版选修2_2.doc

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1、111.2 瞬时变化率导数曲线上一点处的切线如图 Pn的坐标为( xn， f(xn)(n1,2,3,4)， P 的坐标为( x0， y0)问题 1：当点 Pn点 P 时，试想割线 PPn如何变化？提示：当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置问题 2：割线 PPn斜率是什么？提示：割线 PPn的斜率是 kn .f(xn) f(x0)xn x0问题 3：割线 PPn的斜率与过点 P 的切线 PT 的斜率 k 有什么关系呢？提示：当点 Pn无限趋近于点 P 时， kn无限趋近于切线 PT 的斜率 问题 4：能否求得过点 P 的切线 PT 的斜率？提示：能1割线设 Q 为曲线 C 上

2、不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称为曲线的割线2切线随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C.当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 也称为曲线在点P 处的切线.瞬时速度与瞬时加速度一质点的运动方程为 S83 t2，其中 S 表示位移， t 表示时间问题 1：该质点在1,1 t这段时间内的平均速度是多少？提示：该质点在1,1 t这段时间内的平均速度为263 t.8 3(1 t)2 8 312 t问题 2： t 的变化对所求平均速度有何影响？提示： t 越小，平均速度越接近常数6.1平均

3、速度运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度2瞬时速度一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体位移 S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t t0时的瞬时速度，S(t0 t) S(t0) t也就是位移对于时间的瞬时变化率3瞬时加速度一般地，如果当 t 无限趋近于 0 时，运动物体速度 v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t t0时的瞬时加速度，v(t0 t) v(t0) t也就是速度对于时间的瞬时变化率导 数1导数设函数 y f(x)在区间( a， b)上有定义， x0( a， b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值 无限趋近于一个

4、常数 A，则称 f(x)在 x x0处可导，并称该常数 y x f(x0 x) f(x0) xA 为函数 f(x)在 x x0处的导数，记作 f( x0)2导数的几何意义导数 f( x0)的几何意义是曲线 y f(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率3导函数(1)若 f(x)对于区间( a， b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f( x)，在不引起混淆时，导函数 f( x)也简称 f(x)的导数(2)f(x)在 x x0处的导数 f( x0)就是导函数 f( x)在 x x0处的函数

5、值1利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程32函数 y f(x)在点 x0处的导数 f( x0)就是导函数 f( x)在 x x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值对 应 学 生 用 书 P5求曲线上某一点处的切线例 1 已知曲线 y x 上的一点 A ，用切线斜率定义求：1x (2， 52)(1)点 A 处的切线的斜率；(2)点 A 处的切线方程思路点拨 先计算 ，再求其在 x 趋近于 0 时无限逼近的值f(2 x) f(2) x精解详析 (1) y f(2 x) f(2)2 x x，12 x (2 12)

6、 x2(2 x) 1. y x x2 x(2 x) x x 12(2 x)当 x 无限趋近于零时， 无限趋近于 ， y x 34即点 A 处的切线的斜率是 .34(2)切线方程为 y (x2)，52 34即 3x4 y40.一点通 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处， x 无限趋近于 0 时， 无限趋近的常数 y x1曲线 y x22 在点 P 处的切线的斜率为_12 (1， 52)解析：设 P ， Q ，则割线 PQ 的斜率为 kPQ(1， 52) (1 x， 12(1 x)2 2) x1. 12(1 x)2 2 52 x 12当 x 无限

7、趋近于 0 时， kPQ无限趋近于1，所以曲线 y x22 在点 P 处12 (1， 52)4的切线的斜率为1.答案：12已知曲线 y2 x24 x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则 P 点坐标为_解析：设 P 点坐标为( x0， y0)，则 4 x042 x.f(x0 x) f(x0)(x0 x) x0 2( x)2 4x0 x 4 x x当 x 无限趋近于 0 时，4 x042 x 无限趋近于 4x04，因此 4x0416，即 x03，所以 y023 243181230.即 P 点坐标为(3,30)答案：(3,30)3已知曲线 y3 x2 x，求曲线上一点 A(1,2)处的切线的斜率及

8、切线方程解：设 A(1,2)， B(1 x,3(1 x)2(1 x)，则 kAB 53 x，3(1 x)2 (1 x) (312 1) x当 x 无限趋近于 0 时，53 x 无限趋近于 5，所以曲线 y3 x2 x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5.切线方程为 y25( x1)，即 5x y30.瞬时速度例 2 一质点按规律 S(t) at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在 t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求常数 a 的值思路点拨 先求出质点在 t2 s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解精解详析 因为 S S(2 t) S(2) a(2 t)21

9、 a2214 a t a( t)2，所以 4 a a t. S t当 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 4a. S t所以 t2 s 时的瞬时速度为 4a m/s.故 4a8，即 a2.一点通 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量 t，求出相应的位移的改变量 S，再求出平均速度 ，最后计算当 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近常数，v S t S t就是该物体在该时刻的瞬时速度54一做直线运动的物体，其位移 S 与时间 t 的关系是 S3 t t2，则此物体在 t2时的瞬时速度为_解析：由于 S3(2 t)(2 t)2(322 2)3 t4 t( t)2 t( t)2，所以 1 t.

10、 S t t ( t)2 t当 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数1. S t故物体在 t2 时的瞬时速度为1.答案：15如果一个物体的运动方程 S(t)Error!试求该物体在 t1 和 t4 时的瞬时速度解：当 t1 时， S(t) t22，则 2 t， S t S(1 t) S(1) t (1 t)2 2 3 t当 t 无限趋近于 0 时，2 t 无限趋近于 2，所以 v(1)2； t43，)， S(t)293( t3) 23 t218 t56， S t 3(4 t)2 18(4 t) 56 342 184 56 t 3 t6，3 t2 6 t t当 t 无限趋近于 0 时，3 t

11、66，即 6， S t所以 v(4)6.导数及其应用例 3 已知 f(x) x23.(1)求 f(x)在 x2 处的导数；(2)求 f(x)在 x a 处的导数思路点拨 根据导数的定义进行求解深刻理解概念是正确解题的关键精解详析 (1)因为 y x f(2 x) f(2) x(2 x)2 3 (22 3) x4 x，当 x 无限趋近于 0 时，4 x 无限趋近于 4，所以 f(x)在 x2 处的导数等于 4.6(2)因为 y x f(a x) f(a) x(a x)2 3 (a2 3) x2 a x，当 x 无限趋近于 0 时，2 a x 无限趋近于 2a，所以 f(x)在 x a 处的导数等

12、于 2a.一点通 由导数的定义知，求一个函数 y f(x)在 x x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量 y f(x0 x) f(x0)；(2)求平均变化率 ； y x f(x0 x) f(x0) x(3)令 x 无限趋近于 0，求得导数6函数 y x 在 x1 处的导数是_1x解析：函数 y f(x) x ，1x y f(1 x) f(1)1 x 11 ，11 x ( x)21 x ，当 x0 时， 0， y x x1 x y x即 y x 在 x1 处的导数为 0.1x答案：07设 f(x) ax4，若 f(1)2，则 a_.解析： a，f(1 x) f(1) x a(1 x) 4

13、 a 4 x f(1) a，即 a2.答案：28将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 x h 时，原油的温度(单位：)为 f(x) x27 x 15(0 x8)求函数 y f(x)在x6 处的导数 f(6)，并解释它的实际意义解：当 x 从 6 变到 6 x 时，函数值从 f(6)变到 f(6 x)，函数值 y 关于 x 的平均变化率为： f(6 x) f(6) x7(6 x)2 7(6 x) 15 (62 76 15) x 5 x.5 x ( x)2 x当 x6 时，即 x0，平均变化率趋近于 5，所以 f(6)5，导数 f(6)5 表示当 x6 h

14、时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度也就是说，如果保持 6 h 时温度的变化速度，每经过 1 h 时间，原油温度将升高 5.1利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点( x0， y0)在已知曲线上，则先求出函数 y f(x)在点 x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程 y y0 f( x0)(x x0)(2)若题中所给的点( x0， y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程2 f( x0)与 f( x)的异同区别 联系f( x0)f( x0)是具体的值，是数值f( x)f( x)是 f(x)在某区间 I

15、 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数在 x x0处的导数 f( x0)是导函数f( x)在 x x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值对应课时跟踪训练(二) 一、填空题1一质点运动的方程为 S53 t2，若该质点在时间段1,1 t内相应的平均速度为3 t6，则该质点在 t1 时的瞬时速度为_解析：当 t 无限趋近于 0 时，3 t6 无限趋近于常数6，该质点在 t1时的瞬时速度为6.答案：62函数 f(x)13 x 在 x2 处的导数为_解析： y f(2 x) f(2)3 x， 3， y x8则 x 趋于 0 时， 3. y x故 f

16、(x)在 x2 处的导数为3.答案：33已知函数 y f(x)的图象在点 M(1， f(1)处的切线方程是 y x2，则 f(1)12 f(1)_.解析：由题意知 f(1) ， f(1) 2 ，12 12 52所以 f(1) f(1) 3.52 12答案：34曲线 f(x) x22 在点 处的切线的倾斜角为_12 (1， 32)解析： f(1 x) f(1) x 12(1 x)2 2 (12 2) x x1.12( x)2 x x 12当 x 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 1，即切线的斜率为 1.f(1 x) f(1) x切线的倾斜角为 . 4答案： 45已知曲线 y2 ax21 过点

17、 P( ，3)，则该曲线在 P 点处的切线方程为_a解析： y2 ax21 过点 P( ，3)，a32 a21，即 a21.又 a0， a1，即 y2 x21. P(1,3)又 42 x. y x f(1 x) f(1) x 2(1 x)2 1 212 1 x当 x 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 4， y x f(1)4，即切线的斜率为 4.由点斜式可得切线方程为 y34( x1)，即 4x y10.9答案：4 x y10二、 解答题6已知质点运动方程是 S(t) gt22 t1( g 是重力加速度，常量)，求质点在 t4 12s 时的瞬时速度(其中 s 的单位是 m， t 的单位是

18、s)解： S t S(4 t) S(4) t12g(4 t)2 2(4 t) 1 (12g42 24 1) t12g( t)2 4g t 2 t t g t4 g2.12当 t0 时， 4 g2， S t S(4)4 g2，即 v(4)4 g2，所以，质点在 t4 s 时的瞬时速度为(4 g2) m/s.7求过点 P(1,2)且与曲线 y3 x24 x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程解：3(1 x)2 4(1 x) 2 (312 41 2) x 23 x，2 x 3( x)2 x当 x0 时，23 x2， f(1)2，所以直线的斜率为 2，所以直线方程为 y22( x1)，即 2x

19、 y40.8已知直线 l： y4 x a 和曲线 C： y x32 x23 相切求 a 的值及切点的坐标解：设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0， y0)， y x (x0 x)3 2(x0 x)2 3 (xoal(3,0) 2xoal(2,0) 3) x( x)2(3 x02) x3 x 4 x0.20当 x0 时， 3 x 4 x0， y x 20即 f( x0)3 x 4 x0，20由导数的几何意义，得 3x 4 x04，2010解得 x0 或 x02.23切点的坐标为 或(2,3)，(23， 4927)当切点为 时，(23， 4927)有 4 a， a ，4927 ( 23) 12127当切点为(2,3)时，有 342 a， a5，当 a 时，切点为 ；12127 ( 23， 4927)a5 时，切点为(2,3)