2015年湖南省长沙市中考真题数学.docx

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1、2015 年湖南省长沙市中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分 ) 1.下列实数中，为无理数的是 ( ) A.0.2 B.12C. 2 D.-5 解析： -5 是整数， -5 是有理数； 0.2 是有限小数， 0.2 是有理数； 12=0.5， 0.5 是有限小数， 12是有理数； 2 =1.414是无限不循环小数， 2 是无理数 . 答案： C. 2.下列运算中，正确的是 ( ) A.x3+x=x4 B.(x2)3=x6 C.3x-2x=1 D.(a-b)2=a2-b2 解析： A、 x3与 x 不能合并，错误； B、 (x2)3=x6，正确； C、 3x

2、-2x=x，错误； D、 (a-b)2=a2-2ab+b2，错误 . 答案： B 3. 2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线每天承动力约为185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为 ( ) A.1.85 105 B.1.85 104 C.1.8 105 D.18.5 104 解析： 将 185000 用科学记数法表示为 1.85 105. 答案： A 4.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、既是轴对称图

3、形也是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误 . 答案 ： B 5.下列命题中，为真命题的是 ( ) A.六边形的内角和为 360 度 B.多边形的外角和与边数有关 C.矩形的对角线互相垂直 D.三角形两边的和大于第三边 解析： A、六边形的内角和为 720，错误； B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360，错误； C、矩形的对角线相等，错误； D、三角形的两边之和大于第三边，正确 . 答案 ： D 6.在数轴上表示不等式组 202 6 0xx ，

4、 的解集，正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由 x+2 0 得 x -2， 由 2x-6 0，得 x 3， 把解集画在数轴上为： 答案 ： A 7.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的 ( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 解析： 众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，鞋店最喜欢的是众数 . 答案 ： C 8.下列说法中正确的是 ( ) A.“打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件 B.某种彩票的中奖概率为 11000，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 C.抛掷一枚质地均匀

5、的硬币一次，出现正面朝上的概率为 13D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 解析： A、“打开电视机，正在播放动物世界”是随机事件，故 A 错误； B、某种彩票的中奖概率为 11000，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故 B错误； C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 12，故 C 错误； D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确 . 答案 ： D 9.一次函数 y=-2x+1 的图象不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 一次函数 y=-2x+1中 k=-2

6、0， b=1 0，此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限 . 答案 ： C 10.如图，过 ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 为 ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项 . 答案 ： A. 11.如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶A 的仰角 ABO 为，则树 OA 的高度为 ( ) A. 30tan米 B.30sin米 C.30tan米 D.30cos米 解析： 在 Rt ABO 中， BO=30 米， ABO 为， AO=BOtan =30tan (米 ). 答案

7、 ： C 12.长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为 ( ) A.562.5 元 B.875 元 C.550 元 D.750 元 解析： 设该商品的进价为 x元，标价为 y元，由题意得 5 0 0 2 0 %0 .8 5 0 0yyx，解得： x=1500， y=2500. 则 2500 0.9-1500=750(元 ). 答案 ： D. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ) 13.一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球， 2 个白球，这些

8、球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别 .在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是 . 解析： 一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球， 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是：223 2 5 . 答案： 2514.圆心角是 60且半径为 2 的扇形面积为 (结果保留 ). 解析： 由扇形面积公式得： S= 260 2360=23 . 答案： 23 . 15.把 22+ 2 进行化简，得到的最简结果是 (结果保留根号 ). 解析： 原式 = 2 + 2 =2 2 . 答案： 2 2

9、. 16.分式方程 572xx 的解是 x= . 解析： 去分母，得 5(x-2)=7x，解得： x=-5，经检验： x=-5 是原方程的解 . 答案： -5 17.如图，在 ABC 中， DE BC， 13ADAB， DE=6，则 BC 的长是 . 解析： DE BC， DE： BC=AD： AB=13，即 6： BC=1： 3， BC=18. 答案： 18. 18.如图， AB 是 O 的直径，点 C 是 O 上的一点，若 BC=6， AB=10， OD BC 于点 D，则 OD的长为 . 解析： OD BC， BD=CD=12BC=3， OB=12AB=5， OD= 22OB BD =4

10、. 答案 ： 4. 三、解答题 (共 8 小题，第 19、 20 题每小题 6 分，第 21、 22 题每小题 6 分，第 23、 24 题每小题 6 分，第 25、 26 题每小题 6 分，满分 66 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ) 19.计算： (12)-1+4cos60 -|-3|+ 9 . 解析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果 . 答案 ： 原式 =2+4 12-3+3=4. 20.先化简，再求值： (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy，其中

11、 x=(3- )0， y=2. 解析： 首先去掉括号，然后合并同类项，最后把 x=1， y=2 代入化简式进行计算即可 . 答案 ： (x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy=x2-y2-x2-xy+2xy=xy-y2， x=(3- )0=1， y=2，原式 =2-4=-2. 21.中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50分 .为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的成绩 (成绩 x取整数，总分 100 分 )作为样本进行整理，得到下列不

12、完整的统计图表： 请根据所给信息，解答下列问题： (1)a= ， b= ； (2)请补全频数分布直方图； (3)这次比赛成绩的中位数会落在 分数段； (4)若成绩在 90 分以上 (包括 90 分 )的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等约有多少人？ 解析： (1)根据第一组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值； (2)根据 (1)的计算结果即可补全频数分布直方图； (3)根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据 (或中间两数据 的平均数 )即

13、为中位数； (4)利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可 . 答案 ： (1)样本容量是： 10 0.05=200， a=200 0.30=60， b=30 200=0.15； (2)补全频数分布直方图，如下： (3)一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 101 个数据都落在第四个分数段， 所以这次比赛成绩的中位数会落在 80 x 90 分数段； (4)3000 0.40=1200(人 ). 即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人 . 故答案为 60， 0.15； 80 x 90； 1200. 22.如图，在菱形

14、 ABCD 中， AB=2， ABC=60，对角线 AC、 BD 相交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角 (0 90 )后得直线 l，直线 l 与 AD、 BC 两边分别相交于点 E 和点 F. (1)求证： AOE COF； (2)当 =30时，求线段 EF 的长度 . 解析： (1)首先证明 AE=CF， OE=OF，结合 AO=CO，利用 SSS 证明 AOE COF； (2)首先画出 =30时的图形，根据菱形的性质得到 EF AD，解三角形即可求出 OE 的长，进而得到 EF 的长 . 答案 ： (1)四边形 ABCD 是菱形， AD BC， AO=OC， AE

15、 O E AOCF O F O C=1， AE=CF， OE=OF， 在 AOE 和 COF 中， AO COOE OFAE CF ， AOE COF. (2)当 =30时，即 AOE=30， 四边形 ABCD 是菱形， ABC=60， OAD=60， AEO=90， 在 Rt AOB 中， sin ABO= 122AO AOAB ， AO=1， 在 Rt AEO 中， cos AOE=cos30 = 32OEAO， OE= 32， EF=2OE= 3 . 23.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的

16、快递总件数分别为 10 万件和12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同 . (1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率； (2)如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 解析： (1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可； (2)首先求出今年 6 月份的快递投递任务，再求出 21 名快递投递业务员能完成的

17、快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年 6 月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数 . 答案 ： (1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得 10(1+x)2=12.1， 解得 x1=0.1， x2=-2.2(不合题意舍去 ). 答：该快 递公司投递总件数的月平均增长率为 10%； (2)今年 6 月份的快递投递任务是 12.1 (1+10%)=13.31(万件 ). 平均每人每月最多可投递 0.6 万件， 21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是： 0.6 21=12.6 13.31， 该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递

18、任务 需要增加业务员 (13.31-12.6) 0.6=11160 2(人 ). 答：该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务，至少需要增加 2 名业务员 . 24.如图，在直角坐标系中， M 经过原点 O(0， 0)，点 A( 6 ， 0)与点 B(0， - 2 )，点 D在劣弧 OA 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且 COD= CBO. (1)求 M 的半径； (2)求证： BD 平分 ABO； (3)在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为 M 的切线，求此时点 E的坐标 . 解析： (1)由点 A( 6 ， 0)与点 B(0， -

19、 2 )，可求得线段 AB 的长，然后由 AOB=90，可得 AB 是直径，继而求得 M 的半径； (2)由圆周角定理可得： COD= ABC，又由 COD= CBO，即可得 BD 平分 ABO； (3)首先过点 A 作 AE AB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EF OA 于点 F，易得 AEC 是等边三角形，继而求得 EF 与 AF 的长，则可求得点 E 的坐标 . 答案： (1)点 A( 6 ， 0)与点 B(0， - 2 )， OA= 6 ， OB= 2 ， AB= 22OA OB =2 2 ， AOB=90， AB 是直径， M 的半径为： 2 . (2) C

20、OD= CBO， COD= CBA， CBO= CBA，即 BD 平分 ABO. (3)如图，过点 A作 AE AB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E作 EF OA 于点 F，即AE 是切线， 在 Rt AOB 中， tan OAB= 2336OBOA ， OAB=30， ABO=90 - OAB=60， ABC= OBC=12 ABO=30， OC=OB tan30 = 2 33= 63， AC=OA-OC=263， ACE= ABC+ OAB=60， EAC=60， ACE 是等边三角形， AE=AC=263， AF=12AE= 63， EF= 32AE= 2 ， OF=O

21、A-AF=263，点 E 的坐标为： (263， 2 ). 25.在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结” . (1)求函数 y= 3 x+2 的图象上所有“中国结”的坐标； (2)若函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标； (3)若二次函数 y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k 为常数 )的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 (含边界 )，一共包含有多少个“中国结”？ 解析： (1)因为 x 是整数， x 0

22、 时， 3 x 是一个无理数，所以 x 0 时， 3 x+2 不是整数，所以 x=0， y=2，据此求出函数 y= 3 x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可 . (2)首先判断出当 k=1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”：(1， 1)、 (-1、 -1)；然后判断出当 k 1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上最少有 4个“中国结”，据此求出常数 k 的 值与相应“中国结”的坐标即可 . (3)首先令 (k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0，则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0，求出 x1、 x

23、2的值是多少；然后根据 x1、 x2的值是整数，求出 k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 (含边界 )，一共包含有多少个“中国结”即可 . 答案： (1) x 是整数， x 0 时， 3 x 是一个无理数， x 0 时， 3 x+2 不是整数， x=0， y=2， 即函数 y= 3 x+2 的图象上“中国结”的坐标是 (0， 2). (2)当 k=1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”： (1， 1)、 (-1、 -1)； 当 k=-1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常

24、数 )的图象上有且只有两个“中国结”： (1， -1)、 (-1， 1). 当 k 1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上最少有 4 个“中国结”： (1， k)、 (-1， -k)、 (k， 1)、 (-k， -1)，这与函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”矛盾， 综上可得， k=1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”： (1， 1)、(-1、 -1)； k=-1 时，函数 y=kx(k 0， k 为常数 )的图象上有且只有两个“中国结”： (1， -1)、 (-1、 1). (3)令 (k2-3k+

25、2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k=0，则 (k-1)x+k(k-2)x+(k-1)=0， 12112kxkkxk ， k=122111xx，整理，可得 x1x2+2x2+1=0， x2(x1+2)=-1， x1、 x2都是整数， 21121xx ， 或 21121xx， 1231xx， 或 1211xx，当 1231xx， 时， 12k k=1， k=32. 当 1211xx，时， 11kk ， k=k-1，无解； 综上，可得 k=32， x1=-3， x2=1， y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k =(32) 2-3 32+2x2+2 (32)2-4 32

26、+1x+(32)2-32=-14x2-12x+34. 当 x=-2 时， y=-14x2-12x+34=-14 (-2)2-12 (-2)+34=34. 当 x=-1 时， y=-14x2-12x+34=-14 (-1)2-12 (-1)+34=1. 当 x=0 时， y=34，另外，该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中 x 轴上的“中国结”有 3 个： (-2， 0)、 (-1、 0)、 (0， 0). 综上，可得 ： 若二次函数 y=(k2-3k+2)x2+(2k2-4k+1)x+k2-k(k 为常数 )的图象与 x 轴相交得到两个不同的“中国结”， 该函数的图象与 x 轴所围成的平面

27、图形中 (含边界 )，一共包含有 6 个“中国结”： (-3， 0)、(-2， 0)、 (-1， 0)(-1， 1)、 (0， 0)、 (1， 0). 26.若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a 0， c 0， a， b， c 是常数 )与 x 轴交于两个不同的点 A(x1， 0)， B(x2， 0)(0 x1 x2)，与 y 轴交于点 P，其图象顶点为点 M，点 O 为坐标原点 . (1)当 x1=c=2， a=13时，求 x2与 b 的值； (2)当 x1=2c 时，试问 ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论； (3)当 x1=mc(m 0)时，记 MAB， PAB 的

28、面积分别为 S1， S2，若 BPO PAO，且 S1=S2，求 m 的值 . 解析： (1)设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、 x2，把 a、 c 代入得： 13x2+bx+2=0，根据 x1=2 是它的一个根，求出 b，再根据 13x2-53x+2=0，即可求出另一个根 . (2)根据 x1=2c时， x2=12a，得出 b=-(2ac+12)， 4ac=-2b-1，根据 M的坐标为 (-2ba， 244ac ba)，得出当 ABM 为等边三角形时 244ac ba= 32(12a-2c)，求出 b1=-1， b2=2 3 -1(舍去 )，最后根据 4ac=-2b-1=1，得出 2

29、c= 12a， A、 B 重合， ABM 不可能为等边三角形； (3)根据 BPO PAO，得出 OP BOAO OP， ac=1，由 S1=S2得出 b2=4a 2c=8ac=8，求出 b=-22 ，最后根据 1cx2-2 2 x+c=0 得出 x=( 2 -1)c，从而求出 m. 答案： (1)设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、 x2， 把 a=13， c=2 代入得： 13x2+bx+2=0， x1=2 是它的一个根， 13 22+2b+2=0，解得： b=-53， 方程为： 13x2-53x+2=0，另一个根为 x2=3. (2)当 x1=2c 时， x2=1cax= 12a，

30、此时 b=-a(x1+x2)=-(2ac+12)， 4ac=-2b-1， M(-2ba， 244ac ba)， 当 ABM 为等边三角形时 | 244ac ba|= 32AB，即 244ac ba= 32(12a-2c)， 244ac ba= 32 1 2 12ba， b2+2b+1= 3 (1+2b+1)，解得： b1=-1， b2=2 3 -1(舍去 )， 此时 4ac=-2b-1=1，即 2c= 12a， A、 B 重合， ABM 不可能为等边三角形 . (3) BPO PAO， OP BOAO OP，即 x1x2=c2=ca， ac=1， 由 S1=S2得 c=| 244ac ba|= 24ba-c， b2=4a 2c=8ac=8， b1=-2 2 ， b2=2 2 (舍去 )， 方程可解为 1cx2-2 2 x+c=0， x1= 2 2 4 2 2 21122cc=( 2 -1)c， m= 2 -1.