浙北四校2019届高三数学上学期12月模拟考试题（含解析）.doc

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1、- 1 -浙北四校 2019年 12月高考模拟考试数学试卷考生须知：1.本卷共 4页，满分 150分，考试时间 120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。参考公式：如果事件 互斥，那么 柱体的体积公式其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高如果事件 相互独立，那么 锥体的体积公式如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p，那么 其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 球的表面积公式台体的体积公式 球的体积公式 其中 表示球的半径其中 ， 分别

2、表示台体的上、下底面积， 表 示台体的高 选择题部分一、选择题：本大题共 10小题，每小题 4分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 为虚数单位， （ ）A. B. C. D. - 2 -【答案】D【解析】【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果【详解】 ，故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，i 的幂的运算，是基础题2.若 ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数换底公式、对数函数的单调性即可得出【详解】log m2log n20， 0，lgnlgm0，可得 nm1故选：C【点睛】本题考查了对数换底公式、对数函

3、数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.若函数 ， ，则 是A. 最小正周期为 为奇函数 B. 最小正周期为 为偶函数C. 最小正周期为 为奇函数 D. 最小正周期为 为偶函数【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式，化简得函数 =-sin2x，由此结合正弦函数的奇偶性和三角函数- 3 -的周期公式进行计算，即可得到本题答案【详解】 =-sin2x，f（x）=-sin2x，可得 f（x）是奇函数，最小正周期 T= =故选：A【点睛】本题利用诱导公式化简三角函数式，着重考查了三角函数的图象与性质和三角函数的周期公式等知识，属于基础题4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何

4、体的体积 （单位：cm 3）是A. 8 B. C. 16 D. 16【答案】B【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可【详解】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为： =8故选 B- 4 -【点睛】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图推出几何体的形状是本题的关键5.若非空集合 ， ， 满足 ，且 不是 的子集， 则“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】本题即判断“xA”“xC”和“xC”“xA”是否成立，由 AB=C，且 B不是

5、A的子集易判【详解】因为 AB=C，所以“xA”“xC” ；反之，若“xC” ，即“xAB”因为 B不是 A的子集，故不能得到 xA，所以“xC”是“xA”的必要但不充分条件故选：B【点睛】本题考查充要条件的判断和集合之间的关系，属基本题型的考查6.如图， 中， ， ，若以 ， 为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. - 5 -【答案】D【解析】【分析】设 AB=BC=2，取 AB的中点为 O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线 OC，由余弦定理可得OC，cosCOB，求得 tanCOB，即为渐近线的斜率，由 a，b，c 的关系和离心率公式，即可得到【详解】设

6、 AB=BC=2，取 AB的中点为 O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线 OC，在三角形 OBC中，cosB= ，OC 2=OB2+BC22OBBCcosB=1+4212（ ）=7，OC= ，则 cosCOB= = ，可得 sinCOB= = ，tanCOB= = ，可得双曲线的渐近线的斜率为 ，不妨设双曲线的方程为 =1（a，b0） ，渐近线方程为 y= x，可得 = ，可得 e= = = = = 故选：D- 6 -【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题7.已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案

7、】A【解析】【分析】由条件 得到 的范围，结合由绝对值向量三角不等式得到结果.【详解】因为 ，由绝对值向量三角不等式得：= = =1，故选 A.【点睛】本题考查向量三角不等式的应用，考查向量数量积的运算及计算公式，属于中等题8.有 6个人站成前后二排，每排 3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A. 384 B. 480 C. 768 D. 240【答案】A【解析】【分析】若甲站在边上甲有 4个位置可选，乙有 3个位置可选，其余的 4人任意排，此时的排法种数为 43 ；如果甲站在中间，甲有 2个位置可选，乙有 2个位置可选，其余的 4人任意排，此时的排法种数是 22 ，把这两

8、个结果相加即得所求- 7 -【详解】如果甲站在边上甲有 4个位置可选，乙有 3个位置可选，其余的 4人任意排，此时的排法种数为 43 =288如果甲站在中间，甲有 2个位置可选，乙有 2个位置可选，其余的 4人任意排，此时的排法种数是 22 =96根据分类计数原理，所有的不同的站法种数为 288+96=384，故选：A【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题9.若直线 与不等式组 表示的平面区域无公共点，则 的取值范围是A. B. C. D. R【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线 ax+by=1与平面区域无

9、公共点建立条件关系，即可得到结论【详解】不等式组 表示的平面区域是由 A（1，1） ，B（1，1） ，C（0，1）围成的三角形区域（包含边界） 直线 ax+by=1与 表示的平面区域无公共点，a，b 满足： 或 （a，b）在如图所示的三角形区域（除边界且除原点） 设 z=2a+3b，平移直线 z=2a+3b，当直线经过点 A1（0，1）时，z 最大为 z=3，当经过点 B1时，z 最小，由 解得 ，即 B1（2，1） ，此时 z=43=7，- 8 -故 2a+3b的取值范围是（7，3） 故选：C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键10.已知数列 是一个递增数列，满足

10、 ， , ，则 =A. 4 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】【分析】代入 n=1，求得 =1或 =2或 =3，由数列 是一个递增数列，满足 分类讨论求得结果.【详解】当 n=1时，则 =2 ，因为 ，可得 =1或 =2或 =3，当 =1时，代入 得 舍去；当 =2时，代入 得，即 =2， ，又 是一个递增数列，且满足当 =3时，代入 得 不满足数列 是一个递增数列， 舍去.- 9 -故选 B.【点睛】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于中档题非选择题部分二、填空题：本大题有 7小题, 多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分把答案填在答题卷的相应位置1

11、1.已知 ， ， ，则 _， _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】分别求出关于集合 M，N 的不等式，求出其范围，从而求出答案【详解】M=x|x 24=x|2x2，N=x|2x1=x|x0，则 MN=（0，2，而 CUN=x|x0，MC UN=（，2，故答案为：(1). (2). 【点睛】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题12.已知函数 ， 分别由下表给出1 2 31 3 11 2 33 2 1- 10 -则 的值为 ；满足 的 的值是 【答案】1，2【解析】= ；当 x=1时， ，不满足条件，当 x=2时， ，满足条件，当 x=3时， ，不满足条件， 只有 x=2

12、时，符合条件。13.二项式 的展开式的各项系数之和为_， 的系数为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】令 x=1，可得各项系数和再利用通项公式即可得出【详解】令 x=1，可得各项系数之和为：（1- ） 6= 的通项公式：T r+1= = x2r-6，令 2r6=2，解得 r=4含 x2项的系数= = 故答案为(1). (2). 【点睛】本题考查了二项式定理的展开式及其性质，考查了计算能力，属于基础题14.已知袋子中有大小相同的红球 1个，黑球 2个，从中任取 2个设 表示取到红球的个数，则 _， _【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】从袋中 3个球中任取 2个球，共有 种

13、取法，则其中 的可能取值为 0、1，利用古典概型的概率计算公式即可得出相应的概率，再由期望方差公式运算结果【详解】从袋中 3个球中任取 2个球，共有 种取法，则其中 的可能取值为 0、1，且 服从- 11 -超几何分布，P（ =0）= = ，P（ =1）= = 0 ， =故答案为(1). (2). 【点睛】本题考查超几何分布概率公式的应用，关键是理解表示方法：如在产品质量的不放回抽检中，若 N件产品中有 M件次品，抽检 n件时所得次品数 X=k，XH（n，M，N） ，则P（X=k）= 15.化简 _【答案】【解析】【分析】将 通分，进行恒等变换，计算结果.【详解】 = = =-4，故答案为-4

14、.【点睛】本题考查三角恒等变换，运用了二倍角公式及两角和差的正余弦公式，属于基本题.16.如图，已知 分别是正方形 的边 的中点，现将正方形沿 折成 的二面角，则异面直线 与 所成角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】- 12 -设正方形 ABCD的边长为 2，则我们可以求出BDF 中，DF，BF，BD 的长，由于DFB 即为异面直线 FB与 AE所成角，利用余弦定理，解三角形 DFB即可得到答案【详解】如图所示：连接 BD，AEDFDFB 即为异面直线 FB与 AE所成角.由题意可知，DFC ，所以三角形 DFC为等边三角形，所以 DC=DF=FC.设正方形 ABCD的边长为 2，则在BDF

15、 中，DF=1，BF= ，BDcosDFB=故答案为：【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用平移的方法，求出异面直线 FB与 AE所成角的平面角是解答本题的关键17.如图，已知 , 分别是椭圆 的左，右焦点， ， ， 是椭圆上 轴上方的三点，且 （ 为坐标原点） ，则 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】延长 交椭圆于 D,有对称性可知当 CD垂直于 x轴时，比值最小，当倾斜角为 0时比值最大，但取不到- 13 -【详解】延长 交椭圆于 D,有对称性可知 当 CD垂直于 x轴时， 最小，此时 ，当倾斜角为 0时比值最大，此时 =2，但取不到故答案为 .【点睛】本题考查椭圆的对称性的运

16、用，考查小题小做的技巧，是中档题三、解答题：本大题共 5小题，满分 74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在 中，角 的对边分别为 .（1）求 的值； （2）求 的面积.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)由 可求得 ，借助于诱导公式可得到 ，借助于两角和的正弦公式可得其值；(2)由正弦定理可求得 边，代入 求得三角形面积试题解析：(1) （2）由 得 考点：正弦定理解三角形；三角函数基本公式19.如图，三棱柱 的各棱长均为 2，侧面 底面 ，侧棱 与底面所成的角为 - 14 -（）求直线 与底面 所成的角；（）在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，求出 的

17、长；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2） 。【解析】试题分析：（1）根据题意建立空间直角坐标系，然后表示平面的法向量和直线的斜向量，进而利用向量的夹角公式得到线面角的求解。（2）假设存在点满足题意，然后利用向量的垂直关系，得到点的坐标。解：（1） 作 于 ，侧面 平面 ，则 , , , , , ,又底面 的法向量 4分设直线 与底面 所成的角为 ，则 ,所以，直线 与底面 所成的角为 6 分（2）设在线段 上存在点 ，设 = ， ,则7分设平面 的法向量令 9分设平面 的法向量- 15 -令 10分要使平面 平面 ，则12分考点：本题主要是考查线面角的求解，以及面面垂直的探索性命题的

18、运用。点评：解决该试题的关键是合理的建立空间直角坐标系，正确的表示点的坐标，得到平面的法向量和斜向量，进而结合数量积的知识来证明垂直和求解角的问题。20.已知数列 满足 ， （ ） （）证明数列 为等差数列，并求 的通项公式；（）设数列 的前 项和为 ，若数列 满足 ，且 对任意的恒成立，求 的最小值【答案】 （）证明见解析， ；（） .【解析】【分析】（）通过对（n+1）a n+1（n+2）a n=2变形、裂项可知 =2（ ） ，进而利用累加法、并项相加，计算即得结论；（）通过（I）可知 bn=n ，通过令 f（x）=x ，求导可知函数 f（x）先增后减，进而计算可得结论【详解】（n+1）a

19、 n+1（n+2）a n=2， = =2（ ） ，又 =1，当 n2 时， = +（ ）+（ ）+（ ）- 16 -=1+2（ + + ）= ，又 =1满足上式， = ，即 an=2n，数列a n是首项、公差均为 2的等差数列；（）解：由（I）可知 = =n+1，b n=n =n ，令 f（x）=x ，则 f（x）= +x ln ，令 f（x）=0，即 1+xln =0，解得：x 04.95，则 f（x）在(0, x 0)上单调递增，在(x 0,+ 单调递减.0f（x）maxf（4） ，f（5） ，f（6），又b 5=5 = ，b 4=4 = ，b 6=6 = ，M 的最小值为 【点睛】本题考

20、查数列的通项及前 n项和，考查裂项相消法、累加法的逆用等基础知识，考查利用导数研究函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题21.如图，已知直线 分别与抛物线 交于点 ，与 轴的正半轴分别交于点 ，且 ，直线 方程为 （）设直线 ， 的斜率分别为 ，求证： ；（）求 的取值范围- 17 -【答案】 （）见解析；（） .【解析】【分析】（）联立 ，解得 且知 ，由题意可设 ， ，利用斜率公式直接带入即可得证.（）设 A点到 PB的距离为 ，C 点到 PB的距离为 由题意得 ，利用点到直线的距离代入求 的解析式，有反比例函数图象得范围.【详解】 （）联立 ，解得 ，由图象可知， 易知 ，由题意可

21、设 ， （ ） ， , , 故 （）由（）得， ， ，联立 ，得: ，同理，得 设 A点到 PB的距离为 ，C 点到 PB的距离为 ， ， - 18 -因为 ，所以 的取值范围是 【点睛】题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立，可得交点的坐标，利用了斜率计算公式、点到直线间的距离公式、函数的单调性，属于难题22.设 ，已知函数 （）求函数 的单调区间； （）求函数 在 上的最小值 ；（）若 , 求使方程 有唯一解的 的值【答案】 （） ，则 在 上递增， ，则 在在 上递减， 上递增，（） （） .【解析】【分析】（1）令 大于 0、小于 0，讨论 a的范围求解.（2）直接由（1）的单调性得最

22、小值.（3）令 ，令 得 在 递减，上递增， 有唯一解， 得到 a与 的关系，转化为 的方程，求得 进而求得 a.【详解】 （） 定义域为 ， ，则 在 上递增，则 在在 上递减， 上递增， （）由（）可知， 时， 在上是增函数， ；当 时， 在 上递减， 上递增， ；综上， - 19 -（）令 ，由题意，得方程 有唯一解，又，定义域为 ， 令 得 在 递减， 上递增，有唯一解， 由 即 得 ，设 ，易知 在 递增，且方程 的解为 即 ，解得 ，故，当 时，方程 有唯一解时 的值为 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数在区间上的最值问题，同时考查了函数的零点问题，渗透了分类讨论思想，是一道综合题- 20 -