天津市七校2019届高三数学上学期期中联考试题文（含解析）.doc

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1、120182019 学年度第一学期期中七校联考高三数学（文科）温馨提示：使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在答题卡上；不使用答题卡的区，学生作答时请将答案写在试卷上.本试卷分第 I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘帖考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第卷（选择题，共 40 分）注意事项：1选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2本卷共 8 小

2、题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点 与直线 平行的直线方程是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为 ,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0 即得 a 的值，即得直线的方程.【详解】设直线的方程为 ,代点（0,1）到直线方程得-1+a=0,所以 a=1.故直线方程为 2x-y+1=0.故答案为：B【点睛】本题主要考查直线方程的求法，考查平行直线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.设变量 x, y 满足约束条件 则目标函数 z = y2x 的最小值为（ ）A. 7 B.

3、4 C. 1 D. 2【答案】A【解析】画出原不等式组表示的平面区域如图所示阴影部分，由题意知,当目标函数 表示的直线经过点 A(5，3)时，取得最小值，所以的最小值为 ，故选 A.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.3.若 ，则下列结论正确的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一判断得解.【详解】因为 0，所以 ba0,对于选项 A, .所以选项 A 错误.对于选项 B, 所以选项 B 错误.对于选项 C, 0，1 0， 2，所以选项 C 正确.对于选项 D, =-a-

4、b+a+b=0,所以 ，所以选项 D 错误.故答案为：C3【点睛】本题考查了基本不等式,考查比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知 m、n 是两条不同的直线，、 是三个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若 ，则B. 若 , ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ， ，则【答案】D【解析】【分析】若 ，则 或 与 相交；若 mn，m，n，则 或 与 相交；若mn，m，则 n 或 n；若 n，n，则由平面平行的判定定理知【详解】由 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，知：若 ，则 或 与 相交，故 A 不正确；若 mn，m，n，则 或 与 相交，故

5、 B 不正确；若 mn，m，则 n 或 n，故 C 不正确；若 n，n，则由平面平行的判定定理知 ，故 D 正确故答案为：D【点睛】本题考查平面与平面、直线与平面的位置关系的判断，是基础题解题时要注意空间思维能力的培养5.已知数列 是等比数列， ，则当 时，A. B. C. D. 【答案】D【解析】4【分析】先根据已知求出首项和公比，再利用等比数列的求和公式求解.【详解】由题得所以数列 是一个以 4 为首项，以 4 为公比的等比数列，所以 .故答案为：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项，考查等比数列的前 n 项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.6.两圆 和 相交于两点

6、，则线段 的长为A. 4 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出圆心和半径以及公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦的长【详解】两圆为 x2+y2+4x4y=0，x 2+y2+2x8=0，可得：x2y+4=0两圆的公共弦所在直线的方程是 x2y+4=0，x 2+y2+4x4y=0 的圆心坐标为（2，2） ，半径为 2 ，圆心到公共弦的距离为 d= ，公共弦长= .故答案为：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆的公共弦长的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.57.已知数列 的各项均为正数， 则数列 的前 15 项和为A.

7、3 B. 4 C. 127 D. 128【答案】A【解析】【分析】由题得 是一个等差数列，求出 ，再求出 ，再利用裂项相消法求和.【详解】由题得 是一个以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，所以，所以 ，所以数列 的前 15 项和为 .故答案为：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.棱长为 1 的正方体 中， 为线段 上的动点，则下列结论正确的有三棱锥 的体积为定值； ； 的最大值为 ； 的最小值为 2A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 A1B平面 DCC1D1，可得线段 A1B 上的

8、点 M 到平面 DCC1D1的距离都为 1，又DCC 1的面积为定值 ，即可得出三棱锥 MDCC 1的体积为定值由 A1D1DC 1，A 1BDC 1，可得 DC1面 A1BCD1，即可判断出正误6当 0A 1P 时，利用余弦定理即可判断出APD 1为钝角.将面 AA1B 与面 A1BCD1沿 A1B 展成平面图形，线段 AD1即为 AP+PD1的最小值，再利用余弦定理即可判断出正误【详解】A 1B平面 DCC1D1，线段 A1B 上的点 M 到平面 DCC1D1的距离都为 1，又DCC 1的面积为定值 ，因此三棱锥 MDCC 1的体积 V= = 为定值，故正确A 1D1DC 1，A 1BDC

9、 1，DC 1面 A1BCD1，D 1P面 A1BCD1，DC 1D 1P，故正确当 0A 1P 时，在AD 1M 中，利用余弦定理可得APD 1为钝角，故不正确；将面 AA1B 与面 A1BCD1沿 A1B 展成平面图形，线段 AD1即为 AP+PD1的最小值，在D 1A1A 中，D 1A1A=135，利用余弦定理解三角形得AD1= = 2，故不正确因此只有正确故答案为：A【点睛】本题考查了空间位置关系、线面平行于垂直的判断与性质定理、空间角与空间距离，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题第卷（非选择题，共 110 分）注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2

10、本卷共 12 小题，共 110 分.二、填空题：本大题共有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.已知两点 ，以线段 为直径的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】先求出圆心的坐标和半径,即得圆的方程.7【详解】由题得圆心的坐标为（1,0） ，|MN|=所以圆的半径为 所以圆的方程为 .故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.在等差数列 中， ，则 _.【答案】9【解析】【分析】先由 求出 ，再求出公差 d,最后求 .【详解】因为 ，因为 ，所以 d=2.所以 .故答案为：9【点睛】本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些

11、知识的掌握水平和分析推理计算能力.11.一个几何体的正视图由 2 个全等的矩形组成，侧视图也是矩形，俯视图由两个全等的直角三角形组成，数据如图所示，则该几何体的体积为_.【答案】12【解析】【分析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.8【详解】由三视图可知原几何体如图所示（两个全等的三棱柱） ，所以几何体的体积为 .故答案为：12【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.12.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 _.【答案】99【解析】【分析】先利用项和公式求出 的通项，再代入 化简求解.【详解】令 n=1,所以由

12、题得 ， ， （n2）两式相减得所以数列 是一个以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以故答案为：99【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.13.已知 ， 的最小值为_.9【答案】【解析】【分析】先化简 ，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得.当且仅当 时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是常量代换.14.过点 的直线与曲线 交于两点，则直线的斜率的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先画出方程对应的曲线，作出圆的切线 AB,求出 AB 的斜率，

13、求出 AC 的斜率，数形结合得到直线 l 的斜率的范围.【详解】由题得 ，它表示单位圆的上半部分（包含两个端点） ，曲线如图所示，10由题得设直线 AB 的斜率为 k,则直线的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,因为直线 AB 和圆相切，所以 ，所以直线 l 的斜率范围为故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.解题的关键是求出 AC 和 AB 的斜率.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， .（）若 ，求

14、的通项公式；（）若 ，求 .【答案】 （） （）26【解析】【分析】（）先求得 ，再求 的通项公式. （）由 解得 ，再求 .【详解】 （）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 解得 （舍） ， 的通项公式为 . 11（） 解得 .【点睛】本题主要考查等差数列等比数列的通项的求法，考查等差数列等比数列的前 n 项和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.如图，在三棱柱 中，侧面 为菱形，且 平面 （）求证： ； （）当点 在 的什么位置时，使得 平面 ，并加以证明.【答案】 （）见解析 （）见解析【解析】【分析】（）先证明 平面 ，再证明 . （）当点 是 的中点时，有 平面先证明

15、 再证明 平面 .【详解】 （）证明：连结 ， 为菱形 由已知 ， ， 平面 .又 平面 , （）当点 是 的中点时，有 平面 证明：设 ，连结由已知可得四边形 是平行四边形，12 是 的中点， 是 的中点 又 平面 ， 平面 平面【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.17.已知函数 （ 为常数）.（）当 时，解不等式 ；（）若 ，当 时， 恒成立，求的取值范围.【答案】 （）见解析 （）【解析】【分析】（）由题意得 ，再对 b 分类讨论得解. （）由题意不等式当 时恒成立。当 时，不等式对于 恒成立, 当时， 在 时恒成立

16、,再利用基本不等式求右边函数的最大值得解.【详解】 （）由题意得 当 时，即 时，不等式解集为 当 时，即 时，不等式解集为 当 时，解集为 .（）由题意不等式 当 时恒成立。当 时，不等式对于 恒成立 当 时，即 在 时恒成立 . 又当且仅当 时取等号 13综上，的取值范围是 。【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和恒成立问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知圆 的圆心在直线 上，且过圆 上一点 的切线方程为 .（）求圆 的方程；（）设过点 的直线与圆交于另一点 ，以 为直径的圆过原点，求直线的方程.【答案】 （） （）【解析】【分析】（）

17、由题意，过 点的直径所在直线方程为 ,再联立 求得圆心坐标为 ,再求得半径即得圆的方程. （）先求得直线 方程为 ，由可得 点坐标为 ，再利用两点式写出直线 l 的方程.【详解】 （）由题意，过 点的直径所在直线方程为 解得 ， 圆心坐标为 半径 圆 的方程为 （） 以 为直径的圆过原点， 又 直线 方程为 由 ，可得 点坐标为 直线 方程为14即直线的方程为 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.19.如图，在三棱锥 中， ， ，侧面 为等边三角形，侧棱，点 为线段 的中点.（）求证：平面 平面 ；（）求直线 与

18、平面 所成角的正弦值【答案】 （）见解析 （）【解析】【分析】（）先证明 面 ，即证平面 平面 . （）设 中点为 ，连结项证明 是直线 与平面 所成的角，再求直线 与平面 所成角的正弦值【详解】解：（）设 中点为 ，连结 ， 为等边三角形，又 ， 由已知 ， ， ，又 为正三角形，且 ， . 15 ， . 即 面平面 平面 . （）设 中点为 ，连结 点 为线段 的中点， 由（）知 平面 . 平面 是直线 与平面 所成的角. 由（）与已知得 ， ，又 ，又 ，在 中 ,直线 与平面 所成角的正弦值为 .【点睛】(1)本题主要考查线面垂直关系的证明，考查线面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌

19、握水平和空间想象分析推理计算能力.（2）直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形） ，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法） ，其中是直线的方向向量， 是平面的法向量， 是直线和平面所成的角.20.已知数列 中， ， 且 ， ， 成等差数列.（）求 的通项公式；（）设 ，且数列 的前 项和为 ，若不等式 对一切 恒成立，求实数的取值范围.16【答案】 （） （）【解析】【分析】（）由题意， ，根据 ， ， 成等差数列求出 ，再根据 的通项公式. （）先求出 ，再利用错位相减求得 ，化简得 对一切 恒成立，再求 的最小值得解.【详解】 （）由题意， 成等差数列 ，解得 （舍去） ， ，设 ，则令 ，则 ，令 ，则 ， （） 17 对一切 恒成立 为增函数， ，即的取值范围是【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查错位相减求和和不等式的恒成立问题，考查数列的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18