【考研类试卷】考研数学一-190及答案解析.doc

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1、考研数学一-190 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=xsinx+cox，下列命题中正确的是_。Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值Cf(0)是极大值， 也是极大值 Df(0)是极小值， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_。A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0C D （分数：4.00）A.B.C.D.3.若函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内

2、可导，且 f(x)g(x)，则必有_。Af(-x)g(-x) Bf(x)g(x)C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.已知级数 分别收敛于 a，b，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是_。AA-E 与 B-E 相似 BA 与 B 合同C|A-E|=|B-E| DA-E=B-E（分数：4.00）A.B.C.D.6.A=Amn，R(A)=r，b 为 m 维列向量，则有_。A当 r=m 时，方程组 Ax=b 有解B当 r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C当 m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D当 rn

3、 时，方程组 Ax=b 有无穷多解（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 分别服从 N(-1，2)和 N(1，2)，且 X 与 Y 不相关，k 1X+Y 与 X+k2Y 也不相关，则_。Ak 1+k2=0 Bk 1=k2=0Ck 1+k20 Dk 1+k20（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n(n12)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则_。A BnS 2 2(n)CD （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.曲面 x2+2y2

4、+3z2=21 在点(1，-2，2)处的法线方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12. （分数：4.00）填空项 1:_13.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知随机变量 X，Y 相互独立，且 D(X)=2D(Y)，则(2X+Y)和(2X-Y)的相关系数为_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_16.设函数 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 ，试证：级数（分数：10.00）_17.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有

5、一阶连续的偏导数，且 L2xydx+Q(x+y)dy 与路径无关，且对任意的 t 有（分数：10.00）_18.求函数 f(x，y)=x 2+4y2+9 在 D=(x，y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_19.假设曲线 l1：y=1-x 2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 l2：y=ax 2分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值。（分数：10.00）_设矩阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B。（分数：5.50）_已知二维向量

6、 不是二阶方阵 A 的特征向量。（分数：11.00）(1).证明 与 A 线性无关；（分数：5.50）_(2).若 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并判断 A 能否与对角矩阵相似。（分数：5.50）_设二维随机向量(X，Y)联合概率密度为 （分数：11.00）(1).条件概率密度 fY|X(y|x)；（分数：5.50）_(2).Z=X+Y 的概率密度。（分数：5.50）_20.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_考研数学一-190 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=xsinx+cox，下列命题中正

7、确的是_。Af(0)是极大值， 是极小值 Bf(0)是极小值， 是极大值Cf(0)是极大值， 也是极大值 Df(0)是极小值， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 函数的最(极)大值、最(极)小值解析 因为 f(x)在 上可导，f(x)=xcosx0 在区间 上成立，所以函数 f(x)在区间 上单调增加，所以 ，即 f(0)是最(极)小值，2.设函数 f(x)在 x=a 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当 x(a-，a+)时，必有_。A(x-a)f(x)-f(a)0 B(x-a)f(x)-f(a)0C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 极值点

8、解析 由题设连续性及 f(a)为极大值知(x-a)(f(x)-f(a)在 x=a 左右两侧变号，从而(A)(B)都可排除，当 xn 时， ，由于 f(a)在 x=a 点为极大值，且 f(x)在 x=a 的小邻域内连续，则存在 0，当x(a-，a+)时，3.若函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导，且 f(x)g(x)，则必有_。Af(-x)g(-x) Bf(x)g(x)C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 函数的相关不等式解析 由函数 f(x)与 g(x)在(-，+)内可导知，f(x)与 g(x)在(-，+)内连续， ，而 f(x0)g(x 0)，故4.已知级数 分别收

9、敛于 a，b，则级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 幂级数的敛散性及和函数解析 由级数 收敛知， ，设 的前 n 项和分别为 sn，S n， n，则 ，2k=a 1+a2+a2k=(a1-a2+a3-a4+a2k-1-a2k)+2(a2+a4+a2k)=s2k+2Sk故 ，所以 ，级数5.设 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，则下列结论中不正确的是_。AA-E 与 B-E 相似 BA 与 B 合同C|A-E|=|B-E| DA-E=B-E（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 矩阵的合同解析 A 与 B 相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等

10、，故(A)，(C)正确，又 A 和 B 为实对称矩阵，且 A 与 B 相似，可以推出 A 与 B 合同，故(B)正确。应选(D)。6.A=Amn，R(A)=r，b 为 m 维列向量，则有_。A当 r=m 时，方程组 Ax=b 有解B当 r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C当 m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D当 rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 线性方程组解的判定解析 当 r=m 时，r(a，b)=r(a)，方程组 Ax=b 有解。(A)正确。7.设随机变量 X 与 Y 分别服从 N(-1，2)和 N(1，2)，且 X 与 Y 不相

11、关，k 1X+Y 与 X+k2Y 也不相关，则_。Ak 1+k2=0 Bk 1=k2=0Ck 1+k20 Dk 1+k20（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 随机变量的相关性解析 X 与 Y 不相关 cov(X，Y)=0，k1X+Y 与 X+k2Y 不相关 cov(k1X+Y，X+k 2Y)=k1cov(X，X)+k 1k2cov(X，Y)+cov(Y，X)+k 2cov(Y，Y)=k1DX+k2DY=2k1+2k2=08.设 X1，X 2，X n(n12)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则_。A BnS 2 2(n)CD （分数：4.00

12、）A.B.C.D. 解析：考点 统计量的分布解析 ，排除(A)； ，排除(B)；二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点 方程的零点解析 设 ，则 ，由介值定理知，存在 ，使 f(x0)=0。又 ，而10.曲面 x2+2y2+3z2=21 在点(1，-2，2)处的法线方程为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 求曲线的法线方程解析 由已知 n=2x，4y，6z (1，-2，2) =2，-8，12，因此法线方程为11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 三重积分解析 12.

13、 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 定积分的计算解析 因 ，故原式=13.设二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：考点 二次型解析 二次型对应的矩阵为 ，因为其正负惯性指数都是 1，则该二次型的规范形的秩为 2，从而r(A)=2，因此 ，得 a=1 或 a=-2。若 a=1，则 ，r(A)=12，显然不合题意，若 a=-2，则 ，且14.已知随机变量 X，Y 相互独立，且 D(X)=2D(Y)，则(2X+Y)和(2X-Y)的相关系数为_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点 相关系数的计算解析 因为 cov(2X+

14、Y，2X-Y)=cov(2X，2X)-cov(2X，Y)+cov(Y，2X)-cov(Y，Y)=4D(X)-D(Y)=7D(Y)D(2X+Y)=D(2X-Y)=4D(X)+D(Y)=9D(Y)所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限 （分数：10.00）_正确答案：(故 )解析：考点 求数列的极限16.设函数 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且 ，试证：级数（分数：10.00）_正确答案：(利用泰勒公式，首先由 可知： ，而且这样，利用函数 f(x)的一阶泰勒公式，就有又因为 f(x)在 x=0 的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正

15、数 M，使|f“(x)|M 在此邻域内成立，并且当 n 充分大时 。注意到级数 绝对收敛，由比较判别法即知 )解析：考点 级数的收敛性17.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L2xydx+Q(x+y)dy 与路径无关，且对任意的 t 有（分数：10.00）_正确答案：(因为曲线积分与路径无关，所以 ，即 ，于是 Q(x，y)=x 2+(y)。由 ，得 )解析：考点 利用曲线积分求原函数18.求函数 f(x，y)=x 2+4y2+9 在 D=(x，y)|x 2+y24 上的最大值与最小值。（分数：10.00）_正确答案：(由题设，讨论 f(x，y)=x 2+4y2+9

16、在约束条件 x2+y2=4 下的条件极值，由拉格朗日乘数法，令 F(x，y，)=x 2+4y2+9+(x 2+y2-4)，有 ， )解析：考点 多元函数的板值19.假设曲线 l1：y=1-x 2(0x1)与 x 轴，y 轴所围成区域被曲线 l2：y=ax 2分为面积相等的两部分，其中 a 是大于零的常数，试确定 a 的值。（分数：10.00）_正确答案：(如图，由 得曲线 l1与曲线 l2的交点为 ，所求平面图形面积为因为 S1=S2，所以 ，得 a=3。 )解析：考点 先求出曲线 l1与曲线 l2的交点，然后利用定积分求平面图形面积的公式计算出 S1和 S2，由 S1=S2求 a 的值。设矩

17、阵 A 与 B 相似，其中 （分数：11.00）(1).求 x 与 y 的值；（分数：5.50）_正确答案：(因为 AB，故其特征多项式相同，即|E-A|=|E-B|，(+2) 2-(x+1)+(x-2)=(+1)(-2)(-y)令 =0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令 =1，得 y=-2，从而 x=0。)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B。（分数：5.50）_正确答案：(知对应于 A 和 B 的共同的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0，2，-1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，-1) T则可逆矩阵 )解析：考点 若 AB，则|E-A|

18、=|E-B|对所有 均成立，由此可定出参数 x，y，故其特征多项式相同。已知二维向量 不是二阶方阵 A 的特征向量。（分数：11.00）(1).证明 与 A 线性无关；（分数：5.50）_正确答案：(设 k1+k 2A=0，则 k2=0，否则 )解析：(2).若 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并判断 A 能否与对角矩阵相似。（分数：5.50）_正确答案：(A 2+A-6=0 (A2+A-6E)=0)解析：考点 特征值与相似对角化设二维随机向量(X，Y)联合概率密度为 （分数：11.00）(1).条件概率密度 fY|X(y|x)；（分数：5.50）_正确答案：(画出联合概率密度的非零区域。关于 x 的边缘密度条件概率密度 )解析：(2).Z=X+Y 的概率密度。（分数：5.50）_正确答案：(Z=X+Y 的取值范围为(0，+)当 z0 时，F Z(z)=0，当 z0 时，因此， )解析：考点 二维随机变量的概率20.设总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：(最大似然函数为所以 )解析：考点 最大似然估计