2019高中数学第一章三角函数1.8函数y=Asinωxφ的图像与性质课件北师大版必修4.ppt

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1、8 函数y=Asin(x+)的图像与性质,一,二,三,四,一、三角函数的图像变换 1.上、下伸缩变换 函数y=Asin x的图像,可以看作是把函数y=sin x图像上所有的点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,即y=sin x的图像,y=Asin x的图像.,2.左、右平移变换 函数y=sin(x+)(其中0)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向左(当0时)或向右(当0时)平行移动|个单位长度而得到(可简记为左“+”右“-”),即y=sin x,y=sin(x+).,一,二,三,四,3.左、右伸缩变换 函数y=sin x的图像,可以看

2、作是把y=sin x图像上所有的点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到,即y=sin x y=sin x.,4.上、下平移变换 函数y=sin(x+)+b的图像,可以看作是把y=sin(x+)上所有的点向上(当b0时)或向下(当b0时)平移|b|个单位长度而得到(可简记为上“+”下“-”),即y=sin(x+) y=sin(x+)+b.,一,二,三,四,(3)把函数y=sin 3x图像上所有点的 坐标变为原来的 倍,即可得到函数y=sin x的图像. (4)将函数y=4sin x-1的图像向下平移2个单位,得到函数 的图像.,一,二,三,四,二、A,对函数y

3、=Asin(x+)的影响 1.在函数y=Asin x(A0)中,A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅. 2.在函数y=sin(x+)中,决定了x=0时的函数值,通常称为初相,x+为相位.,A.4,-2 B.4,2 C.,2 D.,-2 答案:B,一,二,三,四,三、函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图像 1.用五点法作函数y=Asin(x+)的图像.,列表如下:,一,二,三,四,其中P1,P3,P5均为零点(图像与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点,分别称为第一、二、三、四、五个关键点. (3)描点,作出函数在一个周期内的图像,再向左、右无限扩展,得到y

4、=Asin(x+)(A0,0,xR)的图像.,一,二,三,四,2.由函数y=sin x的图像得到函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图像. 方法一(先平移后伸缩): (1)作出y=sin x的图像; (2)把正弦曲线向左(或向右)平移|个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图像; (3)将曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图像; (4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(x+)的图像; (5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(x+)+b的图像.,一,二,三,四,方法二(先伸缩后

5、平移): (1)作出y=sin x的图像; (2)把正弦曲线上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,得到函数y=sin x的图像; (3)将曲线上各点向左(或向右)平移 个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图像; (4)将曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变,得到函数y=Asin(x+)的图像; (5)将曲线上各点向上(或向下)平移|b|个单位长度,得到函数y=Asin(x+)+b的图像.,一,二,三,四,答案:C,一,二,三,四,四、函数y=Asin(x+)的性质 1.定义域:R. 2.值域:-|A|,|A|.,一,二,三,四,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正

6、确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.,(3)对于正弦型函数y=Asin(x+)+B(其中A0,0),xR来说一定有ymax=A+B,ymin=-A+B. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,用“五点法”作函数y=Asin(x+)的图像,思路分析:按“五点法”的作图步骤进行.,解:列表.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,描点、连线成图(如图).利用函数的周期性,可以把上述简图向左、右扩展,就得到y=2sin ,xR的图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟1.用“五点法”画函数y=Asin(x+)(xR)的简图,先作变量

7、代换,令X=x+,再由X取 来确定相应的x值,最后根据x,y的值描点、连线并作出函数的图像. 2.作给定区间上y=Asin(x+)的图像时,若xm,n,应先求出(x+)的相应范围,在求出的范围内确定其关键点,再确定x,y的值,描点、连线并作出函数图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练1用“五点法”作函数y=2sin +3的图像,并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间.,解:列表.描点、连线作出一周期的函数图像.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,三角函数的图像变换 【例2】 由函数y=sin x的图像经过

8、怎样的变换,可以得到函数 y= +1的图像. 思路分析:本题考查三角函数的图像变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解:(方法一),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟三角函数图像的变换方法 1.对函数y=Asin(x+)+b(A0,0,0,b0),其图像的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A1时伸长;当A1时缩短;当0时左移;当0时上移;当b0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.

9、2.若相应的变换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同,再利用相应的变换得到结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练2(1)把函数y=2sin 的图像经过变换,得到y=-2sin 2x的图像,这个变换是( ),(2)已知函数y=f(x)的图像上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得的图像沿x轴向左平移 个单位,这样得到的图像和y=2sin x的图像相同,则函数y=f(x)的解析式为 . 答案:(1)A (2)f(x)=- cos 2x,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,根据函数的图像求函数的解析式 【例3】 如图是函数y=Asin(x

10、+)(A0,0,0)在一个周期内的图像,试确定A,的值.,思路分析:方法一可以用五点作图法原理先确定A,再确定,最后确定;方法二也可以用关键点代入的方法求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,解法一(起点法)由图像可知振幅A=3,根据五点法作图原理(以上两点可作为五点法作图中的第三点和第五点),探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟 根据三角函数图像求三角函数解析式的方法 1.如果从图像可确定振幅和周期,那么可直接确定函数解析式y=Asin(x+)中的参数A和,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“x+=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得.

11、 2.通过若干特殊点代入函数解析式,可以求得相关待定系数A,.依据五点列表法原理,点的序号与所列式子的关系如下:“第一点”为x+=0;“第二点”为x+= ;“第三点”为x+=;“第四点”为x+= ;“第五点”为x+=2.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练3已知函数y=Asin(x+) 在一个周期内的部分函数图像如图所示.求此函数的解析式.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,研究函数y=Asin(x+)的性质 【例4】 已知函数y=Asin(3x+)(A0,xR,0)在x= 时取得最大值4. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)的单调区间. 思路分析:(1)

12、可直接套公式求解;(2)应先求出f(x)的解析式,再用整体换元法求单调区间.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,反思感悟研究函数y=Asin(x+)的性质,主要通过整体换元的思想,将(x+)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin x的性质,诸如定义域、值域、周期、单调区间等.,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,变式训练4已知函数f(x)=2 sin (0)的最小正周期是. (1)求;,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,因图像变换方向把握不准而出错 【典例】 将函数y=sin x的图像上所有的点向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( ),错解A或B或D,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,易错辨析,纠错心得1.关于正弦型函数图像的平移变换与周期变换问题一定要搞清楚始点与终点目标,否则易弄错方向,还要注意函数类型是否统一.,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,3.已知函数y=Asin(x+)+B的一部分图像如图所示,若A0,0,| ,则( ),答案:C,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,