2015年湖南省湘潭市中考真题数学.docx

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1、2015年湖南省湘潭市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 8 个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24 分 ) 1.在数轴上表示 -2 的点与表示 3 的点之间的距离是 ( ) A.5 B.-5 C.1 D.-1 解析： 根据正负数的运算方法，用 3 减去 -2，求出在数轴上表示 -2 的点与表示 3 的点之间的距离为多少即可 ， 3-(-2)=2+3=5. 所以在数轴上表示 -2 的点与表示 3 的点之间的距离为 5. 答案： A 2.下面四个立体图形中，三视图完全相同的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、主视

2、图、左试图是矩形，俯视图是圆，故 A 错误； B、主视图、左视图、俯视图都是圆，故 B 正确； C、主视图、左视图都是三角形，俯视图是圆，故 C 错误； D、主视图、俯视图都是矩形，左视图是三角形，故 D 错误 . 答案： B 3.下列计算正确的是 ( ) A. 5 2 3 B.3-1=-3 C.(a4)2=a8 D.a6 a2=a3 解析： A.不是同类二次根式，不能合并，故 A 错误； B.3-1=13，故 B 错误； C.(a4)2=a4 2=a8，故 C 正确； D.a6 a2=a6-2=a4，故 D 错误 . 答案： C 4.在 ABC 中， D、 E 为边 AB、 AC 的中点，已

3、知 ADE 的面积为 4，那么 ABC 的面积是 ( ) A.8 B.12 C.16 D.20 解析： D、 E 分别是 AB、 AC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DE BC， 12DEBC， ADE ABC，ADEABCSS=(12)2， ADE 的面积为 4， 414ABCS ， S ABC=16. 答案： C 5. 下列四个命题中，真命题是 ( ) A.“任意四边形内角和为 360”是不可能事件 B.“湘潭市明天会下雨”是必然事件 C.“预计本题的正确率是 95%”表示 100 位考生中一定有 95 人做对 D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 12解析： A、“任意

4、四边形内角和为 360”是必然事件，错误； B、“湘潭市明天会下雨”是随机事件，错误； C、“预计本题的正确率是 95%”表示 100 位考生中不一定有 95 人做对，错误； D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是 12，正确 . 答案： D 6.如图，已知直线 AB CD，且直线 EF 分别交 AB、 CD于 M、 N 两点， NH 是 MND 的角平分线 .若 AMN=56，则 MNH 的度数是 ( ) A.28 B.30 C.34 D.56 解析： 直线 AB CD， AMN=56， MND= AMN=56 . NH 是 MND 的角平分线， MNH=12 MND=28 . 答案：

5、 A 7.如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，若 DAB=60，则 BCD 的度数是 ( ) A.60 B.90 C.100 D.120 解析： 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， DAB+ DCB=180 . DAB=60， BCD=180 -60 =120 . 答案： D 8.如图，观察二次函数 y=ax2+bx+c 的图象，下列结论： a+b+c 0， 2a+b 0， b2-4ac 0， ac 0. 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 由图象可知当 x=1 时， y 0， a+b+c 0，故不正确； 由图象可知 0 -2ba 1，2ba -1， 又开口向

6、上， a 0， b -2a， 2a+b 0，故正确； 由图象可知二次函数与 x 轴有两个交点， 方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根， 0，即 b2-4ac 0，故正确； 由图象可知抛物线开口向上，与 y 轴的交点在 x 轴的下方， a 0， c 0， ac 0，故不正确； 综上可知正确的为 . 答案： C 二、填空题 (本题共 8 个小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题 3 分，满分 24分 ) 9. 12的倒数是 . 解析： 12的倒数是 2. 答案： 2 10.计算： 23-(-2)= . 解析： 根据有理数的混合计算解答即可 .23-(-2)=8+2=10. 答案：

7、 10 11.在今年的湘潭市“党和人民满意的好老师”的评选活动中，截止到 5 月底，王老师获得网络点赞共计 183000 个，用科学记数法表示这个数为 . 解析： 将 183000 用科学记数法表示为 1.83 105. 故答案为 1.83 105. 12.高一新生入学军训射击训练中，小张同学的射击成绩 (单位：环 )为： 5、 7、 9、 10、 7，则这组数据的众数是 . 解析： 这组数据的众数是 7. 故答案为： 7. 13.湘潭盘龙大观园开园啦！其中杜鹃园的门票售价为：成人票每张 50 元，儿童票每张 30元 .如果某日杜鹃园售出门票 100 张，门票收入共 4000 元 .那么当日售

8、出成人票 张 . 解析： 设当日售出成人票 x 张，儿童票 (100-x)张， 可得： 50x+30(100-x)=4000， 解得： x=50. 答：当日售出成人票 50 张 . 故答案为： 50 14.已知菱形 ABCD 的面积为 24cm2，若对角线 AC=6cm，则这个菱形的边长为 cm. 解析： 菱形 ABCD 的面积 =12AC BD， 菱形 ABCD 的面积是 24cm2，其中一条对角线 AC 长 6cm， 另一条对角线 BD 的长 =8cm；边长是： 2234 =5cm. 故答案为： 5 15.如图，将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AED，若线段 AB=3，则 BE

9、= . 解析： 将 ABC 绕点 A 顺时针旋转 60得到 AED， BAE=60， AB=AE， BAE 是等边三角形， BE=3. 答案： 3 16.小华为参加毕业晚会演出，准备制一顶圆锥形彩色纸帽，如图所示，如果纸帽的底面半径为 8cm，母线长为 25cm，那么制作这顶纸帽至少需要彩色纸板的面积为 cm2.(结果保留 ) 解析： 底面半径为 8cm，则底面周长 =16，侧面面积 =12 16 25=200 cm2. 答案 ： 200 . 三、解答题 (本大题共 10 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡相应位置上，满分 72 分 ) 17.解不等式组：

10、536 4 3.xxx ，解析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 . 答案 ： 536 4 3xxx ， ，由得， x -2， 由得， x 3. 所以，不等式组的解集为 -2 x 3. 18.先化简，再求值： 2221111x x xxx，其中 x= 5 +1. 解析： 首先将小括号内的部分进行通分、计算，然后将除法转化为乘法，接下来再进行分解、约分，最后代数求值即可 . 答案 ：原式 =(x+1x+1-xx+1) x2-2x+1x2-1 = 22111 2 1xx x x = 21111 1xxx x = 11x， 将 x= 5 +1 代入得：原式 = 1 1 555 1 1 5. 1

11、9.“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨 .搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到 A 处时，发现前方江面上 B 处有一漂浮物，从 A 测得 B 处的俯角为 30，已知该直升机一直保持在距江面 100 米高度飞行搜索，飞行速度为 10 米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？ (结果精确到 0.1， 3 1.73) 解析： 作 AD BD 于点 D，由题意得： ABC=30， AD=100 米，在 Rt ABD 中， ADBD=tanABC，求得 BD 的长后除以速度即可得到时间 . 答案 ：作 AD BD 于点

12、D， 由题意得： ABC=30， AD=100 米， 在 Rt ABD 中， ADBD=tan ABC， BD= 1001 0 0 3t a n 3 0 33AD 米， 飞行速度为 10 米每秒， 飞行时间为 100 3 10=10 3 17.3 秒， 该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行 17.3 秒可到达漂浮物的正上方 . 20. 2015 年湘潭市中考招生政策发生较大改变，其中之一是：省级示范性高中批次志愿中，每个考生可填报两所学校 (有先后顺序 )，我市某区域的初三毕业生可填报的省级示范性高中有 A、 B、 C、 D 四所 . (1)请列举出该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果

13、； (2)求填报方案中含有 A 学校的概率 . 解析： (1)首先根据题意画出树状图，从而可得到所有可能结果； (2)根据树状图找出所有含有 A 的结果，然后再利用概率公式计算即可 . 答案 ： (1)该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果如下图所示： (2)根据树状图可知：该区域学生填报省级示范性高中批次志愿的所有可能结果共有 12 种，其中含有 A 的共有 6 种，故填报方案中含有 A 学校的概率 = 6112 2. 21.水利部确定每年的 3 月 22 日至 28 日为“中国水周” (1994 年以前为 7月 1 日至 7 日 )，从 1991 年起，我国还将每年 5 月的第

14、二周作为城市节约用水宣传周 .某社区为了进一步提高居民珍惜水、保护水和水忧患意识，提倡节约用水，从本社区 5000 户家庭中随机抽取 100户，调查他们家庭每月的平均用水量，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图表： 请根据上面的统计图表，解答下列问题： (1)在频数分布表中： m= ， n= ； (2)根据题中数据补全频数直方图； (3)如果自来水公司将基本月用水量定为每户每月 12 吨，不超过基本月用水量的部分享受基本价格，超出基本月用水量的部分实行加价收费，那么该社区用户中约有多少户家庭能够全部享受基本价 格？ 解析： (1)根据频率 =频数数据总数，可得到 m 100=0.2，可

15、求得 m=20，然后利用频率 =频数数据可求得 n 的值； (2)根据 (1)中的结果画出统计图即可； (3)求得 100 户家庭中能够全部享受基本价的频数，然后再乘 50 即可 . 答案 ： (1)m 100=02，解得 m=20， n=25 100=0.25. (2)补全频数直方图如图： (3)(10+20+36) 1005000=3300(户 ). 答：该社区用户中约有 3300 户家庭能够全部享受基本价格 . 22.如图，在 Rt ABC 中， C=90， ACD 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处 . (1)求证： BDE BAC； (2)已知 AC=6， B

16、C=8，求线段 AD 的长度 . 解析： (1)根据折叠的性质得出 C= AED=90，利用 DEB= C， B= B 证明三角形相似即可； (2)由折叠的性质知 CD=DE， AC=AE.根据题意在 Rt BDE 中运用勾股定理求 DE，进而得出 AD即可 . 答案 ： (1) C=90， ACD 沿 AD 折叠， C= AED=90， DEB= C=90， 又 B= B， BDE BAC. (2)由勾股定理得， AB=10. 由折叠的性质知， AE=AC=6， DE=CD， AED= C=90 . BE=AB-AE=10-6=4， 在 Rt BDE 中，由勾股定理得， DE2+BE2=BD

17、2，即 CD2+42=(8-CD)2，解得： CD=3， 在 Rt ACD 中，由勾股定理得 AC2+CD2=AD2，即 32+62=AD2，解得： AD=3 5 . 23.如图，已知一次函数 y=x+b 与反比例函数 y=kx的图象交于 A、 B 两点，其中点 A 的坐标为 (2， 3). (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求点 B 的坐标； (3)请根据图象直接写出不等式 x+b kx的解集 . 解析： (1)把 A 的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式； (2)把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可； (3)根据 A、 B 的坐标结合

18、图象即可得出答案 . 答案 ： (1)把点 A 的坐标 (2， 3)代入一次函数的解析式中，可得： 3=2+b，解得： b=1， 所以一次函数的解析式为： y=x+1； 把点 A 的坐标 (2， 3)代入反比例函数的解析式中，可得： k=6， 所以反比例函数的解析式为： y=6x. (2)把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组， 可得： 16yxy x ，解得： x1=2， x2=-3，所以点 B 的坐标为 (-3， -2). (3) A(2， 3)， B(-3， -2)，使一次函数值大于反比例函数值的 x 的范围是： -3 x 0 或x 2. 24.阅读材料：用配方法求最值 . 已知

19、x， y 为非负实数， x+y-2 xy =( x )2+( y )2-2 x y =( x - y )2 0， x+y 2 xy ，当且仅当“ x=y”时，等号成立 . 示例：当 x 0 时，求 y=x+1x+4 的最小值 . 解： y=(x+1x)+4 2 1xx+4=6，当 x=1x，即 x=1 时， y 的最小值为 6. (1)尝试：当 x 0 时，求 y= 2 1xxx的最小值 . (2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为 10 万元，每年应缴保险费等各类费用共计 0.4 万元， n 年的保养、维护费用总和为 210n

20、n万元 .问这种小轿车使用多少年报废最合算 (即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用 =n所 有 用 之 和年 费 数)？最少年平均费用为多少万元？ 解析： (1)首先根据 y= 2 1xxx，可得 y=x+1x+1，然后应用配方法，求出当 x 0 时， y=2 1xxx的最小值是多少即可 . (2)首先根据题意，求出年平均费用 =( 210nn+0.4n+10) n= 10 110 2n n，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可 . 答案 ： (1)y= 2 1xxx= x+1x+1 2 1xx+1=3， 当 x=1x，即 x=1 时， y

21、 的最小值为 3. (2)年平均费用 =( 210nn+0.4n+10) n= 10 110 2n n 2 1010nn+12=2+0.5=2.5， 当 1010n n， 即 n=10 时，最少年平均费用为 2.5 万元 . 25.如图，已知 AB 是 O 的直径，过点 A 作 O 的切线 MA， P 为直线 MA 上一动点，以点 P为圆心， PA 为半径作 P，交 O 于点 C，连接 PC、 OP、 BC. (1)知识探究 (如图 1)： 判断直线 PC 与 O 的位置关系，请证明你的结论； 判断直线 OP 与 BC 的位置关系，请证明你的结论 . (2)知识运用 (如图 2)： 当 PA

22、OA 时，直线 PC 交 AB 的延长线于点 D，若 BD=2AB，求 tan ABC的值 . 解析： (1) PC 与 O 相切 .易证明 PAO PCO，则 PAO= PCO，由 PA 是 O 的切线，可知 PAO= PCO=90，即可证明结论； OP BC.由 (1)可知 POA= POC，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半可知 ABC=12AOC，根据同位角相等可证明 OP BC. (2)根据 OP BC，可知 BD CDOD PD，由 BD=2AB，可知 AD=6OA， OD=5OB，所以 PD=5PC，设设PA=PC=R， OA=r，根据勾股定理列方程求出 R 与 r 的数量关系，即

23、可在 Rt PAO 中求出 tan ABC=tan POA. 答案： (1) PC 与 O 相切 . 证明：如图 1，连接 OC， 在 PAO 和 PCO 中， OA OCPO POPA PC ， PAO PCO， PAO= PCO， PA 是 O 的切线， AB 是 O 的直径， PAO= PCO=90， PC 与 O 相切 . OP BC. 证明： PAO PCO， POA= POC， 又 ABC= 12 AOC(同弧所对圆周角是圆心角的一半 )， ABC= POA， OP BC. (2)如图 2， BD=2AB， BD=4OB， AD=6OA， 45BDOD， OP BC， 45BD C

24、 DO D PD， PD=5PC， 设 PA=PC=R， OA=r， AD=6r， PD=5R， PA2+AD2=PD2， R2+(6r)2=(5R)2， 解得： R= 62r， tan ABC=tan POA=PAOA， tan ABC=62 rPAOA r= 62. 26.如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A(-1， 0)、 B(3， 0)两点，交 y 轴于点 C，连接 BC，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动，动点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动， P、 Q 同时出发，连接 PQ，当点 Q 到达 C 点时， P、 Q 同

25、时停止运动，设运动时间为 t 秒 . (1)求二次函数的解析式； (2)如图 1，当 BPQ 为直角三角形时，求 t 的值； (3)如图 2，当 t 2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点？若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A(-1， 0)、 B(3， 0)两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可 . (2)首先根据待定系数法，求出 BC 所在的直线的解析式，再分别求出点 P、点 Q 的坐标各是多少；然后分两种情况：当 QPB=90

26、时；当 PQB=90时；根据等腰直角三角形的性质，求出 t 的值各是多少即可 . (3)首先延长 MQ 交抛物线于点 N， H 是 PQ 的中点，再用待定系数法，求出 PQ 所在的直线的解析式，然后 PQ 的中点恰为 MN 的中点，判断出是否存在满足题意的点 N 即可 . 答案 ： (1)二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过 A(-1， 0)、 B(3， 0)两点， 109 3 0bcbc ，解得 23.bc， 二次函数的解析式是： y=x2-2x-3. (2) y=x2-2x-3，点 C 的坐标是 (0， -3)， BC= 223 0 0 3 =3 2 ， 设 BC 所在的直线的解析式是

27、： y=mx+n，则 303mnn，解得 13mn， BC 所在的直线的解析式是： y=x-3， 经过 t 秒， AP=t， BQ= 2 t，点 P 的坐标是 (t-1， 0)， 设点 Q 的坐标是 (x， x-3)， OB=OC=3， OBC= OCB=45， 则 y= 2 t sin45 = 2 t 22=t，则 Q 点纵坐标为 -t， x=3-t， 点 Q 的坐标是 (3-t， -t)， 如图 1， 当 QPB=90时，点 P 和点 Q 的横坐标相同， 点 P 的坐标是 (t-1， 0)，点 Q 的坐标是 (3-t， -t)， t-1=3-t，解得 t=2， 即当 t=2 时， BPQ

28、为直角三角形 . 如图 2， 当 PQB=90时， PBQ=45， BP= 2 BQ， BP=3-(t-1)=4-t， BQ= 2 t， 4-t= 2 2 t 即 4-t=2t，解得 t=43， 即当 t=43时， BPQ 为直角三角形 . 综上，可得当 BPQ 为直角三角形， t=43或 2. (3)如图 3，延长 MQ 交抛物线于点 N， H 是 PQ 的中点， 设 PQ 所在的直线的解析式是 y=px+q， 点 P 的坐标是 (t-1， 0)，点 Q 的坐标是 (3-t， -t)， 103p t qp t q t ，解得224.24tptttqt ， PQ 所在的直线的解析式是 y= 24 2 2 4t t txtt，点 M 的坐标是 (0， 224ttt) 13 12tt ， 022tt， PQ 的中点 H 的坐标是 (1，2t) 假设 PQ 的中点恰为 MN 的中点， 1 2-0=2，2t 2- 224ttt= 2324ttt，点 N 的坐标是 (2， 2324ttt)， 又点 N 在抛物线上， 2324ttt=22-2 2-3=-3，解得 t=9 332或 t=9 332， t 2， t=9 332，当 t 2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，当 t=9 332时在抛物线上存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点 .