2019高考数学二轮复习专题四第八讲数列求和及简单应用课件文.pptx

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1、第八讲 数列求和及简单应用,总纲目录,命题角度一:利用an与Sn的关系求通项an,1.(2018安徽合肥质量检测)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2 an-3n,则a2 018= ( ) A.22 018-1 B.32 018-6 C. - D. -,答案 A 3Sn=2an-3n,当n=1时,3S1=3a1=2a1-3,a1=-3.当n2 时,3an=3Sn-3Sn-1=(2an-3n)-(2an-1-3n+3),an=-2an-1-3,an+1=-2(an-1+ 1),数列an+1是以-2为首项,-2为公比的等比数列,an+1=-2(- 2)n-1=(-2)n,an=(-2)n-1

2、,a2 018=(-2)2 018-1=22 018-1,故选A.,2.(2018课标全国(理),14,5分)记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2 an+1,则S6= .,答案 -63,解析 解法一:由Sn=2an+1,得a1=2a1+1,所以a1=-1,当n2时,an=Sn- Sn-1=2an+1-(2an-1+1),得an=2an-1,an是首项为-1,公比为2的等比数 列.S6= = =-63. 解法二:由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n2时,由Sn=2an+1得 Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1

3、=-2,Sn-1是首 项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-22n-1=-2n,所以Sn=1-2n,S6 =1-26=-63.,方法归纳 当已知数列an的一个含有an,Sn的等式时,往往根据升幂或降幂 的方法得到一个新的等式,然后两个等式相减,从而把前n项和转 化为数列的通项之间的关系,再根据这个关系求解数列的通项公 式. 提醒 由含an与Sn的关系式求an,应注意以下三点: (1)注意分n=1和n2两种情况处理,特别要注意使用an=Sn-Sn-1时需 n2; (2)由Sn-Sn-1=an(n2)推得an,当n=1时,a1也符合“an式”,则需“合 写”通项公式;,(3)由Sn-Sn-

4、1=an(n2)推得an,当n=1时,a1不符合“an式”,则数列的 通项公式应分段表示,即an=,命题角度二:利用递推公式求通项an,答案,1.(2018安徽合肥模拟)数列an满足:a1= ,且an+1= (nN*), 则数列an的前n项和Sn= .,解析 通解:an+1= ,两边同时取倒数得 = = +,整理得 = +3,所以 - =3,所以数列 是以 = 3为首项,3为公差的等差数列,所以 =3n,所以an= ,所以数列an 是常数列,所以Sn= . 优解:用归纳法求解,a1= ,根据an+1= ,可得a2= ,a3= ,a4= , 所以猜想an= ,经验证,an+1= ,从而Sn= .

5、,2.(2018辽宁沈阳质量监测)在数列an中,a1=1,a2=2,an+1=3an-2an-1(n 2),则an= .,答案 2n-1(nN*),解析 解法一:因为an+1=3an-2an-1(n2),所以 =2(n2),所以 an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n-1(n2),又a2-a1=1,所以an-an-1=2n-2,an-1-an-2=2n-3, ,a2-a1=1,累加,得an=2n-1(nN*). 解法二:因为an+1=3an-2an-1(n2),所以an+1-2an=an-2an-1,得an+1-2an=an- 2an-1=an-1-2an-2=a2-2a1=0,即an=

6、2an-1(n2),所以数列an是以1为 首项,2为公比的等比数列,所以an=2n-1(nN*).,方法归纳 由递推公式求通项公式的三种类型 (1)形如an+1=an+f(n)的数列,常用累加法,即利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2) +(an-an-1)求通项公式. (2)形如an+1=an f(n),常可采用累乘法,即利用恒等式an=a1 求通项公式. (3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b0,1)的数列,常用构造法.其 基本思路是:构造an+1+x=b(an+x) ,则an+x是公比为b 的等比数列,利用它可求出an.,1.数列an的前n项和记为Sn,a1=1,a

7、n+1=2Sn+1(n1,nN*),则数列 an的通项公式是 .,答案 an=3n-1(nN*),解析 解法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n2), 两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2). 又a2=2S1+1=3,a1=1,a2=3a1,故an是首项为1,公比为3的等比数 列, an=3n-1. 解法二:由于an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1, 所以Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1, 所以Sn+1+ =3 , 所以数列 是首项为S1+ = ,公比为3的等比数列,故Sn+ =,3n-1= 3n, 即Sn= 3n- . 所以

8、,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1, 当n=1时,a1=1也适合上式,所以数列an的通项公式是an=3n-1(nN*).,2.已知数列an满足an+1= 若a1= ,则a2 017= .,答案,解析 因为a1= ,所以根据题意得a2 = ,a3= ,a4= ,a5= ,所以数列 an是以4为周期的数列,又2 017=5044+1,所以a2 017=a1= .,3.已知数列an中,a1=2,且 =4(an+1-an)(nN*),则其前9项和S9=.,答案 1 022,解析 由已知,得 =4anan+1-4 ,即 -4anan+1+4 =(an+1-2an)2=0,所 以an+1=2an,

9、所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列,故S9= =210-2=1 022.,2.一些特殊数列的前n项和 (1)1+2+3+n= n(n+1); (2)1+3+5+(2n-1)=n2; (3)12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1); (4)13+23+33+n3= n2(n+1)2.,已知数列an满足a1=1,an+1= ,nN*. (1)求证:数列 为等差数列; (2)设T2n= - + - + - ,求T2n.,解析 (1)由an+1= ,得 = = + , 所以 - = . 又a1=1,则 =1,所以数列 是首项为1,公差为 的等差数列. (2)设bn= - = , 由(

10、1)得,数列 是公差为 的等差数列, 所以 - =- ,即bn= =- , 所以bn+1-bn=- =- =- .,又b1=- =- =- , 所以数列bn是首项为- ,公差为- 的等差数列, 所以T2n=b1+b2+bn=- n+ =- (2n2+3n).,已知数列an是等差数列,a2=6,前n项和为Sn,数列bn是等比数 列,b2=2,a1b3=12,S3+b1=19. (1)求an,bn的通项公式; (2)求数列bncos(an)的前n项和Tn.,解析 (1)数列an是等差数列,a2=6, S3+b1=3a2+b1=18+b1=19, b1=1, b2=2,数列bn是等比数列, bn=2

11、n-1. b3=4, a1b3=12,a1=3, a2=6,数列an是等差数列, an=3n. (2)设cn=bncos(an),由(1)得cn=bncos(an)=(-1)n2n-1,则cn+1=(-1)n+12n, =-2, 又c1=-1, 数列bncos(an)是以-1为首项、-2为公比的等比数列. Tn= = (-2)n-1.,命题角度二:分组求和分组求和法:将一个数列分成若干个简单数列(如等差数 列、等比数列、常数列等),然后分别求和.也可先根据通项公式 的特征,将其分解为可以直接求和的一些数列的和,再分组求和, 即把一个通项公式拆成几个通项求和的形式,方便求和.,已知等差数列an的

12、首项为a,公差为d,nN*,且不等式ax2-3x+ 20的解集为(1,d). (1)求数列an的通项公式; (2)若bn= +an-1,nN*,求数列bn的前n项和Tn.,方法归纳 若一个数列由两个或多个等差、等比数列的和差形式组成,或这 个数列可以分解成两个或多个等差、等比数列的和差形式,则可 以根据数列的结构对原数列求和式的各部分重新组合,进而使用 等差、等比数列的求和公式进行求和.解题的关键是观察结构、 巧分组.,设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项 和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设cn= 求数列

13、cn的前n项和Pn.,解析 (1)设等差数列an的公差为d,由题意, 得 解得 所以an=4n, 因为Tn-2bn+3=0, 所以当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0, 两式相减,得bn=2bn-1(n2), 则数列bn为等比数列,所以bn=32n-1. (2)cn= 当n为偶数时,Pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn),= + =2n+1+n2-2. 当n为奇数时, 解法一:n-1(n3)为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n- 1,n=1时符合公式. 解法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2

14、+b4+bn-1) = + =2n+n2+2n-1. 所以Pn=,已知数列an满足a1=3,an+1=2an-n+1,数列bn满足b1=2,bn+1=bn+ an-n,nN*. (1)证明:an-n为等比数列; (2)数列cn满足cn= ,求数列cn的前n项和Tn.,解析 (1)证明:因为an+1=2an-n+1, 所以an+1-(n+1)=2(an-n). 又a1=3,所以a1-1=2,所以数列an-n是以2为首项,2为公比的等比 数列. (2)由(1)知,an-n=22n-1=2n. 所以bn+1=bn+an-n=bn+2n,即bn+1-bn=2n. b2-b1=21,b3-b2=22,b

15、4-b3=23,bn-bn-1=2n-1. 以上式子相加,得bn=2+ =2n(n2). 当n=1时,b1=2,满足bn=2n, 所以bn=2n(nN*).,所以cn= = = - . 所以Tn= - + - + - = - .,(2018广州调研)已知数列an满足a1+4a2+42a3+4n-1an= (nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bnbn+1的前n项和Tn.,解析 (1)当n=1时,a1= . 因为a1+4a2+42a3+4n-2an-1+4n-1an= , 所以a1+4a2+42a3+4n-2an-1= (n2,nN*), -得4n-1an= (n2

16、,nN*), 所以an= (n2,nN*). 由于a1= 也符合上式,故an= (nN*). (2)由(1)得bn= = , 所以bnbn+1= = ,故Tn= = = .,命题角度四:错位相减法求和错位相减法:已知数列an是等差数列,数列bn是等比数列, 求数列anbn的前n项和Sn时,先令Sn乘等比数列bn的公比,再错 开位置,把两个等式相减,从而求出Sn.,已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等 比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4. (1)求an和bn的通项公式; (2)求数列a2nb2n-1(nN*)的前n项和.,解析

17、 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q 0). 因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12,又b1=2,所以q+q2-6=0, 解得q=2,所以bn=2n. 由b3=a4-2a1,S11=11b4,可得 解得 所以an=3n-2. 所以数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n. (2)由(1)知,a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,所以a2nb2n-1=(3n-1)4n.,设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn, 故Tn=24+542+843+(3n-1)4n, 4Tn=242+543+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1, -得

18、-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1 = -4-(3n-1)4n+1 =-(3n-2)4n+1-8, 所以Tn= 4n+1+ . 故数列a2nb2n-1的前n项和为 4n+1+ .,方法归纳 求解此类题需掌握三个技巧:一是巧分拆,即把数列的通项公式转 化为等差数列、等比数列的通项的和,并求出等比数列的公比;二 是构差式,求出前n项和的表达式,然后乘等比数列的公比,两式作 差;三是得结构,即根据差式的特征进行准确求和. 提醒 运用错位相减法求和时应注意三点:一是判断模型,即判 断数列an,bn一个为等差数列,一个为等比数列;二是错开位置, 如本题的式,先乘公比4,再把前n

19、项和退后一个位置来书写,这 样为两式相减避免看错做准备;三是相减时一定要注意式中的 最后一项的符号,学生常在此步出错,一定要小心.,(2018河北石家庄模拟)设数列an的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn= ,求数列bn的前n项和Tn.,解析 (1)由2Sn=3an-1, 得2Sn-1=3an-1-1(n2), -,得2an=3an-3an-1, =3(n2), 又2S1=3a1-1,2S2=3a2-1,a1=1,a2=3, =3, an是首项为1,公比为3的等比数列,an=3n-1(nN*). (2)由(1)得,bn= , Tn= + + +

20、,Tn= + + + ,-得, Tn= + + + - = - = - , Tn= - .,考点三 数列与函数、不等式的综合问题 命题角度一:数列与函数的综合问题,已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn+3)(nN*)在函数y=32x的 图象上,等比数列bn满足bn+bn+1=an(nN*),其前n项和为Tn,则下 列结论正确的是 ( ) A.Sn=2Tn B.Tn=2bn+1 C.Tnan D.Tnbn+1,答案 D 因为点(n,Sn+3)在函数y=32x的图象上, 所以Sn+3=32n,即Sn=32n-3. 当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-3-(32n-1-3)=32n-1,

21、又当n=1时,a1=S1=3,所以an=32n-1(nN*). 设bn=b1qn-1,则b1qn-1+b1qn=32n-1,可得b1=1,q=2,所以数列bn的通项 公式为bn=2n-1. 由等比数列前n项和公式可得Tn=2n-1. 结合选项可知,只有D正确.,方法归纳 求解此类题的关键:一是数形结合思想的应用,即由点在函数图象 上,把已知点的坐标代入函数表达式,求出数列的前n项和;二是会 求数列的通项公式,即通过an= 求出数列an的通项 公式;三是方程思想的应用,即通过设出等比数列的通项公式,代 入已知递推关系式,求出等比数列的通项公式.,命题角度二:数列与不等式的综合问题已知等差数列an

22、的前n项和为Sn,nN*,且a2=3,S5=25. (1)求数列an的通项公式; (2)若数列bn满足bn= ,记数列bn的前n项和为Tn,证明: Tn1.,解析 (1)设等差数列an的公差为d. 因为a2=3,S5=25,所以 解得 所以an=2n-1. (2)证明:由(1)知,an=2n-1,所以Sn= =n2. 所以bn= = = - . 所以Tn=b1+b2+b3+bn = + + =1- 1.,方法归纳 证明数列不等式的关键:一是会灵活运用等差数列与等比数列的 通项公式、前n项和公式以及裂项相消法;二是会利用放缩法证 明不等式.,1.若等差数列an中a3,a2 017是函数f(x)=

23、x3-6x2+4x-1的两个不同的 极值点,则lo a1 010的值为 ( ) A.-2 B.- C.2 D.,答案 B 由题易得f (x)=3x2-12x+4,因为a3,a2 017是函数f(x)=x3-6x2 +4x-1的两个不同的极值点,所以a3,a2 017是方程3x2-12x+4=0的两个 不等实数根,所以a3+a2 017=4.又数列an为等差数列,所以a3+a2 017=2 a1 010,即a1 010=2,从而lo a1 010=lo 2=- ,故选B.,2.(2018河南洛阳第一次统考)已知各项均不为零的数列an的前 n项和为Sn,且满足a1=4,an+1=3Sn+4(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)设数列bn满足anbn=log2an,数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn .,解析 (1)an+1=3Sn+4,an=3Sn-1+4(n2), 两式相减,得an+1-an=3an(n2),即an+1=4an(n2). 又a2=3a1+4=16=4a1, 数列an是首项为4,公比为4的等比数列, an=4n(nN*). (2)证明:anbn=log2an=log24n=2n, bn= , Tn= + + + ,Tn= + + + ,两式相减得,Tn= + + + + - =2 - =2 - = - - = - , Tn= - .,