[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷56及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，下列命题正确的是( ) （A）若方程组 AX=0 只有零解，则方程组 AX=b 有唯一解（B）若方程组 AX=0 有非零解，则方程组 AX=b 有无穷多个解（C）若方程组 AX=b 无解，则方程组 AX=0 一定有非零解（D）若方程组 AX=b 有无穷多个解，则方程组 AX=0 一定有非零解2 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（A）若 mn，则方程组 AX=b 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AX=b 一定有唯一解（C）若 r

2、(A)=n，则方程组 Ax=b 一定有唯一解（D）若 r(A)=m，则方程组 Ax=b 一定有解3 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A=(1， 2， 3， 4)，Ax=0 的通解为X=k(0，一 1，3，0) T，则 A*X=0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 44 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX=0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0 的基础解系的是( )（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，

3、2 1 一 32+223，3 1+52 一 535 设 1， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， 1， 2 为非齐次线性方程组AX=b 的两个不同解，则方程组 AX=b 的通解为( )二、填空题6 设 (a0) ，且 AX=0 有非零解，则 A*X=0 的通解为_7 设 A 为 n 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n 一 1，则方程组 AX=0 的通解为_8 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，A ki0，则 AX=0 的通解为_9 设 1， s 是非齐次线性方程组 AX=b 的一组解，则 k11+kss 为方程组AX=b 的解的充分必要条件是_10 设 B0 为三

4、阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组的解，则 k=_，|B|=_11 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，r(A)=3，且1+2= ， 2+3= ，则方程组 AX=b 的通解为_12 设方程组 无解，则 a=_13 设方程组 有解，则 a1，a 2， a3，a 4 满足的条件是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设向量组 1= 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t15 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交，证明：向量 为零向量16 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 2， 3 为 n 维列向量，其

5、中 10，且A1=1，A 2=1+2，A 3=2+3，证明： 1， 2， 3 线性无关17 求方程组 的通解18 参数 a 取何值时，线性方程组 有无数个解？求其通解19 设 1=的三个解，求其通解20 1= ， 2= ， 3= ， 4= ， 5= ，求极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表出21 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关， 3=31+22，A=( 1， 2， 3)，求 AX=0 的一个基础解系21 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)=1，设(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，( 一1，2，0，1) T，(2 ，一 4，3，a+1)

6、 T 皆为 AX=0 的解22 求常数 a；23 求方程组 AX=0 的通解24 设 A=(1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且 2 一 31 一 3 一5， 421+3+65，求方程组 AX=0 的通解25 四元非齐次线性方程组 AX=b 有三个解向量 1， 2， 3 且 r(A)=3，设 1+2=2+3= 求方程组 AX=b 的通解26 Anm=(1， 2， n)，B mn=(1+2， 2+3， n+1)，当 r(A)=n 时，方程组 BX=0 是否有非零解？27 设 1=(1)a，b 为何值时， 不能表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合？ (2)a，

7、b 为何值时，可唯一表示为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的线性组合？27 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)的前 n 一 1 个列向量线性相关，后 n 一 1 个列向量线性无关，且 1+22+(n 一 1)n 一 1=0，b= 1+2+ n28 证明方程组 AX=b 有无穷多个解；29 求方程组 AX=b 的通解考研数学三（线性代数）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 无解，故(A)不对；方程组 无解，故(B)不对；方程组 只有零解，故(C)不对；若 AX=b 有无穷多个解，则 r(A)= n，从

8、而 r(A)n ，故方程组 AX=0 一定有非零解，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵) ，则 =m，于是 r(A)= ，即方程组 AX=b 一定有解，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX=0 的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以 r(A)=3，于是 r(A*)=1因为 A*A=|A|E=0，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X=0 的一组解，又因为一 2+33=0，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 4 线性无关，即为 A*X=0 的一个基础解系，应选(C) 【知识模块

9、】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX=0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选 (C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) ，因为 1， 1+2 为方程组 AX=0 的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组 AX=b 的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 C 1 (C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 因为 Ax=0 有非零解，所以|A|=0，而|A|= =一(a+4)(a 一 6)且 a0，所以 a=一 4因为 r(A

10、)=2，所以 r(A*)=1因为 A*A=|A|E=0，所以 A 的列向量组为 A*X=0 的解，故 A*X=0 的通解为 X=C1 (C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (其中是为任意常数)【试题解析】 因为 A 的各行元素之和为零，所以 =0，又因为 r(A)=n 一 1，所以 为方程组 AX=0 的基础解系，从而通解为 (其中是为任意常数)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C(Ak k1，Ak k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【试题解析】 因为|A|=0，所以 r(A)n ，又因为 Aki0，所以 r(A*)1，从而 r(A)=n 一 1

11、，AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，又 AA*=|A|E=0，所以 A*的列向量为方程组 AX=0 的解向量，故 AX=0 的通解为C(Akk1，Ak k2，A ki，A kn)T(C 为任意常数)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k 1+k2+ks=1【试题解析】 k 1+k2+ks=1显然 k11+k2s+kss 为方程组 AX=b 的解的充分必要条件是 A(k11+k22+kss)=b，因为 A1=A2=A s=b，所以(k1+k2+ks)b=b，注意到 b0，所以 k1+k2+ks=1，即 k11+k22+kss 为方程组 Ax=b 的解的充分必要条件是 k1+k2+

12、ks=1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1；0【试题解析】 令 ，因为 B 的列向量为方程组的解且 B0，所以 AB=0 且方程组有非零解，故|A|=0，解得 k=1因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3且 r(A)1，于是 r(B)23，故|B|=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A)=3，所以方程组 AX=b 的通解为 k+，其中 =3 一 1 一(2+3)一( 1+2)= ，= 2+3)= ，于是方程组的通解为 X=(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 23【试题解析】 因为方程组无解，所以 r(A)

13、r(A)3，于是 r(A)3，即|A|=0由|A|=3+2a 一 a2=0，得 a=一 1 或 a=3当 a=3 时，因为r(A)= =23，所以方程组有无穷多个解；当 a=一 1 时， ，因为 r(A) ，所以方程组无解，于是 a=一 1【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0【试题解析】 因为原方程组有解，所以 r(A)= ，于是 a1+a2+a3+a4=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是| 1， 2， 3|=0，而|1， 2， 3|= =(t+1)(t+5)，所以 t=一 1

14、或者 t=一 5，因为任意两个向量线性无关，所以 t=一 5【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (反证法)不妨设 0，令 k11+k22+knn+k0=0，上式两边左乘T 得 k 1T1+k2T2+knTn【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A1=1 得(A 一 E)1=0； 由 A2=1+2 得(A 一 E)2=1；由A3=2+3 得(A 一 E)3=2， 令 k1 1+k2 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 原方程组的同解方程组为故原方程组的通解为(其中x3，x 4，x 5 为任意常数)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 若 a=1，则原方程组的通解为 X=k

15、(一 1，0，1)T+(2，一 1，0)(k 为任意常数)；若 a1，则当 a=2时，方程组无解；当 a=一 2 时，原方程组的通解为 X=k(1，1，1)T+(2，2，0)(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4 一 r(A)+1=3，即 r(A)=2，于是原方程组的通解为 k1(2 一 1)+k2(3 一 1)+1=k1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令1， 2， 4 为一个极大线性无关组， 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 线性代数21 【正

16、确答案】 AX=0 x11+x22+x33=0，由 3=31+22 可得(x 1+3x3)1+(x2+2x3)2=0，因为 1， 2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 r(A)=1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T，(2，一4，3，a+1) T 线性相关，即 ，解得 a=6【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为(1，一 2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(一 1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX=0 的通解为 X=k1(1，一

17、2，1，2) T+k2(1，0，5，2) T+k3(一1，2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 1， 3， 5 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)=3，齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 r(A)=3，所以方程组 Ax=b 的通解形式为 k+，其中 为AX=0 的一个基础解系， 为方程组 AX=b 的特解，根据方程组解的结构的性质，=(2+3)一( 1+2)=3 一 1= ，= (1+2)= 所以方程组 AX=b 的通解为 (

18、k 为任意常数)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 B=( 1+2， 2+3， n+1)=(1， 2， n)由 r(A)=n 可知|A|0，而|B|=|A|=|A|1+(一 1)n+1，当 n 为奇数时，|B|0，方程组 BX=0只有零解；当 n 为偶数时，|B|=0，方程组 BX=0 有非零解【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 x1 1+x2 2+x3 3+x4 4=(*) =(1 ， 2 ， 3 ， 4|)=(1)当 a=一 1，b0时，因为 r(A)=2 =3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为 1 ，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 r(A)=n 一 1，又 b=1+2+ n，所以 =n 一 1，即 r(A)=n 一 1 n，所以方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 1+22 +(n 一 1) n 一 1=0，所以 1+22+(n 一 1) n 一 1+ 0n=0，即齐次线性方程组 AX=0 有基础解系 =(1，2，n 一 1，0) T ，又因为b=1+2+ n ，所以方程组 AX=b 有特解 =(1， 1，1) 【知识模块】 线性代数