版选修4_5.doc
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1、1第二讲 讲明不等式的基本方法 考情分析从近两年的高考试题来看,不等式的证明主要考查比较法与综合法,而比较法多用作差比较,综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质,题目难度不大,属中档题在证明不等式时,要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少” “至多”“恒成立”等方式给出,可考虑用反证法在必要的情况下,可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明 真题体验 1(2017全国卷)已知 a0, b0, a3 b32.证明:(1)(a b)(a5 b5)4;(2)a b2.证明:(1)( a b
2、)(a5 b5) a6 ab5 a5b b6( a3 b3)22 a3b3 ab(a4 b4)4 ab(a2 b2)24.(2)因为( a b)3 a33 a2b3 ab2 b323 ab(a b)2 (a b)3(a b)242 ,3(a b)34所以( a b)38,因此 a b2.2(2016全国卷)已知函数 f(x) , M 为不等式 f(x)2 的解集|x12| |x 12|(1)求 M;(2)证明:当 a, b M 时,| a b|1 ab|.解:(1) f(x)Error!当 x 时,由 f(x)2 得2 x2,解得 x1;12当 x 时, f(x)2 恒成立;12 12当 x
3、时,由 f(x)2 得 2x2,解得 x1.122所以 f(x)2 的解集 M x|1 x1(2)证明:由(1)知,当 a, b M 时,1 a1,1 b1,从而( a b)2(1 ab)2 a2 b2 a2b21( a2 1)(1 b2)0.因此| a b|1 ab|.比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是:作差;恒等变形;判断结果的符号;下结论其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变
4、形的方法例 1 若 x, y, zR, a0, b0, c0,求证:x2 y2 z22( xy yz zx)b ca c ab a bc证明 x2 y2 z22( xy yz zx)b ca c ab a bc (bax2 aby2 2xy) (cby2 bcz2 2yz) x y2(acz2 cax2 2zx) ba aby z2 z x20.cb bc ac ca x2 y2 z22( xy yz zx).b ca c ab a bc综合法证明不等式综合法证明不等式的思维方向是“顺推” ,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立综合法证明不等式的
5、依据是:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当时,取等号”的理由要理解掌握例 2 设 a, b, cR 且 a b c1.求证:(1)2 ab bc ca ;c22 12(2) 2.a2 c2b b2 a2c c2 b2a3证明 (1)因为 1( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca4 ab2 bc2 ca c2,当且仅当 a b 时等号成立,所以 2ab bc ca (4ab2 b
6、c2 ca c2) .c22 12 12(2)因为 , , ,a2 c2b 2acb b2 a2c 2abc c2 b2a 2bca当且仅当 a b c 时等号成立13所以 a2 c2b b2 a2c c2 b2a (acb abc) (abc bca) (acb bca) a b c(cb bc) (ac ca) (ab ba)2 a2 b2 c2,当且仅当 a b c 时等号成立.13分析法证明不等式分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推” ,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到
7、的充分条件是已知(或已证)的不等式当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效分析法是“执果索因” ,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果” ,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用例 3 已知 a0, b0,且 a b1,求证: 2.a 12 b 12证明 要证 2,a 12 b 12只需证 24,(a 12 b 12)即证 a b12 4.(a 12)(b 12)即证
8、1.(a12)(b 12)也就是要证 ab (a b) 1,12 144即证 ab .14 a0, b0, a b1.1 a b2 , ab ,即上式成立ab14故 2.a 12 b 12反证法证明不等式用直接法证明不等式困难的时候,可考虑用间接证法予以证明,反证法是间接证法的一种假设欲证的命题是“若 A 则 B”,我们可以通过否定 来达到肯定 B 的目的,如果 只有B B有限多种情况,就可用反证法用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论,从而肯定原命题成立例 4 已知 a, b, c 为实数, a b c0, ab bc ca
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