版选修1_2.docx

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1、1第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中 a， b分别是它的实部和虚部若 b0，则 a bi为实数，若 b0，则 a bi为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi为纯虚数(2)复数相等： a bi c dia c且 b d(a， b， c， dR)(3)共轭复数： a bi与 c di共轭 a c且 b d0( a， b， c， dR)(4)复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面在复平面内 x轴叫做实轴， y轴叫

2、做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模向量 的长度叫做复数 z a bi的模(或绝对值)，记作| z|或| a bi|，即| z| a bi|OZ .a2 b22复数的几何意义(1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR) 一 一 对 应 (2)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 . 一 一 对 应 OZ 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；2减法： z

3、1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；除法： i(c di0)z1z2 a bic di a bic dic dic di ac bdc2 d2 bc adc2 d2(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数 z1， z2， z3，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3)4共轭复数的性质(1)z R.z(2) z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若 z ，则 z是实数z(4)共轭复数对应的点关于实轴对称1复数中有相等复数的概念

4、，因此复数可以比较大小( )2原点是实轴与虚轴的交点( )3方程 x2 x10 没有解( )类型一 复数的概念例 1 已知复数 z a2 a6 i(aR)，分别求出满足下列条件的实数 a的值：a2 2a 15a2 4(1)z是实数；(2) z是虚数；(3) z是 0.解 由 a2 a60，解得 a2 或 a3.由 a22 a150，解得 a5 或 a3.由 a240，解得 a2.(1)由 a22 a150 且 a240，得 a5 或 a3，当 a5 或 a3 时， z为实数(2)由 a22 a150 且 a240，3得 a5 且 a3 且 a2，当 a5 且 a3 且 a2 时， z是虚数(3

5、)由 a2 a60，且 a22 a150，且 a240，得 a3，当 a3 时， z0.引申探究 本例中条件不变，若 z为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，说明理由解 由 a2 a60，且 a22 a150，且 a240，得 a无解，不存在实数 a，使 z为纯虚数反思与感悟 (1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据跟踪训练 1 复数 zlog 3(x23 x3)ilog 2(x3)，当 x为何实数时，(1) zR；(2) z为虚数解 (1)

6、因为一个复数是实数的充要条件是虚部为 0，所以Error!解得 x4，所以当 x4 时， zR.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为 0，所以Error! 解得 x 且 x4.3 212所以当 x 且 x4 时， z为虚数3 212类型二 复数的四则运算例 2 (1)计算： 2 012 ； 23 i1 23i ( 21 i) 4 8i2 4 8i211 7i(2)已知 z1i，求 的模z2 3z 6z 1解 (1)原式 1 006i1 23i1 23i ( 21 i)2 4 8i2 4 8i211 7ii(i) 1 00601i.4(2) 1i，z2 3z 6z 1 1 i2 31 i

7、 62 i 3 i2 i 的模为 .z2 3z 6z 1 2反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到( a bi)(c di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化(2)虚数单位 i的周期性i 4n1 i，i 4n2 1，i 4n3 i，i 4n1( nN )i ni n1 i n2 i n3 0( nN )跟踪训练 2 计算： ( i)5 4 7.1i 2 2 ( 11 i) (1 i1 i)解 ( i)5 4 71i 2 2 ( 11 i) (1 i1 i)i( )5(1i) 22(1i) 2i 72 11 i216 (1i) i214 (16 1)i.(16

8、214) 2类型三 复数问题实数化思想例 3 已知复数 z12， i，并且| z|2 ，| z z1| z z2|，求 z.z2z1 2解 设 z a bi(a， bR)， z12， i，z2z1 z22i.| z|2 ，则 2 .2 a2 b2 2| z z1| z z2|，即| a2 bi| a( b2)i|， a 22 b2 a2 b 22由得Error!或Error! z22i 或 z22i.反思与感悟 设出复数 z的代数形式，利用复数的分类及运算，列出方程，求得复数的实部和虚部，这是求解复数的常用思路跟踪训练 3 已知 z是复数， z3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位)z 5i

9、2 i(1)求复数 z；5(2)求 的模z1 i解 (1)设 z a bi(a， bR)， z3i a( b3)i 为实数，可得 b3.又 为纯虚数，a 2i2 i 2a 2 a 4i5 a1，即 z13i.(2) 2i，z1 i 1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i 4 2i2 .|z1 i| 22 12 5类型四 复数的几何意义例 4 设复数 z满足| z|1，求| z(34i)|的最值解 由复数的几何意义知，| z|1 表示复数 z在复平面内对应的点在以原点为圆心，1 为半径的圆上，因而| z(34i)|的几何意义是求此圆上的点到点 C(3,4)的距离的最大值与最小值如图，易知|

10、z(34i)| max| AC| OC|1 16，32 42|z(34i)| min| BC| OC|14.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：| z1 z2|表示复数 z1， z2对应的两点 Z1， Z2之间的距离跟踪训练 4 已知复平面内点 A， B对应的复数分别是 z1sin 2 i， z2cos 2 icos 2 ，其中 (0，)，设 对应的复数为 z.AB (1)求复数 z；(2)若复数 z对应的点 P在直线 y x上，求 的值12解 (1)由题意得 z z2 z1cos 2 sin 2 (cos 2 1)i

11、12sin 2 i.6(2)由(1)知，点 P的坐标为(1，2sin 2 )由点 P在直线 y x上，得2sin 2 ，12 12sin 2 ，又 (0，)，sin 0，14因此 sin ， 或 .12 6 561复数 z (aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则 a等于( )2 ai1 iA2 B1 C1 D2答案 D解析 z 在复平面内对应的点 在虚轴2 ai1 i 2 ai1 i1 i1 i 2 a a 2i2 (2 a2， a 22 )上，所以 2 a0，即 a2.2已知 f(x) x31，设 i是虚数单位，则复数 的虚部是 ( )fiiA1 B1 Ci D0答案 B解析 f(i)i 3

12、1i1， 1i，虚部是 1.fii i 1i i2 i 1 1 i 13已知 2 ai， bi( a， bR)是实系数一元二次方程 x2 px q0 的两根，则 p， q的值为( )A p4， q5 B p4， q5C p4， q5 D p4， q5答案 A解析 由条件知 2 ai， bi 是共轭复数，则 a1， b2，即实系数一元二次方程x2 px q0 的两个根是 2i，所以 p(2i)(2i)4， q(2i)(2i)5.4若| z1|2，则| z3i1|的最小值为_答案 1解析 因为| z1|2，所以复数 z在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2 为半径的圆上| z3i1|表示复数

13、z在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值为71.5设复数 z和它的共轭复数 满足 4z2 3 i，求复数 z.z z 3解 设 z a bi(a， bR)因为 4z2 3 i，z 3所以 2z(2 z2 )3 i.z 3又 2z2 2( a bi)2( a bi)4 a，整体代入上式，z得 2z4 a3 i.3所以 z i.33 4a2 12根据复数相等的充要条件，得Error!解得 Error!所以 z i.32 121对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以

14、重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成a bi(a， bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义求解复数，往往设出复数的代数形式，将复数问题实数化.一、选择题1复数 z对应的点在第二象限，它的模为 3，实部是 ，则 是( )5 zA 2i B 2i5 5C. 2i D. 2i5 5答案 B解析 设复数 z的虚部为 b，则 z bi， b0，53 ， b2， z 2i，5 b2 58则 z的共轭复数是 2i，故选 B.52复数 的虚部是( )1

15、2 i 11 2iA. i B. C i D15 15 15 15答案 B解析 i.故选 B.1 2 i 11 2i 2 i5 1 2i5 15 153若 z12i，则 等于( )4izz 1A1 B1 Ci Di答案 C解析 z12i，则 i.4izz 1 4i1 2i1 2i 1 4i5 14若复数 zcos isin (i是虚数单位)，复数 z2的实部、虚部分别为 a， b，则下列12 12结论正确的是( )A ab0 B a2 b21C. D. ab 3 ba 3答案 C解析 zcos isin ，12 12 z2 2(cos 12 isin 12)cos 2 sin 2 2cos s

16、in i12 12 12 12cos isin i，6 6 32 12则 a ， b ，则 ，故选 C.32 12 ab 35向量 对应的复数是 54i，向量 对应的复数是54i，则向量OZ1 OZ2 对应的复数是( )Z1Z2- - - - - A108i B108iC810i D8(10i)答案 A9解析 向量 对应的复数是 54i，可得 Z1(5，4)；OZ1 向量 对应的复数是54i，可得 Z2(5,4)；OZ2 向量 对应的点是(10,8)，Z1Z2- - - - - 即向量 对应的复数是108i.故选 A.Z1Z2- - - - - 6已知复数 z的模为 2，则| zi|的最大值为

17、( )A1 B2 C. D35答案 D解析 | z|2，则复数 z对应的点的轨迹是以圆心为原点，半径为 2的圆，而| zi|表示的是圆 上 一 点 到 点 (0,1)的 距 离 ， 其 最 大 值 为 圆 上 的 点 (0， 2)到 点 (0,1)的 距 离 ， 最 大 的 距离 为 3.7复数 z满足( z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z的共轭复数 为( )zA2i B2iC5i D5i考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 D解析 由( z3)(2i)5，得 z3 2i，52 i z5i， 5i.z二、填空题8若复数 z满足(1i) z2，则 z的实部为_答案 1解

18、析 因为(1i) z2，所以 z 1i，所以其实部为 1.21 i9若复数 b(bR)所对应的点在直线 x y1 上，则 b的值为_1 i1 i答案 0解析 复数 b b b bi.1 i1 i 1 i21 i1 i 2i210所对应的点( b,1)在直线 x y1 上， b11，解得 b0.10如图，在复平面内，点 A对应的复数为 z1，若 i(i 为虚数单位)，则 z2_.z2z1答案 2i解析 由图可知， z112i，由 i，得 z2 z1i(12i)i2i.z2z111使 z R，且| z3|3 成立的虚数 z_.9z答案 i32 332解析 设 z a bi(a， bR 且 b0)，

19、则z a bi i.9z 9a bi (a 9aa2 b2) (b 9ba2 b2)由 z R，得 b 0，9z 9ba2 b2又 b0，故 a2 b29.又由| z3|3，得 3.a 32 b2由，得Error!即 z i或 z i.32 332 32 332三、解答题12已知复数 z1(1 bi)(2i)， z23(1 a)i (a， bR，i 为虚数单位)(1)若 z1 z2，求实数 a， b的值；(2)若 b1， a0，求 .|z1 z21 2i|解 (1)复数 z1(1 bi)(2i)2 b(2 b1)i，z23(1 a)i，由 z1 z2，可得Error!解得Error!所以实数

20、a2， b1.11(2)若 b1， a0，则 z113i， z23i. 2.|z1 z21 2i| |1 3i 3 i|1 2i| 42 221 2213若 f(z)2 z 3i， f( i)63i，求复数 z.z z解 f(z)2 z 3i，z f( i)2( i)( i)3iz z z2 2i zi3iz2 z2i.z又 f( i)63i，z2 z2i63i，z即 2 z6i.z设 z x yi(x， yR)，则 x yi.z2( x yi) x yi3 x yi6i，Error! Error! z2i.四、探究与拓展14若 z ，则 z2 012 z102_.1 i2答案 1i解析 z2 012 z102( z4)503( z2)51(1) 503(i) 511i 483 1i.15是否存在复数 z，使其满足 z2i 3 ai？如果存在，求实数 a的取值范围；如果z z不存在，请说明理由解 设 z x yi(x， yR)，则原条件等式可化为 x2 y22i( x yi)3 ai.由复数相等的充要条件，得Error!消去 x，得 y22 y 30.a24所以当 44 16 a20，(a24 3)即4 a4 时，复数 z存在故存在满足条件的复数 z，且实数 a的取值范围为4,4