可以相似对角化.若 即 )解析：不要错误地认为 A 必能对角化. 特征值含参数时，可能会有重根，因此要分析判断.当 a0 且时，请写出可逆矩阵 P 及对角矩阵22.有甲、乙、丙三个口袋，其中甲袋装有 1 个红球，2 个白球，2 个黑球；乙袋装有 2 个红球，1 个白球，2 个黑球；丙袋装有 2 个红球，3 个白球，现任取一袋，从中任取 2 个球，用 X 表示取到

29、的红球数，Y 表示取到的白球数，Z 表示取到的黑球数，试求：()(X，Y)的联合分布；()cov(X，Y)+cov(Y，Z).（分数：11.00）_正确答案：(解法一 ()用全概率公式求(X，Y)，(Y，Z)的联合分布，即有从而(X，Y)与(Y，Z)的联合分布与边缘分布可列表如下：() 于是 cov(X，Y)+cov(Y，Z)=(EXY-EXEY)+(EYZ-EYEZ)解法二 ()求(X，Y)的联合分布同解法一，但不求(Y，Z)的联合分布.()由 Z=2-X-Y，故cov(X，Y)+cov(Y，Z)=cov(X，Y)+cov(Y，2-X-Y)=cov(X，Y)-cov(Y，X)-cov(Y，Y

30、)=-DY又故 )解析：解法二显然比解法一简便得多，故在解题过程中要尽量利用随机变量间的关系简化计算. 如在该题中 cov(X，Y)+cov(X，Z)=-Dcov(X，Z)+cov(Y，Z)=-DZ 等在解法一中我们将(X，Y)，(Y，z)的联合分布同时求出来，是为了计算 cov(Y，Z)，若需要也可以同时求出(X，Z)的联合分布.23.设随机变量 X 在0，2上服从均匀分布，Y 服从参数 =2 的指数分布，且 X，Y 相互独立. ()求关于 a 的方程 a2+Xa+Y=0 有实根的概率(答案可用符号表示，不必计算出具体值).()求 PX+2Y3.（分数：11.00）_正确答案：()由于且 X，Y 相互独立，故方程 a2+Xa+y=0 有实根，则需要 X2-4Y0，即 故方程有实根的概率为()解析：