[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷25及答案与解析.doc

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1、考研数学一（线性代数）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 与矩阵 D= 相似的矩阵是2 n 阶方阵 A 有 n 个两两不同特征值是 A 与对角矩阵相似的( )（A）充分必要条件（B）充分而非必要的条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件 3 设 A、B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是( )（A）秩(A)=秩(B) （B） A= B（C） A、B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， 2， n，且 1， 2， n 两两不同 4 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则( )（A

2、）E 一 A=E 一 B（B） A 和 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于同一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 都相似5 设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征根之一是( )（A） 1A n（B） 一A（C） A（D）A n 二、填空题6 设 1、 n 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，X 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A1X1X1T 有两个特征值为_7 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 ，则行列式B 一E=_8 设 3 阶矩阵 A 的特征值为=_9 设向量 =(

3、1，0，一 1)T，矩阵 A=T，a 为常数，n 为正整数，则行列式aEAn=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 3 阶矩阵 A 满足 Ai=ii(i=1，2，3)，其中 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1) T， 3=(一 2，一 1，2) T，求矩阵 A11 设 1， 2 是 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，X 1、X 2 分别为属于 1、 2 的特征向量证明：X 1+X2 是 A 的特征向量12 设 有 3 个线性无关的特征向量，求 x、y 应满足的条件13 设 的一个特征值为 3(1)求 y 的值；(2)求可逆方阵 P，使(AP)T(AP)为对

4、角阵14 设 4 阶方阵 A 满足条件 +A=0 ，AAT=2I，A 0，其中 I 是 4 阶单位阵求 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值15 设 (1)求 a、b 的值；(2)求可逆矩阵P，使 P1AP=B16 设 问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=D 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵 D17 设 已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2 重特征值，试求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角形矩阵18 设 已知线性方程组 Ax= 有解不唯一试求：(1)a的值；(2)正交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵19 设向量 =(a1，a 2，a n)T，=

5、(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0记 n 阶矩阵 A=T，求：(1)A 2；(2)矩阵 A 的特征值和特征向量20 设 A= ，B=(kE+A) 2，(k 为实数)求对角矩阵 D，使 B 与 D 相似；并问志取何值时 B 为正定矩阵?21 已知 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 6，3，3，=(1，1，1) T 是属于特征值 =6的特征向量，求矩阵 A22 已知矩阵 A=(aij)mn(n2)的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量23 设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值证明：(1)A 的特征向量都

6、是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵24 若矩阵 A= 相似予对角矩阵 A，试确定常数口的值；并求可逆矩阵 P使 P1AP=A25 设矩阵 A= 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵试求 a、 b 和 的值26 设 =(a1，a 2，a n)T 为 Rn 中的非零向量，方阵 A=T (1)证明：对于正整数m，存在常数 t，使 Am=tm1A，并求出 t； (2) 求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角阵A27 设 n 阶矩阵 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵28 设三阶实对称矩阵的秩为 2， 1

7、=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A29 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 (1) 求矩阵 B，使 A1， 2， 3=1， 2， 3B； (2)求 A 的特征值； (3) 求一个可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角矩阵30 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(一 1，2，一 1)T， 2=(0，

8、一 1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解求出矩阵 A 及(A 一 E)31 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量3 满足 A3=22+33 (I)证明 1， 2， 3 线性无关； ()令 P=1， 2， 3，求 P-1AP32 设 A= ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q考研数学一（线性代数）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D 相似 A 的特征值为 1=2=1，

9、 3=2，且 A 的对应于 2 重特征值 1 的线性无关特征向量的个数为 2后一条件即方程组(EA)x=0 的基础解系含 2 个向量，即 3 一 r(EA)=2，或 r(EA)=1，经验证，只有备选项(C)中的矩阵满足上述要求【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 当 n 阶方阵有 n 个互不相同特征值时它也相似于对角矩阵故在选项(D)的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q，使 P1AP=D，Q 1BQ=D，其中D=diag(1， 2=1， n)为对角矩阵故有 P1AP=Q1BQ，QP 1APQ1=B，(PQ 1)1A(PQ1)=B，记矩

10、阵 M=PQ1，则 M 可逆，且使 M1AM=B，所以在选项(D) 的条件下， A 与 B 必相似【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 当 A 与 B 相似时，有可逆矩阵 P，使 P1AP=B，故 P1(tE 一 A)P=P1tEPP1AP=tEB，即 tEA 与 tE 一 B 相似，故选项(D) 正确实际上，若 A 与 B 相似，则对任何多项式 f，f(A)与 f(B)必相似【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由条件，存在非零列向量 x，使 Ax=x，两端左乘 A*并利用A*A=AE，得Ax=A xx，因 A 可逆，故 A 的特征值 0，两端乘为 A*的

11、一个特征值且 x 为对应的一个特征向量只有(B) 正确【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 0【试题解析】 2设 X2 是 A 的属于 2 的一个特征向量，则 BX1=AX11X1(X1TX1)=1X1 一 1X1=0=0X1，BX 2=AX2 一 1X1(X1TX2)=AX2 一1X10=AX1=2X2故 B 有特征值 0 和 2【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 24【试题解析】 B 的特征值为 ，B 1 的特征值为 2，3，4，5，B 1 一E 的特征值为 1，2，3，4，方阵的全部特征值的乘积等于方阵的行列式，故B 1 一 E =1234=24【知识模块】 线性代数8

12、【正确答案】 1 620【试题解析】 A= +12A*一 E=2(A1)2+A1 一 E=f(A1)，其中 f(x)=2x2+x 一 1，A 1 的特征值为：2，2，3，故 f(A1)的特征值为： f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故f(A 1)=9920=1 620【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 a(a 一 2n)【试题解析】 实对称矩阵 A 的特征值为 0，0，2，故存在可逆矩阵 P，使 P1AP=，P 1(aE 一 An)P=aE 一 P1AnP=aE 一(P 1AP)n=aE 一，两端取行列式，得aE 一 An=a 2(a 一 2n)【知识模块】 线性代数三、解答题解

13、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由条件知 1， 2， 3 分别是 A 的对应于特征值 1，2，3 的特征向量，因此 A 可相似对角化，令矩阵【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 可用反证法：若 X1+X2 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则有A(X1+X2)=0(X1+X2)得 AX1+AX2=0(X1+X2)， 1X1+2X【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 1，A 有 3 个线性无关特征向量A 的属于 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个x+y=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)求3E A=

14、8(2 一 y)=0，y=2(2)A T=A，可知(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，由配方法：X TA2X=(x1，x 2，x 3，x 4)A2(x1，x 2，x 3，x 4)T=x12+x22+5(x3+ x42，令【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 ，由 AAT=2I，A 2=24=16，及A0，得A =一 4，由特征值的性质知A*有一个特征值为 。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 解得 a=5，b=6，计算可得对应于特征值 2，26 的线性无关特征向量分别可取为 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1)T， 1=(1，一 2，3) T，于是可取

15、 P=1 2 3= 。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由E 一 A=(A+1)2(一1)=0，得 A 的全部特征值为 1=2=一 1， 3=1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1=2=1 的线性无关特征向量有 2 个 方程组(一 EA)x=0 的基础解系含2 个向量 k=0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1 的线性无关特征向量分别可取为 1=(一 1，2，0) T， 2=(1，0，2) T； 3=(1，0，1) T，故令 P=1 2 3=，则有 P1AP=diag(一 1，一 1，1)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由条件知方程组(2EA

16、)x=0 的基础解系含 2 个向量，故 2EA的秩为 1，得 x=2，y= 一 2，【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由条件知 r(A)=rA |3，a=一 2，Q=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)由于 T=T=0，故 A2=TT=(T)T=(0)T=0(2)因A2=O，故 A 的特征值全为零因 0，0 ，不妨设 a10，b 20，则由因 A 的特征向量只属于特征值 0，故 A 的全部特征向量为 k11+k22+kn1n1，其中 k1，k 2，k n1 为不全为零的任意常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 易求得实对称矩阵 A 的特征值为 2，2，0，故存在可逆

17、矩阵 P，使 P1AP= ，故 P1BP=P1(kE+A)2P=P1(kE+a)P2=(kE+P1AP)2=D，即 B 与对角矩阵 D 相似；且由D 知 B 的特征值为(2+k) 2，(2+k) 2，k 2，因为实对称矩阵正定当且仅当它的特征值都大于零，故 B 正定 k一 2 且 k0【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 A 的属于特征值 2=3=3 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则由实对称矩阵的性质，有 0=x1+x2+x3，解这个齐次线性方程得其基础解系为2=(一 1，1，0) T， 3=(1，1，一 2)T，则 2， 3 就是属于 2=3=3 的线性无关特征向量 1

18、， 2， 3 已是正交向量组，将它们单位化，得 A 的标准正交的特征向量为 l1= ，于是得正交矩阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A*A=AE=O，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组 A*X=0 的解向量，即 =0 至少是 A*的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关的特征向量又由全部特征值之和等于 A11+A22+Ann(Aij 为aij 的代数余子式 )，故 A*的第 n 个特征值为 ，由 r(A*)=1，故 A*的列成比例，不妨设 A110，则有常数 k2，k n，使可推知(A 11+A22+A1n)T 为 A*的对应于特

19、征值 的特征向量【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 必成立，故只需证明(1)设 为 A 之特征向量，则有数 ，使 A=，两端左乘 B，并利用 BA=AB，得 A(B)=(B)，若砌0，则砌亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因(E 一 A)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B=，故 亦为 B 之特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量总之， 必为 B 之特征向量，由于 的任意性，说明 A 的特征向量都是 B 的特征向量【知识模块】 线性代数

20、24 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=6， 3=一 2，由 A 相似于对角阵知矩阵 6E一 A 的秩为 1，a=0P=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 A*的属于特征值 的特征向量为 ，则由 A 可逆知 A*可逆，有 0，A *=，A= ，比较两端对应分量得方程组 3+b=，解之得 b=1 或 b=一 2，a=2，再由A=3a 一 2=4，= ，所以，a=2，b=1，=1；或 a=2，b=一2，=4【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m1T=(T)m1(T)=( )m1A=tm1A，其中 t= (2)AO，A=A ，1r(A)：

21、r( T)r()=1，r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩，故矩阵 A 只有一个非零特征值，而有 n 一 1 重特征值 1=2= n1=0A 的属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 a10)： 1= 的特征值为 ，令矩阵 P=1 2 n1 ，则有 PAP=diag(0，0，0， 对角阵其中， n 的求法可利用特征值的性质： 1+2+ n1+n=(A 的主对角线元素之和)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)1 当 b0 时，E 一 A= = 一 1一(n 一 1)b 一(1b) n1，故 A 的特征值为 1=1+(n 一 1)6， 2= n=1b 对于 1

22、=1+(n 一 1)b，设对应的一个特征向量为 1，则1=1+(n 一 1)1 解得 1=(1，1，1) T，所以，属于 1 的全部特征向量为 k 1=k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数 对于 2= n=1b，解齐次线性方程组(1b)E 一 Ax=0由解得基础解系为 2=(1，一1，0，0) T， 3=(1，0 ，一 1，0) T， n=(1，0，0，一 1)T故属于2= n 的全部特征向量为 k 22+k33+knn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数 2 当 b=0 时，A=E，A 的特征值为 1=2= n=1，任意 n 维非零列向量均是特征向量 (2)1 当 b

23、0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=1 2 n，则有 P 1AP=diag(1+(n 一 1)b，1b，1b) 2。 当 b=0 时，A=E，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P1AP=E【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)=2 知A=0，所以A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则有2T=0

24、(i=1， 2)，即 解得此方程组的基础解系为 =(一 1，1，1)T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(一 1，1，I) T(k 为任意非零常数) (2)令矩阵 P=1 2 3，则有【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)由题设条件，有 A 1， 2， 3=A1，A 2，A 3=1+2+3， 22+3，2 2+3 (2)记矩阵 C=1， 2， 3，则由(1)知 AC=CB，又因 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，知 C 为 3 阶可逆方阵，故得 C1AC=B，计算可得丑特征值为 1=2=1， 3=4，因相似矩阵有相同特征值，得 A 的特征值为 1=2=1，

25、 3=4 (3) 对于 1=2=1，解方程组(E 一 B)x=0，得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 2，0，1) T；对应于 3=4，解方程组(4E B)x=0，得基础解系 3=(0，1，1) T令矩阵则有 P1AP=diag(1，1，4)，故 P 为所求的可逆矩阵【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由本题()的解得，A=QAQ T=【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (I)设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0 用 A 左乘式两端，并利用胁 A1=一 1，A 2=2， 一 k11+(k2+k3)2+k33=0 一，得 2k 11

26、 一 k32=0 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以1， 2 线性无关，从而由 式知 k1=k3=0，代入式得 k22=0，又由于 20，所以k2=0，故 1， 2， 3 线性无关 ()由题设条件可得 AP=A 1， 2， 3=A1，A 2，A 3 =一 1， 2， 2+3=1， 2， 3由(I)知矩阵 P 可逆，用 P-1 左乘上式两端，得 P-1AP=【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 =(1，2，1) T 为 A 的属于特征值 的特征向量，由 A=，比较两端对应分量，解得 a=一 1， 1=2由 A 的特征方程解得 A 的特征值为 2，5，一4正交矩阵 Q= ，可使 QTAQ=diag(2，5，一 4)，故 Q 为所求矩阵【知识模块】 线性代数