[考研类试卷]考研数学（数学二）模拟试卷308及答案与解析.doc

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1、考研数学（数学二）模拟试卷 308 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 f(x)在 x=0 处( )（A）连续，但 f(0)不存在（B） f(0)存在，但 f(x)在 x=0 处不连续（C） f(x)在 x=0 处连续，但 f(0)不存在（D）f (0)存在2 设 f(x)在a,b上可导， 且 则 在(a，b)内必定( )（A）恒为正（B）恒为负（C）恒为零（D）变号3 设 f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处不可导的充分必要条件是 ( )（A）f(a)0， f(a)=0（B） f(a)=0，f (a)0（C） f(a)0，f

2、 (a)=0（D）f (a)0，f (a)04 在区间(一，+)内零点的个数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）无穷多5 考虑一元函数 f(x)的下列 4 条性质： f(x)在a ，b上连续f(x)在a ，b 上可积f(x) 在 a，b 上可导 f(x)在a，b 上存在原函数以 PQ 表示由性质 P可推出性质 Q，则有( )（A）（B） （C） （D）6 设当 x0 时，f(x)连续且严格单调递增， 则 F(x)在 x0 时( )（A）没有驻点。（B）有唯一驻点且为极大值点（C）有唯一驻点且为极小值点（D）有唯一驻点但不是极值点7 设 A=1， 2 n经过若干次初等行变换得 B=12 n

3、，b=b 1，b 2，b nT0 则(1)Ax=0 和 Bx=0 同解(2)Ax=b 和 Bx=b 同解(3)A，B 中对应的任何部分行向量组有相同的线性相关性(4)A，B 中对应的任何部分列向量组有相同的线性相关性其中正确的是( )（A）(1)，(3)（B） (2)，(4)（C） (1)，(4)（D）(2)(3)8 设 A 是 45 矩阵， 1=1，一 1，1，00 T， 2=一 1，3，一 1，2，0T， 3=2，1，2，3，0 T， 4=1，0，一 1，1，一 2T， 5=-2，4，3，2，5 T 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，且 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4

4、， 5 线性表出，若 k1，k 2，k 3，k 4，k 5 是任意常数，则 Ax=0 的通解是( )（A）k 11+k22+k33+k44+k55（B） k11+k22+k33（C） k22+k33+k44（D）k 11+k33+k55二、填空题9 设 y=y(x)是由 所确定的函数，则 =_.10 微分方程 满足初始条件 y(1)=1 的特解是 y=_11 心形线 r=a(1+cos)(常数 a0)的全长为_12 设函数 z=f(x，y)(xy0)满足 则 dz=_.13 设 G(x)=e-x2， 则 =_.14 设 A 是 3 阶实对称阵，有特征值 =3，对应的特征向量为考 =1，2，3

5、T，则二次型在特征向量 =1，2，3 T 处的值三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设15 试用初等函数表示 f(x)；16 设 存在且不为零，求常数 P 的值及上述极限17 设 f(x)在( 一，+)上有界，且存在二阶导数试证明：至少存在一点 (一，+)使 f()=018 设 f(x)在0，1上可导，且满足 试证明：存在 (0，1)，使19 适当选取函数 (x)，作变量代换 y=(x)u，将 y 关于 x 的微分方程化为 u 关于 x 的二阶常系数线性齐次微分方程 ，求 (x)及 并求原方程的通解20 设 求21 求由方程 2x2+2y2+z2+8xzz+8=0 所确定的

6、函数 z(x，y)的极值22 (I)设圆盘的半径为 R，厚为 h点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离平方，求该圆盘的质量 m()将以曲线 及 x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成的旋转体记为 V，设 V 的点密度为该点到旋转轴的距离的平方，求该物体的质量 M22 已知 是 Ax=b 的一个特解， 1， 2， nr 是对应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，证明：23 ，+ 1，+ 2，+ nr 是 Ax=b 的 n 一 r+1 个线性无关解；24 方程组 Ax=b 的任一解均可由 ，+，+ 1，+ nr 线性表出24 设 3 阶矩阵25 t 为何值时，矩阵 A，B 等价?说明理由26

7、t 为何值时，矩阵 A，C 相似?说明理由考研数学（数学二）模拟试卷 308 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故 A 不正确，当x0 时， 故 B 不正确故应选 D2 【正确答案】 C【试题解析】 记 ，若在(a，b)内可取正值，由于 F(a)=F(b)=0，故F(x)在(a，b)内存在最大值且为正，从而知 F(x)在(a，b)内存在正的极大值，记该极大值点为 x，于是 F(x0)=0，F(x 0)0即 代入原始方程，得F(x0)应是极小值，矛盾同理可知 F(x)在(a，b) 内也不可能取到负值故应选 C3 【正确答案】

8、 B【试题解析】 若 f(a)0，则存在 x=a 的某邻域 U(a)，在该邻域内 f(x)与 f(a)同号于是推知，若 f(a)0，则f(x) =f(x)(当 xU(a)；若 f(a)0，则f(x)=一 f(x)总之，若 f(a)0，f(x)在 x=a 处总可导若 f(a)=0，则从而知其中 xa +时取“+”，xa -时取“一”，所以f(x)在 x=a 处可导的充要条件为f (a)=0即f(a)=0所以当且仅当 f(a)0，f (a)0 时f(x)在 x=a 处不可导，选 B4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)为偶函数， ，所以在区间 f(x)至少有 1 个零点，当 x0 时， 所以在

9、区间(0， +)内 f(x)至多有 1 个零点，故在区间(0，+)内 f(x)有且仅有 1 个零点，所以在区间(-，+)内 f(x)有且仅有 2 个零点5 【正确答案】 B【试题解析】 因可导必连续，连续函数必存在原函数，故 B 正确A 是不正确的虽然由可推出 但由 (可积)推不出(可导)例如 f(x)=x在一1,1上可积，且 在 x=0 处不可导 C 是不正确的由(可积)推不出 (存在原函数)。例如 11上可积，则但 f(x)在一 1，1上不存在原函数因为如果存在原函数 F(x)那么只能是 F(x)=x+C 的形式，而此函数在 x=0 处不可导，在区间一 1，1上它没有做原函数的 “资格”(

10、I) 是不正确的，因为由(存在原函数)推不出(函数连续)反例如下：它存在原函数 可以验证 F(x)=f(x)，但 f(x)在 x=0 处并不连续，即存在原函数可以不连续6 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)严格单调增加，可知当 t(0，X)时，f(x)f(t)，故当 x0 时也即 F(x)在 x0 处没有驻点故应选 A7 【正确答案】 C【试题解析】 A 经过初等行变换后得 B，方程组 Ax=0 和 Bx=0 中只是方程改变倍数、两方程互换，或某方程的 k 倍加到另一方程上，它们不改变方程组的解故(1)成立，A， B 中任何部分列向量组组成的方程组也是同解方程组，故列向量组有相同的线

11、性相关性故(4)成立，而(2) 中由于 b 没有参与行变换，故 (2)不成立，(3)行变换后，A，B 中对应的部分行向量会改变线性相关性如故(3)也不成立8 【正确答案】 D【试题解析】 Ax=0 的任一解向量均可由 1， 2， 3， 4， 5 线性表出，则必可由1， 2， 3， 4， 5 的极大线性无关组表出，且 1， 2， 3， 4， 5 的极大线性无关组即是 Ax=0 的基础解系因故知 1， 3， 5 线性无关，是极大无关组，是 Ax=0 的通解，故应选 D二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 将 t=0 代入，得x=3,y=1，y t=e，得 如上10 【正确答案】 xe 1-x【

12、试题解析】 此为一阶齐次方程令 y=ux，有 原方程化为得 去掉对数记号及绝对值号，得lnu=C1x+1，u=c C1x+1，将 u x=1=1 代入得 C1=一 1,u=c1-x原方程的解为 y=xe1-x11 【正确答案】 8a【试题解析】 12 【正确答案】 (2x-y)dx-xdy【试题解析】 设 ，有 即 f(x，y)=x2 一 xy所以 dz=(2x-y)dx-xdy13 【正确答案】 【试题解析】 其中，前一项由洛必达法则，得 后一项化为：所以原式14 【正确答案】 42【试题解析】 由题设知 故三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 作积分变量变换

13、，令从而 于是16 【正确答案】 其中“等”表示用了等价无穷小替换欲使上述极限存在且不为零，其充要条件是 ，此时，该极限值等于17 【正确答案】 用反证法，设对一切 xE(一 ，+)，f (x)0，则要么对一切 xE(一，+)，f (x)0，或者对一切 x(一，+)，f (x)0不妨设对一切 x(一，+)，f (x)0有以下两种解法：法一取 x1 使 f(x1)0这种 x1 总存在的，因若不存在，则 f(x)0，从而与反证法的前提矛盾，取好 x1 之后，将 f(x)在 x=x1 处按泰勒公式展开至 n=1，有若 f(x1)0，令上式中的 x+；若 f(x1)0，令上式中的 x一，总有 ，与 f

14、(x)在(一，+)上有界矛盾此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在 (一，+)使f()=0法二由对一切 x(一 ，+) ，f (x)0，故知对一切 x，f (x)严格单调增加取 x1 使 f(x1)0(若不然，取 x1 使 f(x1)0)，由拉格朗日中值定理，当 xx 1时，有 f(x)=f(z1)+f()(xx 1)f(x1)+f(x1)(xx 1)，令 x，得 f(x)，与 f(x)有界矛盾若 f(x1)0，则当 xx 1 时，有 f(x)=f(x1)+f()(x-x1)f(x 1)+f(x1)(x-x1)，令x一，得 f(x)+，与 f(x)有界矛盾此矛盾证明了反证法的前提有错，故知存在

15、 (一 ，+)，使 f()=018 【正确答案】 由积分中值定理，存在 ，使得 令F(x)=x3f(x)，因为 故有 f(1)=3f()，即 F(1)=F()显然 F(x)在0，1上可导，由中值定理得，存在 (，1)，使得 F()=0，即 33f()+3f()=0，即 显然 (0，1)，故命题得证19 【正确答案】 由 y=(x)u，有代入原方程，得取 (x)使 2(x)+x(x)=0解微分方程 ，取 经计算可知于是原方程经变换 之后，原方程化为即 解之得 u=C1+C2x，原方程的通解为20 【正确答案】 如图所示，将 D 分成三块，中间一块记为 D3，左、右两块分别记为 D1 与 D2，则

16、而所以21 【正确答案】 令 F(x，y)=2x 2+2y2+z2+8xz 一 z+8,且令解得 y=0，4x+8z=0。再与 2x2+2y2+z2+8xz 一 z+8=0 联立，解得两组解为 再求二阶偏导数并以两组解分别代入，得 所以在第一组点处，故 z=1 为极小值：在第二组点处 B2 一 AC0A= 故为极大值22 【正确答案】 (1)以环细分圆盘，设环的宽度为 dr，内半径为 r,在环上点密度视为小变，为 r2 于是该环的质量为 ()该旋转体可看成由一个个薄片组成，由(1)每一薄片的质量 其中 R 为 r 处的旋转半径，即 y，于是23 【正确答案】 A(+i)=A=b，i=0，1，2

17、，n 一 r，(其中 0=0)，故 +i，i=0，1，2，n 一 r 均是 Ax=b 的解向量设有数k0，k 1，k 2，k n-r，使得 k0+k1(+1)+k2(+2)+kn-r(+n-r)=0，(*)(*)式左乘A，得 k0A， +k1A(+1)+k2A(+2)+kn-rA(+n-r)=0，整理得(k 0+k1+kn-r)b=0，其中 b0故 k0+k1+kn-r=0，(*) 代入(*)式，得 k11+k22+kn-rn-r=0因1， 2， n-r 导一是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki=0， i=1，2，nr 代入(*) 式，得 k0=0，从而有 ，+ 1，+ 2，+ n-r

18、是 Ax=b 的 n 一 r+1 个线性无关解向量24 【正确答案】 设 *为 Ax=b 的任一解，则 *=+11+22+ n-rn-r，且*=11+22+ n-rn-r，=+ 1(1+ 一 )+2(2+ 一 )+ n-r(n-r+ 一 )=(1 一1 一 2 一一 n-r)+1(1+)+2(2+)+ n-r(n-r+)，故任一个 Ax=b 的解 *，均可由向量组 ,+1，+ 2，+ n-r线性表出25 【正确答案】 显然，当t=0 时，有 r(A)=r(B)=2，A B26 【正确答案】 则 C 有三个不同的特征值 1=1， 2=2， 3=3，且存在可逆阵 P，使得当 t=2 时，A 有与 C 一样的三个不同的特征值，故知，当 t=2 时，有 Q-1AQ=A=P-1CP从而有 (QP-1)-1A(QP-1)=C，即AC。