2019届高考数学二轮复习第一篇专题一高考客观题的几种类型第2讲平面向量、框图与合情推理教案理.doc

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1、1第 2 讲 平面向量、框图与合情推理1.(2018全国卷,理 4)已知向量 a,b 满足|a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)等于( B )(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:a(2a-b)=2a 2-ab=2|a|2-ab.因为|a|=1,ab=-1,所以原式=21 2+1=3.故选 B.2.(2018全国卷,理 6)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则 等于( A )(A) - (B) -(C) + (D) +解析: = + = += ( + )+ ( - )12 12 12= - .故选 A.3.(2018全国卷,理 7)为计算 S=1- +

2、- + - ,设计了如图的程序框图,则在空121314 1100白框中应填入( B )(A)i=i+1 (B)i=i+2(C)i=i+3 (D)i=i+4解析:把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.循环次数 N 0+110+ +11130+ +11 0+ + +11132+1315+15续表循环次数 T 0+120+ +12140+ +12+1416 0+ + +1214+16 1100S 1-121- +12-1314 1- + -1213+ -141516 1- + -121314+ -1100因为 N=N+ ,由上表知 i 是 135,所以 i=i+2.故选 B.4.(2017全国

3、卷,理 8)执行如图所示的程序框图,如果输入的 a=-1,则输出的 S 等于( B )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:程序执行如下a=-1,S=0,K=1S=0+(-1)1=-1,a=1,K=2.S=-1+12=1,a=-1,K=3,S=1+(-1)3=-2,a=1,K=4,S=-2+14=2,a=-1,K=5,S=2+(-1)5=-3,a=1,K=6,S=-3+16=3,a=-1,K=76,输出 S=3.故选 B.5.(2017全国卷,理 7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老3师说:你们四人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的

4、成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( D )(A)乙可以知道四人的成绩(B)丁可以知道四人的成绩(C)乙、丁可以知道对方的成绩(D)乙、丁可以知道自己的成绩解析:乙、丙一定是一优一良,可推出甲、丁一优一良,乙知道丙的成绩,就可推理出自己成绩,丁看到甲的成绩同样可推理出自己成绩,故 D 正确,而他们仍无法知道其余两人成绩.1.考查角度(1)平面向量:考查平面向量的线性运算、数量积运算及其简单应用(求模、夹角,根据平行、垂直关系求参数值等).(2)框图:考查程序框图的算法功能、完善框图的条件等.(3)合情推理:考查逻辑推理与合情推理的综合运用.2.题型与难

5、易度选择题、填空题,难度中等或中等偏上.(对应学生用书第 45 页)平面向量考向 1 平面向量线性运算【例 1】 (1)(2018山西一模)在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 的中点,BE 与 AC 的交点为F,设 =a, =b,则向量 等于( )(A) a+ b (B)- a- b13 23 13 23(C)- a+ b (D) a- b13 23 13 23(2)(2018河北武邑中学调研二)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,E 为线段 AO的中点.若 = + (,R),则 + 等于( )(A)1 (B) (C) (D)34 23 12解析:(1)4如图

6、所示,因为点 E 为 CD 的中点,CDAB,所以 = =2,所以 = , = + =b- a,12所以 = b- a =- a+ b,故选 C.23 12 13 23(2)因为 E 为线段 AO 的中点,所以 = += +12= += + ,所以 += + = .故选 B.121434平面向量的线性运算是指加减和数乘运算,注意如下几点:(1) = - (O 为任意一点,下同);(2)若 D 为 AB 中点, = ( + );(3)如果 =t +(1-t) ,则 A,B,C 三点共线,12反之亦然.考向 2 平面向量的数量积运算【例 2】 (1)(2018天津二模)已知向量 与 的夹角为 12

7、0,| |=5,| |=2,若= + ,且 =-6,则实数 的值为( )(A)- (B) (C)- (D)12 12(2)(2018临沂二模)已知 a,b 是单位向量,ab=0,若向量 c 满足|c-3a-4b|=1,则|c|的取值范围是( )(A) -1, +1 (B)1, +15 5(C)5,6 (D)4,6解析:(1)=120,| |=5,| |=2,5= + ;所以 =( + )( - )=- +(-1)| | |cos 120+=-25-5(-1)+4=-6,解得 = .故选 B.12(2)令 =3a, =4b, =3a+4b, =c.如图所示:则| |=5,又|c-3a-4b|=1

8、,所以点 C 在以点 D 为圆心、半径为 1 的圆上,易知点 C 与 O,D 共线时| |达到最值,最大值为 5+1,最小值为 5-1,所以|c|的取值范围为4,6.故选 D.(1)平面向量的数量积运算既可以使用定义,即 ab=|a|b|cos,也可以使用坐标运算,即a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab=x1x2+y1y2;(2)向量的夹角和模的求解是根据数量积的定义和坐标运算得出的,特别注意|a|= .热点训练 1:(1)(2018齐鲁名校教研协作体冲刺卷)已知O 1,O 2,O 3的半径依次为1,2,3,O 1,O 2外切于点 M,O 2,O 3外切于点 N,O 3,O 1外切于点

9、 P,则 ( +)等于( )(A) (B) (C) (D)856(2)(2018河南郑州二次质检)已知平面向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|=1,若 ab= ,则12(a+b)(2b-c)的最小值为( )(A)-2 (B)3- (C)-1 (D)03解析:(1)如图所示,O 1O2=3,O2O3=5,O3O1=4,所以 O2O1O 3O1, = + = + = + ( - )= + ,12 122523 1225 13 12 35122513所以 ( + )= + ( + )35122513= + + = 3+ 4= .故选 B.3512251313121413 35 25(2)由

10、ab= ,可得= ,12不妨设 a=(1,0),b= , ,c=(cos ,sin ),12原式=2ab-ac+2b 2-bc=3- cos + cos + sin 12=3- sin + ,3所以最小值为 3- ,故选 B.3框图【例 3】 (1)(2018安徽安庆二模)阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,则输出的 x值为( )7(A)0 (B)1 (C)16 (D)32(2)(2018福建厦门第二次质检)执行如图的程序框图,若输出 S 的值为 55,则判断框内应填入( )(A)n9? (B)n10? (C)n11? (D)n12?解析:(1)x=0,t=1,k=10;x=2,t=2,k=

11、8;x=16,t=3,k=6;x=1,t=4,k=4.此时满足条件结束循环.故选 B.(2)程序运行中变量值依次为 S=-1,n=2;S=3,n=3;S=-6,n=4;S=10,n=5;S=-15,n=6;S=21,n=7;S=-28,n=8;S=36,n=9;S=-45,n=10;S=55,n=11,此时应结束循环,条件应为n11.故选 C.(1)根据框图求输出值时,根据初始值逐次执行算法,当第一次满足判断条件时即输出;(2)根据输出结果填写判断条件时,注意分析算法的功能,填写的判断条件必须在第一次满足时即输出已知的结果.热点训练 2:(2018开封一模)我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“

12、一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完,现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位:尺),则处可分别填入的是( D )8(A)i乙乙说 甲丙丙说 丙丁丁说 丙乙对于选项 A,甲,丁说的都对,不符合只有一个人对,对于选项 B,丙,丁说的都对,也不符合只9有一个人对,对于选项 C,乙说的对,但乙不是最少的,不符,对于选项 D,甲说的对,也正好是最少的,符合,故选 D.点睛:对于逻辑推理题,由于关系较复杂,所以常用表格形式列出相互关系,再逐个进行推理验证.(2)利用类比思想,令 1+ =x,解得 x= .32答

13、案:(1)D (2)32(1)逻辑推理题通常使用类似反证法的方法进行分析判断,即在假定某种可能性成立时,查看已知关系,如果符合,则该假定成立,如果不符合,则该假定不成立;(2)类比推理的关键是发现类比对象之间的共性.热点训练 3:(1)(2018福建百校考前冲刺)中国古代十进制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测,算筹最晚出现在春秋晚期战国初年,算筹记数的方法是:个位、百位、万位的数按纵式的数码摆出;十位、千位、十万位的数按横式的数码摆出.如 7738 可用算筹表示为 .19 这 9 个数字的纵式与横式的表示数码如图所示,则 的运算结果可用算筹表示为( )(2)(2018吉林

14、省吉林市三调)聊斋志异中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2 = ,3 = ,4 = ,5 = ,则按照以上规律,若 8 =223 338 415 524 8具有“穿墙术”,则 n= . 解析:(1)因为 =36=729,从题中所给表示数码知 729 可用算筹 表示,故选 D.3264(2)因为 2 =2 = ,3 =3 = ,4 =4 = ,5 =5 =223 338 415 4421 524,10所以按照以上规律 8 =8 = ,可得 n=82-1=63.8答案:(1)D (2)63【例 1】

15、(1)(2018四川绵阳三诊)ABC 中,AB=5,AC=10, =25,点 P 是ABC 内(包括边界)的一动点,且 = - (R),则| |的最大值是 ( )25(A) (B) (C) (D)332(2)(2018江西高三质量检测)已知向量 , 满足| |=| |=1, =0, = + (,R),若 M 为 AB 的中点,并且| |=1,则点(,)的轨迹方程是( )(A) + 2+ - 2=112 12(B) - 2+(+1) 2=112(C)(-1) 2+(-1) 2=1(D) - 2+ - 2=112 12(3)(2018河南郑州三检)已知 P 为椭圆 + =1 上一个动点,过点 P

16、作圆(x+1) 2+y2=1 的两条切线,切点分别是 A,B,则 的取值范围为( )(A) ,+ (B) ,32 32(C) 2 -3, (D)2 -3,+)2 2解析:(1)因为 P 为三角形 ABC 内(含边界)的动点,所以 从而-10.250,35251.又 = - 2=16 2-12+9,25因为-10,所以 的最大值为 37,故| |max= ,故选 B.11(2)由于 M 是 AB 的中点,所以ABC 中, = ( + ),12所以| |=| - |= - + -12 12=1,所以 - + - 2=1,12 12所以 - 2+ - 2=1.12 12故选 D.(3)如图,由题意设

17、APB=2,则|PA|=|PB|= ,所以 =| | |cos 2= cos 212= cos 2,1+212设 cos 2=t,则 = =(1-t)+ -32 -3=2 -3,(1+)1 (1) 21 2当且仅当 1-t= ,即 t=1- 时等号成立,此时 cos 2=1- .2 2又当点 P 在椭圆的右顶点时,sin = ,13所以 cos 2=1-2sin 2= ,79此时 最大,且最大值 = .1+79179 79所以 的取值范围是 2 -3, .212故选 C.【例 2】 (1)(2018山东潍坊三模)执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )(A)45 (B)55 (C)66

18、(D)78(2)(2018郴州二模)秦九韶是我国南宋时期著名的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 x 的值为 3,每次输入 a 的值均为 4,输出 s 的值为 484,则输入 n 的值为( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3解析:(1)根据程序框图的运算功能可知,该程序框图是计算 2n2 018 的正整数 n 的和,因为 210=1 0242 018,所以执行程序框图,输出的结果为 S=1+2+3+10= =55.故选 B.(2)模拟程序的运行,可

19、得x=3,k=0,s=0,a=4,s=4,k=1,不满足条件 kn,执行循环体,a=4,s=16,k=2,13不满足条件 kn,执行循环体,a=4,s=52,k=3,不满足条件 kn,执行循环体,a=4,s=160,k=4,不满足条件 kn,执行循环体,a=4,s=484,k=5,由题意,此时应该满足条件 kn,退出循环,输出 s 的值为 484,可得 5n4,所以输入 n 的值为 4.故选 C.【例 3】 (1)(2018河南中原名校第六次质量考评)已知函数 f(x)= + + ,由f(x-1)= + + 是奇函数,可得函数 f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数 g(

20、x)= + + 的图象关于点 对称; +2+1+3+2 +7+6(2)(2018山东济南一模)如图所示,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:原点处标数字 0,记为 a0;点(1,0)处标数字 1,记为 a1;点(1,-1)处标数字 0,记为 a2;点(0,-1)处标数字-1,记为 a3;点(-1,-1)处标数字-2,记为 a4;点(-1,0)处标数字-1,记为 a5;点(-1,1)处标数字 0,记为 a6;点(0,1)处标数字 1,记为 a7;依此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为 i+j(i,j 均为整数),记 Sn=a1+a2+an,则S2 01

21、8= . 解析:(1)由题意得 g(x)-6= -1+ -1+ -1+ -1+ -1+ -1+2+1 +3+2 +4+3 +5+4 +6+5 +7+6= + + + + + ,g x- -6= + + + + + ,72 172+1 172+2 172+3 172+4 172+5 172+6设 g x- -6= + + + + + =h(x),72 152 132 112 1+12 1+32 1+5214所以 h(-x)= + + + + + =-h(x),112所以 h(x)是奇函数,所以函数 g(x)= + + 的图象关于点 - ,6 对称.+2+1+3+2 +7+6 72(2)设 an坐

22、标为(x,y),由归纳推理可知,a n=x+y,第一圈从(1,0)点到(1,1)点共 8 个点,由对称性可得 a1+a2+a8=0;第二圈从点(2,1)到(2,2)共 16 个点,由对称性可得 a9+a24=0,第 n 圈共有8n 个点,这 8n 项的和也为零,设 a2 018在第 n 圈,由 Sn=8+16+8n=4(n+1)n,可得前 22 圈共有 2 024 个数,S 2 024=0,S2 018=S2 024-(a2 024+a2 023+a2 019),a2 024所在点坐标为(22,22),a 2 024=22+22,a2 023所在点坐标为(21,22),a 2 023=21+22,a2 022=20+22,a2 021=19+22,a2 020=18+22,a2 019=17+22,可得 a2 024+a2 019=249,所以 S2 018=0-249=-249.答案:(1) - ,6 (2)-24972