[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷353及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学二）模拟试卷 353 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 3 4 5 设 n 维向量 1， 2 s 的秩为 r，则下列命题正确的是（A） 1， 2 s 中任何 r 一 1 个向量必线性无关（B） 1， 2 s 中任何 r 个向量必线性无关（C）如果 sn，则 d，必可由 1， 2 s 线性表示（D）如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2 s 线性表示6 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P 1 AP)T 属于特征值 的特征向量是( )（A）P

2、1 （B） PT（C） P（D）(P -1)7 8 设 F(x)是 f(x)在区间(0，1)内的一个原函数，则 F(x)f(x) 在区间(0，1)内( )（A）可导（B）连续（C）存在原函数（D）是初等函数二、填空题9 10 11 12 13 14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 17 设矩阵 ()已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；()求矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵18 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 A，试确定常数 n 的值，并求可逆矩阵 P 使P-1AP=A19 已知函数 ，求 a 的取值范围20 (2011 年试题，二)21 求极限22 2

3、3 由 Y=sinx 的图形作下列函数的图形：(1)ysin2x (2)y=2sin2x (3)y12sin2x考研数学（数学二）模拟试卷 353 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 D【试题解析】 r( 1， 2 s)=r 1， 2 s 中一定存在 r 个向量线性无关，而任意 r+1 个向量必线性相关当向量组的秩为 r 时，向量组中既可以有 r 一 1 个向量线性相关，也可以有 r 个向量线性相关，故 A

4、、B 均错误例如向量 1,2,3,4分别为(1 ，0，0，0) ，(0，1，0，0) ，(0，0，1，0) ，(3 ，0，0，0)，其秩为 3，其中 1， 4 线性相关， 1,2,4 也线性相关该例说明，4 维向量可以有 2 个向量线性相关，也可以有 3 个向量线性相关但肯定有 3 个向量线性无关当 sn 时，表明 1， 2 s 必线性相关，此时有 i 可以由 1， i-1， i+1， s 线性表示，但 s 不一定能由 1， s-1 线性表示故 C 不正确若r(1， 2， ， s)=n，则对任何凡维向量 必有 r(1， 2， s，)=n故 D 正确因此应选 D6 【正确答案】 B7 【正确答案

5、】 A【试题解析】 8 【正确答案】 C二、填空题9 【正确答案】 x=-1【试题解析】 10 【正确答案】 0【试题解析】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 1【知识模块】 函数极限连续13 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 14 【正确答案】 -3【知识模块】 综合三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 () 因为E-A = =(2-1)2-(y+2)+2y-1=0当 =3 时，代入上式解得 y=2于是 A= (II)由 AT=A，得(AP)T(AP)=pTA2P，而矩阵 A2= 考虑二次型xTA2x=x12

6、+x22+5x32+5x42+8x34=x12+x22+ 令y1=x1， y2=x2，y 3=x3+(4/5)x4，y 4=x4，得 取 P=，则有(AP) T(AP)=18 【正确答案】 由题设，先求矩阵 A 的特征值，设 E 为三阶单位矩阵，则由0=A-E = =(6-)(2-)2-16，可得 1=6， 2=6， 3=-2，欲使A 相似于对角阵 A，应使 1=2=6 对应两个线性无关的特征向量，因此 A-6E 的秩为 1，于足 A-6E= 可得出 a=0，从而 A= ，下面求特征向量当 1=2=6 时，由(A-6E)x=0 可得出两个线性无关的特征向量为 1=(0，0，1) T， 2=(1，2，0) T当 3=-2 时，由(A+2E)x=0 可得 3=(1，-2，0) T，于是 P= ，且 P-1 存在，并有 P-1AP=A，其中19 【正确答案】 【知识模块】 函数极限连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【试题解析】 利用无穷小量替换及洛必塔法则【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 23 【正确答案】 ysinx (1)ysin2x (2)y2sin2x