[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷8及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵(1/3 A 2 )-1 有一个特征值等于（A）4/3（B） 3/4（C） 1/2（D）1/42 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则矩阵(P -1 AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT （C） P（D）(P -1 )T3 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A+B（B）

2、 A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -14 设向量 可由向量组 1， 2，.， m 线性表示，但不能由向量组(I)：1， 2，.， m-1 线性表示，向量组(): 1， 2，.， m-1,，则（A） m 可由 (I)线性表示，也不可由()线性表示（B） m 不能由(I)线性表示，也可能由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示5 若向量组 ， ， 线性无关； ， ， 线性相关，则（A） 必不可由 ， ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必可由 ，y

3、， 线性表示6 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2 不能南 1， 2， 3 线性表示，则对于任意常数 k，必有（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3，k 1+k2 线性相关7 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列

4、向量组线性相关8 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 2=0（D） 1=09 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 m n 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s。线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性无关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关10 设向量组 1， 2， 3 线

5、性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3,3-1（B） 1+2， 2+3,3+1（C） 1+22， 2+23,3+21（D） 1-22， 2-23,3-21二、填空题11 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A =2， B=-3，则2A *B-1=_12 若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式B -1-E =_.13 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是_.14 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量，A 1=0，A 2=21+2， 则A 的非零特征值为_.15 设 n 维向量

6、 a=(a，0，0，a) T，a T B=E+1/aaaT . 其中 A 的逆矩阵为 B，则a=_16 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_.17 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.18 微分方程 y“-2y+2y=ex 的通解为_.19 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.20 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设向量 =(1， 2， n)T ，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T =0，记 n 阶矩阵 A=T

7、求：A 2 22 已知向量组(I)： 1， 2， 3；()： 1， 2， 3， 4；( )：1， 2， 3， 4， 5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r(II)=3，r()=4证明向量组1， 2， 3， 5-4 的秩为 423 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.23 设 A=E-T，其中层为 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置 证明：24 A2=A 的充要条件是 T=1；25 当 T=1 时， A 是不可逆矩阵26 求微分方程 y“-2y-e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的解考研数学三（线性代数）模拟

8、试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 -2 2n-1/3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 24【

9、知识模块】 线性代数13 【正确答案】 n-n-1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 -1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2/x【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1/x【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 e x(C1cosx+C2sinx+1)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 C 1ex+C2e3x+2e2x【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A2=

10、(T)(T)=a(T)T=OT=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(I)=r(II)=3，所以 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关，因此 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l2+l3 若k11+k22+k33+k4(5-4)=0， 即(k 1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k44)3+k45=0， 由于r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解出 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0 于是 1， 2， 3， 5-4 的秩为 4【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块

11、】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A 2=(E-T)(E-T)=E-2T+TT =E-T+(T)T-T=A+(T)T-T， 那么 A2=A(T-1)T=0 因为 是非零列向量， T0，故 A2=AT-1=0即 T=1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 反证法当 T=1 时，由(1) 知 A2=A，若 A 可逆，则 A=A -1A2=A-1A=E 与已知 A=E-TE 矛盾【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 齐次方程 y“-2y=0 的特征方程为 2-2=0由此求得特征根1=0， 2=2.对应齐次方程的通解为 y=C1+C2e2x设非齐次方程的特解为y“=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x，(y *)“=4A(1+x)e2x 代入原方程，可得 A=1/2，从而y*=1/2xe2x 于是，原方程的通解为 y=y+y*=C1+(C2+1/2x)e2x. 将 y(0)=1 和 y(0)=1代入通解，求得 C1=3/4，C 2=1/4 从而，所求解为 y=3/4+1/4(1+2x)e 2x【知识模块】 线性代数