[考研类试卷]考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编8及答案与解析.doc
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1、考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)连续,且 f(0)0,则存在 0,使得(A)f(x)在(0,)内单调增加(B) f(x)在 c 一 ,0)内单调减少(C)对任意的 x(0,)有 f(x)f(0) (D)对任意的 x(一 ,0)有 f(x)f(0)2 设函数 f(x)= 则 f(x)在(一 ,+)内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点3 设函数 y=y(x)由参数方程 确定,则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)(B
2、)(C)一 81n2+3 (D)81n2+34 设函数 y=f(x)具有二阶导数,且 f(x)0,f“(x)0,x 为自变量 x 在点 x0 处的增量,y 与 dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分,若x0,则(A)0dyy(B) 0 ydy(C) ydy0(D)dyy05 设函数 g(x)可微,h(x)=e 1+g(x)h(1)=1,g(1)=2,则 g(1)等于(A)ln3 一 1(B)一 ln3 一 1(C)一 ln2 一 1(D)ln2 一 16 设函数 f(x)在 x=0 处连续,下列命题错误的是7 曲线 y= +ln(l+ ex)渐近线的条数为(A)0(B) 1(C)
3、 2(D)38 设函数 f(x)在(0,+)上具有二阶导数,且 f“(x)0,令 un=f(n)(n=1,2,) ,则下列结论正确的是(A)若 u1u 2,则u n必收敛(B)若 u1u 2,则u n必发散(C)若 u1u 2,则u n必收敛(D)若 u1u 2,则u n必发散9 设函数 f(x)=x2(x 一 1)(x 一 2),则 f(x)的零点个数(A)0(B) 1(C) 2(D)310 若 f“(x)不变号,且曲线 y=f(x)在点(1,1) 处的曲率圆为 x2+y2=2,则函数 f(x)在区间(1 ,2) 内(A)有极值点,无零点(B)无极值点,有零点(C)有极值点,有零点(D)无极
4、值点,无零点11 曲线 y=x2 与曲线 y=alnx(a0)相切,则 a=(A)4e. (B) 3e. (C) 2e. (D)e.二、填空题12 设 y=(1+ sinx)x,则 dy|x=0=_13 曲线 y= 的斜渐近线方程为_14 曲线 y= 的水平渐近线方程为_15 设函数 y=y(x)由方程 y=1 一 xey 确定,则 |x=0=_16 曲线 上对应于 t= 的点处的法线斜率为_17 设函数 y= ,则 y(n)(0)=_18 曲线 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 在点(0,1)处的切线方程是_19 曲线 y 一(x 一 5) 的拐点坐标为_20 设 y=y(x)是由方程
5、 xy+ey=x+1 确定的隐函数,则 |x=0=_21 曲线 在点(0,0)处的切线方程为_22 函数 y=x2x 在区间(0,1 上的最小值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 设函数 f(x)在(一,+)上有定义,在区间0,2上,f(x)=x(x 24),若对任意的x 都满足 f(x)=kf(x+2),其中 k 为常数 ()写出 f(x)在一 2,0上的表达式; ()问 k 为何值时,f(x)在 x=0 处可导24 设 eabe 2,证明 ln2b 一 ln 2a25 已知函数 f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且 f(0)=0,f(1)=1证明:()存在
6、 (0,1) ,使得 f()=1 一 ;()存在两个不同的点 ,(0,1),使得 f()f()=126 试确定常数 A,B,C 的值,使得 ex(l+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)其中 o(x3)是当 x0时比 x3 高阶的无穷小27 证明:当 0a b 时,bsinb+ 2cosb+ Kbasina+2cosa+a28 设函数 f(x),g(x) 在a,b上连续,在(a ,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在 (a,b),使得 f“()=g“()29 设函数 y=y(x)由参数方程 确定,其中 x(t)是初值问题30 ()证明拉格朗日
7、中值定理:若函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则存在 (a,b) ,使得 f(b) 一 f(a)=f()(b 一 a)() 证明:若函数 f(x)在 x=0 处连续,在(0, )(0)内可导,且 f(x)=A,则 f+(0)存在,且 fx(0)=A考研数学二(高等数学)历年真题试卷汇编 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(0)= 0,由极限的保号性知,存在 0,当 x(一 , 0)或 x(0,)时, 0,而当 x(0,)时 x0,则此时f(x)一 f(0)0,即 f(x)f(0),故应选(C)本
8、题主要考查当函数在一点处导数大于零时,函数在该点邻近的性态关于此问题有以下结论:“若 f(x0)0,则存在0,使得当 x(x0 一 ,)时,有 f(x)f(x 0);当 x(x0,x 0+)时,f(x) f(x 0)”(若 f(x0)0 时有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明,即利用导数定义和函数极限的保号性证明,本题很容易选(A),这个选择是错误的,事实上没有以下结论:“若 f(x0)0,则存在 0,在 (x 0 一 ,x 0+)内 f(x)单调增”,反例如下 可以证明 f(0)=10,但 f(x)在 x=0 的任何邻域内却不单调增,事实上可以证明,在 x=0 的任何邻域内既有使
9、f(x)0 的点,也有使得 f(x)0 的点2 【正确答案】 C【试题解析】 当|x|1 时,则 f(x)在 x=1 处不可导,故应选 (C)3 【正确答案】 A【试题解析】 由 知,x=3 时 t=1,y=ln2 因为则曲线 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y 一 ln2=一8(x 一 3)令 y=0,得 x=3+4 【正确答案】 A【试题解析】 直接法: 由于 dy=f(x 0)x y=f(x0+x)一 f(x0)=f()x,(x 0 x 0+x) 由于 f“(x)0,则 f(x)单调增,从而有 f(x0)f(),又 f(x)0,x0,则 0dyy,故应选(A) 5 【正确答案】
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