[考研类试卷]考研数学三（线性代数）模拟试卷118及答案与解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 118 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A 1， 2， 3， 1m，B 1， 2， 2， 3n，则 3， 2， 1， 1 2为( )（A）mn（B） mn（C） (mn)（D）nm2 设 A 为 n 阶矩阵，A 2A，则下列成立的是( )（A）AO（B） AE（C）若 A 不可逆，则 AO（D）若 A 可逆，则 AE3 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无

2、关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 3 线性无关（D） 1， 2， 3 线性相关4 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线性无关（B）非齐次线性方程组 AXb 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)n5 设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn 阶矩阵，下列四个命题：(1)若 AX0 的解都是 BX0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解(3)若 AX0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B)(4)若 r(A)r(B)

3、，则 AX0 与 BX0 同解以上命题正确的是( ) （A）(1)(2)（B） (1)(3)（C） (2)(4)（D）(3)(4)6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2E，则1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E A)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值7 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX0，则( )（A）A0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题8 设 A，B 都是三阶矩阵

4、，A 相似于 B，且EA E 2AE3A0，则B 1 2E_9 _10 设 为非零向量，A ， 为方程组 AX0 的解，则a_，方程组的通解为_11 设 A 为三阶实对称矩阵， 1(a, a,1) T 是方程组 AX0 的解，2 (a，1，1a) T 是方程组(AE)X0 的解，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 D ，求 Ak1A k2A kn13 设 ， 是 n 维非零列向量，A T T证明： r(A)214 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*A n2 A15 设 1， 2， ， t 为 AX0 的一个基础解系， 不是 AX0 的解，证明：，

5、1， 2， t 线性无关16 设齐次线性方程组 其中 ab0，n2讨论 a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解17 设 (1)求()，()的基础解系； (2)求()，() 的公共解18 设 A，B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)n(1)证明 r n；(2) 设1， 2， r 与 1， 2， s 分别为方程组 AX0 与 BX0 的基础解系，证明：， 2， R， 1， 2， S 线性无关19 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中 a，b 为常数20 设 A 有三个线性无关的特征向量，且 2 为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得

6、 P1 AP 为对角矩阵21 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A1 12 22 3，A 22 1 22 3，A 3 2 12 2 3 (1)求矩阵 A 的全部特征值； (2)求A *2E 22 设 A，B 为三阶矩阵，且 ABAB，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明： (1)ABBA； (2)存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵23 设 A 求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAPB24 设 ，求 A 的特征值与特征向量判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵25 三元二次型 fX TAX

7、 经过正交变换化为标准形 fy 12y 222y 33，且 A*2E 的非零特征值对应的特征向量为 1 ，求此二次型考研数学三（线性代数）模拟试卷 118 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 3， 2， 1， 1 2 3， 2， 1， 1 3， 2， 1， 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 1， 2， 3， 1 1， 2， 2， 3nm， 选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2A，所以 A(EA)0，由矩阵秩的性质得，r(A)r(EA)n，若 A 可 逆，则 r(A)n，所以

8、 r(EA)0，AE，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所 以 1， 2， 3， 4 线性无 关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)n，因为 r(ATA)r(A)，所以 r(A)n ；反之，若 r(A)n ， 因为 r(ATA)r(A) ，所以 ATA 可逆，选(D) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 若方程组 AX0 的解都是方程组 BX0 的解，则 nr(A)nr(B

9、)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的， (4)是错误的，选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(EA) n，则EA0，于是1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为1，则 A ，根据特征值特征向量的定义， 1 为A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATAE，令 AXX(其中 X0)，则XTAT XT，于是 XTATX 2XTX，即( 21)X TX0，而 XTX0，故 21，再由特征值之积为负得1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A

10、【试题解析】 设二次型 fX TAX 1y12 2y22 3y32，其中 Q 为正交矩阵取 Y ，则 fX TAX 10，同理可得 2 30，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)0，从而 AO ，选(A)【知识模块】 线性代数二、填空题8 【正确答案】 60【试题解析】 因为EAE2AE3A0，所以 A 的三个特征值为 ，1，又 AB，所以 B 的特征值为 ，1，从而 B1 的特征值为1，2，3，则 B1 2E 的特征值为 3，4，5，故B 1 2E60【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 ，因为 Eij1 E ij，所以Eij2E，【知识模块】 线性代数10 【正确答案】

11、k(3，1，2) T【试题解析】 AX0 有非零解，所以A0，解得 a3，于是 A方程组 AX0 的通解为 k(3，1，2) T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交， 因为AX0 及(AE)X0 有非零解，所以 10， 21 为矩阵 A 的特征值，1 (a， a，1) T， 2(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有1T2a 2a 1a 0，解得 a1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 A(1) n1 n！，得 A*AA 1 (1) n1 n!A1 ，

12、所以 Ak1A k2A kn 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 r(A)r( T T)r(T)r( T)，而 r(T)r()1，r( T)r()1，所 以 r(A)r(T)r( T)2【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (A *)*A*A *EA n1 E，当 r(A)n 时，r(A *)n，A *AA 1 ，则 (A *)*A*(A *)*AA 1 A n1 E，故(A *)* A n2 A当 r(A)n1 时，A 0，r(A *)1，r(A *)*0，即(A *)*O，原式显然成立当 r(A) n1 时，A 0，r(A *)0，(A *)*O ，原式也成立 【知识模块】 线性

13、代数15 【正确答案】 由 1， 2， t 线性无关 ， 1， 2， n 线性无关，令kk 1( 1)k 2( 2)k t( t)0，即(kk 1k t)k 11k tt0， 1， 2， t 线性无关， 1， 2， t 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 D a(n1)b(ab) n1 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 ab 时，方程组的同解方程组为x1x 2x n0，其通解为 Xk 1(1，1，0，0) Tk 2(1，0，1，0)T k n1 (1，0，0，1) T(k1，k 2，k n1 为任意常数)；(3)令 A当 a (1n)b 时，r(A) n

14、1，显然(1，1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)A 1 ()的基础解系为1 ，A 2 ()的基础解系为 1 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)因为 nr(CADB)r；(2)因为 r n，所以方程组X0 只有零解，从而方程组 AX0 与 BX0 没有非零的公共解，故1， 2， r 与 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)当a 1， b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a1，b 2 时，当 b1 时，方程组无解当 b1

15、 时， 方程组的通解为 Xk (k 为任意常数)(3) 当 a1，b2 时，方程组的通解为 Xk (k 为任意常数)当 a1 时，显然 r(A)2r3，方程组无解【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 2 的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E A)1，而 2EA，所以x2，y2由E A (2) 2(6)0 得1 22， 36由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 1，由(6EA)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 3，【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)A( 1， 2， 3)( 1， 2， 3) 因为 1， 2，

16、3线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故A B由EAEB( 5)( 1) 20，得 A的特征值为5，1，1(2)因为A5，所以 A*的特征值为 1，5，5，故A*2E 的特征值为 3，3，3从而A *2E27【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由 ABAB；得 ABABE E，(EA)(EB)E ， 即EB 与 EA 互为逆矩阵，于是(EB)(E A)E(EA)(EB)， 故ABBA (2)因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设 A的三个线性无关的特征 向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3

17、)， BA( 1， 2， 3)B( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)B( 1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 AB iB i，i1，2，3 若 Bi0，则Bi 是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi ii； 若Bi0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P( 1， 2， 3)，则 P1 AP，P 1 BP 同为对角阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，A B，即解得 a 1，b0，则因为

18、 AB ，所以矩阵 A，B 的特征值都为 11， 20， 36当 1 时，由(EA)X0，得 1 ；当 0 时，由(0EA)X0，得 2 ；当 6 时，由(6EA)X0，得 3再令 P( 1， 2， 3) ，则有 PTAPB【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 EA (a 1)(a)(a1)0，得矩阵 A 的特征值为 11a， 2a ， 3a(1)当1aa，1a1a，a1a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 11a 时，由(1a)EAX0 得 1 ； 2a 时，由(aEA)X 0 得 2 ； 31a 时，由(1a)EAX0 得3 (2)当 a

19、0 时，1 31，因为 r(EA)2，所以方程组(EA)X0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化 (3)当 a 时， 1 2 ，因为r( EA) 2，所以方程组 ( EA)X0 基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 fX TAX 经过正交变换后的标准形为 fy 12y 222yy 32，所以矩阵 A 的特征值为 1 21， 32由A 2232 得 A*的特征值为 1 22， 31，从而 A*2E 的特征值为 0，0，3，即 1 为 A*2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 32 的特征向量令 A 的属于特征值 1 21 的特征向量为 因为 A 为实对称矩阵，所以有1T0，即 x1x 30 故矩阵 A 的属于 1 21 的特征向量为令 P( 2， 3， 1)，得，所求的二次型为 fX TAXx12x 22 x323x 1x3【知识模块】 线性代数