江苏省扬州中学2017_2018学年高二数学上学期1月月考试卷（含解析）.doc

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1、- 1 -江苏省扬州中学 2017-2018 学年高二数学上学期 1 月月考试卷（含解析）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应位置）1.已知命题 ： . 是：_【答案】【解析】【分析】直接根据特称命题的否定解答.【详解】因为命题 ： ，是一个特称命题，所以 是： .故答案为：【点睛】 （1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 全称命题 ： ，全称命题 的否定（ ）： .特称命题 ,特称命题的否定 ,所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.2.已知集合 A= ,集合 B= ，若命题“

2、 ”是命题“ ”充分不必要条件，则实数 的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析:因命题“ ”是命题“ ”充分不必要条件,故 ,故应填答案 .考点：充分必要条件及运用3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_ 件.【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取 件，故答案为 18点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各- 2 -层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n

3、i Ni n N4.执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为_ 【答案】【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】模拟程序的运行，可得 k=1，s=2,满足条件 k3，执行循环体，k=2，s= ，满足条件 k3，执行循环体，k=3，s= ，不满足条件 k3，输出 s= .故答案为：【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.- 3 -5.抛物线 的焦点到双曲线 渐近线的距离为_【答案】【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，再求双曲线的渐近线，再求焦点

4、到渐近线的距离.【详解】由题得抛物线的焦点为（1,0） ，双曲线的渐近线为所以焦点到渐近线的距离为 .故答案为：【点睛】(1)本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 点 到直线 的距离 .6.曲线 在点 处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】求函数导数，利用导数的几何意义即可得到结论【详解】函数 的导数为 ，则函数在点（1，1）处的切线斜率 k= ，则函数在点（1，1）处的切线方程为 y+1=2（x+1） ，即 y=2x+1.故答案为：y=2x+1【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水

5、平和分析推理能力.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是7.函数 的单调减区间为_- 4 -【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再求函数的单调减区间.【详解】由题得 ，令所以函数的单调减区间为（-1,1）.故答案为：（-1,1）【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的单调减区间，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用导数求函数的单调区间:求函数的定义域 求导 解不等式 0 得解集 求 ,得函数的单调递增（减）区间.8.函数 f (x) xsinx 在区间0，上的最小值是_【答案】【解析】【分析】求出 f（x）的导数，根据导数值的符号，确

6、定 f（x）在0，上单调性，从而得出当 x=时，函数取最小值【详解】f（x）= cosx，x0，当 0 时，f（x）0，故 f（x）在0， 上单调递减；当 x 时，f（x）0，故 f（x）在（ ，上单调递增；当 x= 时，函数取最小值，f（ ）= 故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 用导数求函数的单调区间:求函数的定义域 求导 解不等- 5 -式 0 得解集 求 ,得函数的单调递增（减）区间.9.若直线 和直线 将圆 分成长度相等的四段弧，则【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于

7、 ，因此或 ，即 18考点：直线与圆位置关系10.过曲线 上一点 处的切线分别与 x 轴，y 轴交于点 A、B， 是坐标原点，若 的面积为 ，则 _ .【答案】【解析】【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令 x=0 和 y=0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标【详解】由题意可得 y0=x0 ，x 00，y=1+ ，切线的斜率为 1+ ，则切线的方程为 yx 0+ =（1+ ） （xx 0） ，令 x=0 得 y= ；令 y=0 得 x= ，- 6 -OAB 的面积 S= ，解得 x0= （负的舍去） 故

8、答案为：【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是 .11.当 时，函数 有极值 8，则 的值为_【答案】【解析】【分析】先对函数求导，再根据【详解】由题得 ，当 a=3,b=3 时， ，所以函数单调递增，与已知不符，所以舍去.当 时，满足题意 .所以 a+b= .故答案为：【点睛】 （1）本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 是函数在 存在极值的必要非充分条件，所以本题需要检验.

9、12.若函数 有两个极值点 ， ，其中 ， ，且，则方程 的实根个数为_【答案】5【解析】【分析】由函数 f（x）=lnx+ax 2+bxa2b 有两个极值点 x1，x 2，可得 2ax2+bx1=0 有两个不相- 7 -等的正根，必有=b 2+8a0而方程 2a（f（x） ） 2+bf（x）1=0 的 1=0，可知此方程有两解且 f（x）=x 1或 x2再分别讨论利用平移变换即可解出方程 f（x）=x 1或 f（x）=x 2解的个数【详解】函数 f（x）=lnx+ax 2+bxa2b 有两个极值点 x1，x 2，f（x）= +2ax+b= ，即为 2ax2+bx1=0 有两个不相等的正根，=

10、b 2+8a0解得 x= x 1x 2， ，b0，x 1= ，x 2= 而方程 2a（f（x） ） 2+bf（x）1=0 的 1=0，此方程有两解且 f（x）=x 1或 x2即有 0x 1x 2，：x 1，x 20 又 x1x2= 1 x 21，f（1）=b0f（x 1）0，f（x 2）0根据 f（x）画出 f（x）的简图，f（x 2）=x 2，由图象可知方程 f（x）=x 2有两解，方程 f（x）=x 1有三解综上可知：方程 f（x）=x 1或 f（x）=x 2共有 5 个实数解即关于 x 的方程 2a（f（x） ） 2+bf（x）1=0 的共有 5 不同实根故答案为：5【点睛】本题综合考查

11、了利用导数研究函数得单调性、极- 8 -值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了图象平移的思想方法、推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力13.已知椭圆 （ ）的左、右焦点为 、 ， 是椭圆上异于顶点的一点， 在上，且满足 ， ， 为坐标原点.则椭圆离心率 的取值范围_.【答案】【解析】【分析】设 ， ,由 得 ，再根据 求得 ，联立方程 得 ，再解不等式 即得解.【详解】设 ， , ， ， ,即 联立方程得： ，消去 得：解得： 或 解得：综上，椭圆离心率 的取值范围为 故答案为：【点睛】(1)本题主要考查向量的运算，考查向量垂直的坐标表示，考查椭圆离心率的范围，意在考查学生对这些

12、知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是求出 ，再解不等式 即得解.- 9 -14.若函数 （ 是自然对数的底数）在 的定义域上单调递增，则称函数具有 性质.下列函数中所有具有 性质的函数的序号为_. 【答案】【解析】【分析】本题考察的是对复合函数的单调性的考察，对四个选项分别讨论。【详解】 在 上单调递增，故 具有 性质； 在 上单调递减，故 不具有 性质； ，令 ，则 ， 当 时，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 不具有 性质； ，令 ，则 ， 在 上单调递增，故 具有 性质【点睛】推出分段函数的单调性，既可以通过将其拆解为基本初等函数然后通过同增异减来判断，也

13、可以通过求导来判断。二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.其中:15,16,17 各 14 分; 18,19,20 各 16 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.为选拔选手参加“中国汉字听写大会” ，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本（样本容量为 ）进行统计按照 ， ， ， ， 的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在 ，的数据） - 10 -（1）求样本容量 和频率分布直方图中的 ， 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以

14、上（含 80 分）的学生中随机抽取 2 名学生参加“中国汉字听写大会” ，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在内的学生有 3 人，分数在 内的学生有 2 人，抽取的 2 名学生的所有情况有 种，其中 2 名同学的分数至少有一名得分在 内的情况有 7 种，即可求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在 内的概率.试题解析：（1）由题意可知，样本容量 .(2)由题意可知,分数在 内的学生有 人,分数在 内的学生有 人,抽取的 名学生的所有情况有 种, 其中 名同学的分数至少有一

15、名得分在 内的情况有 种,所抽取的 名学生中至少有一人得分在 内的概率为 .16.设 p：实数 x 满足 x24ax+3a 20； q：实数 x 满足 0（1）若 a=1，且 pq 为真，求实数 x 的取值范围；（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围【答案】(1). ；(2) 【解析】【分析】(1)先化简命题 p 和 q,根据 pq 为真得出 p 和 q 的真假情况求出 x 的取值范围.(2)根据 p- 11 -是 q 的必要不充分条件列出 a 的不等式，解不等式即得解.【详解】因为 x24ax+3a 20，所以 ax3a,所以 1x3.因为 0，所以（x-2）(x-4

16、)0，所以 2x4.因为 pq 为真，所以 p，q 中至少有一个为真，其反面是两个都是假命题，当两个命题都是假命题时， ，所以 p，q 中至少有一个为真时，x 的范围为 .(2)因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 .【点睛】(1)本题主要考查不等式的解法，考查复合命题的真假，考查充要条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.(3) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题 和集合 的对应关系.， ；最后利用下面的结论判断：若 ,则 是 的充分条件，若 ，则

17、是 的充分非必要条件；若 ,则 是 的必要条件，若 ，则 是的必要非充分条件；若 且 ，即 时，则 是 的充要条件.17.如图所示的镀锌铁皮材料 ABCD，上沿 DC 为圆弧，其圆心为 A，圆半径为 2 米，ADAB，BCAB，且 BC=1 米。现要用这块材料裁一个矩形 PEAF（其中 P 在圆弧 DC 上、E 在线段 AB 上，F 在线段 AD 上）做圆柱的侧面，若以 PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最大？其最大值是多少？【答案】见解析【解析】【分析】分别以 AB、AD 所在直线为 轴、 轴建立直角坐标系 ，求出 ，再利用导数求- 12 -圆柱的体积最大值和裁剪方法.【详解】分别以 A

18、B、AD 所在直线为 轴、 轴建立直角坐标系 ，则圆弧 DC 的方程为：，设 ，圆柱半径为 ，体积为 ，则 ， ， ，设 ， ，令 ，得 当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数，当 时， 有极大值，也是最大值，当 米时， 有最大值 米 3，此时 米，答：裁一个矩形，两边长分别为 和 ，能使圆柱的体积最大，其最大值为 。【点睛】(1)本题主要考查坐标法和导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是建立坐标系，其二是求出.18.已知函数 ，其中 （1）若 ， ， ，求 的极值；（2）对于给定的实数 、 、 ，函数 图象上两点 ， （

19、）处的切线分别为 ， 若直线 与 平行，证明：A、B 关于某定点对称，并求出该定点【答案】 （1）极大值 ，极小值 ；（2）见解析【解析】【分析】(1)先求导，再利用导数求函数的极值.(2)先根据直线 与 平行得到 ，再求出，所以点 ， （ ）关于点 对称- 13 -【详解】 （1）当 ， ， 时，令（x+2）(x-1)=0,解得 ，所以函数在 上是增函数，在（-2,1）上是减函数，所以 .（2）因为 ，所以 ，所以 ， 的斜率分别为 ， 又直线 与 平行，所以 ，即因为 ，所以 ， 从而 ，所以又由上 ，所以点 ， （ ）关于点 对称故当直线 与 平行时，点 A 与点 B 关于点 对称【点睛

20、】 （1）本题主要考查利用导数求极值，考查曲线的切线问题，考查点的对称问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据直线 与 平行得到 ，其二是求出 .19.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上（ ）求椭圆 的方程（ ）设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点 为圆心的圆，满足此圆与 相交于两点 ， （两点均不在坐标轴上） ，且使得直线 、 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由【答案】(1) 椭圆方程为 ;(2)见解析.- 14 -【解析】试题分析：（I）借助题设条件建立方程组求解；（II）借助题设运用直线与椭

21、圆的位置关系推证和探求试题解析：（I）由题意得： ， ，又点 在椭圆 上， ，解得 ， ， ，椭圆 的方程为 5 分（II）存在符合条件的圆，且此圆的方程为 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为 当直线 的斜率存在时，设 的方程为 由方程组 得 直线 与椭圆 有且仅有一个公共点， ，即 由方程组 得 ，则 设 ，则 ， ，设直线 的斜率分别为 ，将 代入上式，- 15 -得 要使得 为定值，则 ，即 ，代入 验证知符合题意当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足 为定值 当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为 此时，圆 与 的交点 也满足 综上，当圆的方程为 时，圆与 的交点 满足直线 的斜率之积为定值 12 分考点：直线与椭圆的位置关系等有关知识的综合运用【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系的综合性问题解答本题的第一问时,直接依据题设条件将方程 ， 与 联立,然后求得椭圆的标准方程为第二问的求解过程中,先将直线 与椭圆方程 联立方程组得 ,消然后再利用坐标之间的关系进行推证 ,从而使得问题获解