[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷20及答案与解析.doc
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1、考研数学二(常微分方程)模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 1(), 2()为一阶非齐次线性微分方程 yP()yQ() 的两个线性无关的特解,则该方程的通解为( )(A)C 1() 2()(B) C1() 2()(C) C1() 2() 2()(D) 1() 2()C 2()2 设 yy()为微分方程 2yd( 21)dy 0 满足初始条件 y(0)1 的解,则 y()d 为( ) (A)ln3(B) ln3(C) ln3(D) ln33 微分方程 yy6y(1)e -2的特解形式为( )(A)(ab)e -2(B) a2e-2(C
2、) (a2b)e -2(D) 2(ab)e -2二、填空题4 设连续函数 f()满足 f() dte ,则 f()_5 微分方程(23)y4y的通解为_6 yy1y 2满足初始条件 y(0)1,y(0) 0 的解为_7 微分方程 y4y48 的通解为_8 设 yy()过原点,在原点处的切线平行于直线 y2 1,又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3,则 y()_9 微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1,y(2)1 的特解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求微分方程 yy2y0 的通解11 设二阶常系数齐次线性微分方程以 y1e 2,y 22e -3e
3、2为特解,求该微分方程12 求微分方程 y2y3y(21)e 的通解13 求 y2ye 20 满足初始条件 y(0)1,y(0)1 的特解14 求微分方程 y4y4ye a的通解15 求微分方程 yy 23cos 的通解16 设单位质点在水平面内作直线运动,初速度 v t0 v 0已知阻力与速度成正比(比例系数为 1),问 t 为多少时此质点的速度为 ?并求到此时刻该质点所经过的路程17 设 f()在0,)上连续,且 f(0)0,设 f()在0,上的平均值等于 f(0)与f()的几何平均数,求 f()18 设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内, L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交
4、,交点为 A,已知MAOA,且 L 经过点( ),求 L 的方程19 在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点 P(,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 轴平行20 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为 k0,设融化过程中形状不变,设半径为 r0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 ,求全部融化需要的时间21 设 f()在0,1上连续且满足 f(0)1,f()f()a(1)yf(),0,1,y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f()22 设 f()在( 1,)内连续且 f() t
5、f(t)dt1(1),求 f()23 设 f()是连续函数 (1)求初值问题 的解,其中 a0; (2)若f()k,证明:当 0 时,有f() (ea1)24 设有微分方程 y2y(),其中 () ,在(,)求连续函数y(),使其在(,1) 及(1,) 内都满足所给的方程,且满足条件 y(0)025 利用变换 zarctant 将方程 cos4 cos 2(2sin2) ytan 化为 y 关于t 的方程,并求原方程的通解26 设 f()为偶函数,且满足 f()2f()3 0f(t)dt3 2,求 f()27 设二阶常系数线性微分方程 yaybyce 有特解 ye 2(1)e ,确定常数 a,
6、b,c,并求该方程的通解28 设 u 且二阶连续可导,又 2 且 0,求f()29 设函数 f()在0 ,)内可导,f(0)1,且 f()f() f(t)dt0 (1)求 f(); (2)证明:当 0 时,e f()1考研数学二(常微分方程)模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1(), 2()为方程 yP()y Q()的两个线性无关解,所以1() 2()为方程 yP()y0 的一个解,于是方程 yP()yQ()的通解为C1() 2() 2(),选 C【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析
7、】 由 2yd (21)dy0 得 0,积分得 ln( 21)lnylnC,从而 y , 由 y(0)1 得 C1,于是 y , 故, 因此选 D【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 因为原方程的特征方程的特征值为 12, 23,而2 为其中一个特征值,所以原方程的特解形式为 (ab)e 2 ,选 C【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 2e 2e 【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 y C136C 129C 1C 2【试题解析】 令 yp ,则 ,两边积分得 lnp ln(2 3)2lnC 1,或 yC 1(23) 3, 于是 y C136C 129C
8、 1C 2【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 lny 【试题解析】 令 yp ,则 yp 1p 2,即 ,解得 ln(1p 2)lny 2lnC 1, 则 1p 2C 1Y2,由 y(0)1,y(0)0 得 y , lnyC 2,由 y(0)1 得 C20,所以特解为 lny 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 yC 1cos2C 2sin2 2【试题解析】 微分方程两个特征值为 12i, 22i, 则微分方程的通解为yC 1cos2C 2sin2 2【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 y()2e 3 2e3【试题解析】 由题意得 y(0)0,y(0) 2, y6y9ye 3
9、的特征方程为2690,特征值为 1 23, 令 y6y 9ye 3的特解为 y0()a 2e3代入得以 a , 故通解为 y(C 1C 2)e3 2e3 由 y(0)0,y(0)2 得C10,C 22,则 y()2e 3 2e3【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 特征方程为 2 0,特征值为 1,2 , 则原方程的通解为 y【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 因为 y1e 2,y 22e 3e 2为特解,所以 e2,e 也是该微分方程的特解,故其特征方程的特征值为 11, 22,特征方程
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