2019高中数学第1章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分学案新人教B版选修2_2.doc

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1、11.4.1 曲边梯形面积与定积分1了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想2掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质1一般函数定积分的定义设函数 y f(x)定义在区间 a， b上，用分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间a， b分为 n 个小区间，其长度依次为 xi_， i0,1,2， n1.记 为这些小区间长度的最大者，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋近于 0.在每个小区间内任取一点 i，作和式 In10if( i) xi.当 0 时，如果和式的极限存在，我们把_叫做_的定积分，记作 baf(x)dx，即

2、f(x)dx10nif( i) xi.lim 0其中 f(x)叫做_， a 叫_， b 叫_， f(x)dx 叫做被积式此时称函数 f(x)在区间 a， b上_(1)定积分 af(x)dx 是一个常数(2)用定义求定积分的一般步骤：分割： n 等分区间 a， b；近似代替：在每个小区间任取 i.求和：10if( i) ；b an取极限： baf(x)dx10nif( i) .limn b an【做一做 11】 “求和式极限”所得的面积(或路程)是_值(填“近似”或“精确”)；定积分 baf(x)dx 是_(填“函数”或“常数”)【做一做 12】利用定积分定义计算 21(1 x)dx_.2曲边梯

3、形的面积根据定积分的定义，曲边梯形的面积 S 等于2_的定积分，即_【做一做 21】定积分 bacdx(c 为常数)的几何意义是_【做一做 22】由 ysin x， x0， x ， y0 所围成图形的面积写成定积分的形 2式是_1定积分有哪些性质？剖析：(1)定积分有三条主要的性质： bakf(x)dx k baf(x)dx(k 为常数)； f(x)g(x)dx f(x)dx bag(x)dx； baf(x)dx baf(x)dx baf(x)dx(a c b)(2)性质称为定积分的线性性质，性质称为定积分对积分区间的可加性(3)性质的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积(4

4、)性质对于有限个函数(两个以上)也成立性质对于把区间 a， b分成有限个(两个以上)区间也成立(5)对于定积分的性质可以用图直观地表示出来，即 S 曲边梯形 AMNB=S 曲边梯形AMPC+S 曲边梯形 CPNB.(6)定义中区间的分法和 xi 的取法都是任意的(7)在定积分的定义中， baf(x)dx 限定下限小于上限，即 a b.为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定： bf(x)dx af(x)dx，af(x)dx0.2怎样计算曲边梯形的面积？剖析：(1)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积

5、 S baf(x)dx(如图)(2)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积 ()dbaSf f(x)dx(如图)(3)由两条直线 x a， x b(a b)，两条曲线 y f(x)， y g(x)(f(x) g(x)围成的平面图形的面积 S bf(x) g(x)dx(如图)3(4)由三条直线 x a， x b(a b)， x 轴，一条曲线 y f(x)(如图)围成的曲边梯形的面积 S caf(x)dx cf(x)dx.题型一 利用定义求定积分【例题 1】已知一物体做自由落体运动，运动速度 v gt，用定积分的定义求在时间区间0

6、， t内，物体下落的距离 s.分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可反思：(1)根据定义求定积分的步骤：分割；近似代替；求和；取极限(2)物体作变速直线运动所经过的路程 s 等于其速度函数 v v(t)在时间区间0， t上的定积分，即 0=dtsv.题型二 定积分的几何意义【例题 2】用定积分的几何意义求badx(b a)的值(x a)(b x)分析：明确定积分的几何意义曲边梯形的面积，结合曲线特点求解反思： af(x)dx(f(x)0)表示曲边梯形的面积，而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点)，求出面积，从而得出定积分的值题型三 易错辨析易错点：

7、用定积分表示曲边梯形的面积时，不注意曲边梯形的位置，从而导致错误，当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边梯形面积的相反数【例题 3】用定积分表示由曲线 ysin x 与直线 x， x0， y0 所围成的图形的面积错解：所求面积为 0sindx.1 设函数 f(x)定义在区间 a， b上，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b，把区间 a， b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点 i(i0,1，2， n1)，作和式 Sn 0if( i) x(其中 x 为小区间的长度)，那么和式

8、Sn的大小( )A与 f(x)和区间 a， b有关，与分点的个数 n 和 i的取法无关B与 f(x)、区间 a， b和分点个数 n 有关，与 i的取法无关C与 f(x)、区间 a， b和 i的取法有关，与分点的个数 n 无关D与 f(x)、区间 a， b、分点的个数 n、 i的取法都有关2 设连续函数 f(x)0，则当 a b 时，定积分 baf(x)dx 的符号( )A一定是正的B一定是负的4C当 0 a b 时是正的，当 a b0 时是负的D以上结论都不对3 下列式子中不成立的是( )A 2+asin xdx 2+acos xdxB 0sin xdx 0cos xdxC sin xdx c

9、os xdxD 0|sin x|dx 0|cos x|dx4 直线 x0， y0， x2 与曲线 y( )x所围成的图形的面积用定积分表示为2_5 若 baf(x)dx6，则10nif( i) _.limn b an答案：基础知识梳理1 xi1 xi 和式 In的极限 函数 f(x)在区间 a， b上 被积函数 积分下限 积分上限可积【做一做 11】精确 常数【做一做 12】 因为 f(x)1 x 在区间1,2上连续，将区间1,2分成 n 等份，52则每个区间的长度为 xi ，在 xi1 ， xi 上取1n 1 i 1n ， 1 in i xi1 1 (i1,2,3， n)，于是 f( i)

10、f(xi1 )11 2 ，i 1n i 1n i 1n从而 1nif( i) xi 1(2 ) 1i( )i 1n 1n 2n i 1n2 n 012( n1)2 2 ，所以 (1 x)dx，2n 1n2 1n2 n n 12 n 12n 212 .limn (2 n 12n) 12 522其曲边所对应的函数 y f(x)在区间 a， b上 S f(x)dxba【做一做 21】表示由直线 x a， x b(a b)， y0 和 y c 所围成的矩形的面积【做一做 22】20sin xdx典型例题领悟【例题 1】解：(1)分割把区间0， t等分成 n 个小区间 (i1，2， n)，i 1nt，

11、int每个小区间所表示的时间 t t .itn i 1n tn5在各个小区间物体下落的距离依次记为 s1， s2， sn.(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在小区间 上任取一时刻 i(i1，2， n)，为计算方便，取 i为小区i 1nt， int间的左端点，用时刻 i的速度 v( i) g t 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此在i 1n每个小区间上物体在 t 内所经过的距离，可以近似地表示为tn si g t (i1,2， n)i 1n tn(3)求和Sn 1ii 1n i 1 tn tn 012( n1) gt2 .gt2n2 12 (1 1n)从而得到

12、 s 的近似值，即 s Sn gt2 .12 (1 1n)(4)取极限当所分时间区间愈短，即 t 愈小时， Sn的值就愈接近 s，因此，当 n，即 t0 时， Sn的极限，就是所求的做自由落体运动的物体在时间区间0， t内所经过的距离s limnSn ligt2 gt2.12 (1 1n) 12【例题 2】解：令 y f(x) ，则有 x a b x2 y2 2(y0)表示以 为圆心，半径为 的上半圆，而这个(xa b2 ) (b a2 ) (a b2 ， 0) b a2上半圆的面积为 S r2 2 ，12 2(b a2 ) b a 28由定积分的几何意义可知dx .ba x a b x b a 28【例题 3】错因分析：图形在 x 轴下方，故其面积应等于定积分的相反数正解：图形面积为 0sin xdx.随堂练习巩固1D 2A3C 分别作出被积函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 在各区间上的图象，由定积分的几何意义，易得只有 C 选项不成立64 ( )xdx， 5620 2