解三角形题型总结.doc

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1、 第 1 页 共 7 页 解三角形题型分类解析 类型一：正弦定理 1、 计算问题： 例 1、 （ 2013北京）在 ABC 中， a=3， b=5， sinA= ，则 sinB=_ 例 2、 已知 ABC 中， A 60， 3a ，则s in s in s inabcA B C= 例 3、 在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 2asinB= b 求角 A 的大小； 2、三角形形状问题 例 3、 在 ABC 中，已知 ,abc分别为角 A， B， C的对边， 1) BAb coscosa 试确定 ABC 形状。 2）若 coscosaBbA，试确定 ABC

2、 形状。 4）在 ABC 中，已知 AbBa tantan 22 ，试判断三角形的形状。 5）已知在 ABC 中， CcBb sinsin ，且 CBA 222 sinsinsin ，试判断三角形的形状。 例 4、（ 2016 年上海） 已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 _ 类型二：余弦定理 1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角 在 ABC 中， 若 2 2 2a b c，则角 C 是直角； 若 2 2 2a b c，则角 C 是钝角； 若 2 2 2a b c，则角 C 是锐角 例 1、 在 ABC 中，若 a9,b10,c12,则 ABC 的形状是 _

3、。 2、 求角或者边 例 2、 （ 2016 年天津高考） 在 ABC 中，若 = 13AB ,BC=3， 120C ,则 AC= 例 3、 在 ABC 中，已知三边长 3a ， 4b ， 37c ，求三角形的最大内角 第 2 页 共 7 页 例 4、 在 ABC 中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大的角和 sinC? 3、 余弦公式直接应用 例 5、 ：在 ABC中，若 2 2 2a b c bc ，求角 A 例 6、 ： (2013重庆理 20)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c， 且 a2 b2 2 ab c2. (1)求 C； 例 7、 设 的内角 ，

4、， 所对的边分别为 ， ， . 若 ，则角 例 8、 （ 2016 年北京高考） 在 ABC 中， . （ 1）求 的大小； （ 2）求 的最大值 . 类型 三：正弦、余弦定理基本应用 例 1.【 2015 高考广东，理 11】 设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若3a， 1sin 2B， 6C，则 b. 例 2. 1)( 22 ac bca， 则 B 等于。 例 3.【 2015 高考天津，理 13】在ABC中，内角,ABC所对的边分别为,abc，已知ABC的面积为315，12 , c os ,4b c A 则a的值为 . 例 4.在 ABC中， sin(C-A)

5、=1 , sinB=31，求 sinA=。 例 5.【 2015 高考北京，理 12】 在ABC中，4a，5b，6c，则sin2sinAC 例 6.若 的三个内角满足 ，则 ABC A B C a b c ( ) ( )a b c a b c a b C 2 2 2 2 a c b a cB2 cos cosACABC s i n : s i n : s i n 5 : 1 1 : 1 3A B C ABC第 3 页 共 7 页 （ A）一定是锐角三角形 . （ B）一定是直角三角形 . （ C）一定是钝角三角形 . (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 . 变：在 ABC 中，若 7:

6、5:3s in:s in:s in CBA ，则角 C 的度数为 例 7. 的三个内角满则 A:B:C=1:2:3则 a:b:c=. 例 8.设 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且53cos A，135cos B, 3b 则 c 类型 四 ：与正弦有关的解的个数 思路二：利用大边对大角进行筛选 例 1：在 ABC 中， bsinA a b，则此三角形有 A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定 例 2： 在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】 A、 7a ， 14b ， 30A ； B、 25b ， 30c ， 150C ； C、 4b ， 5c ，

7、30B ； D、 6a ， 3b ， 60B 。 例 3： 在 ABC 中， 有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,a oAb 类型五：与 CBA 有关的问题 例 1： 在 ABC 中， sinA=2cosBsinC，则三角形为 _. 变：在 ABC 中，已知 BCBC c o s)s in (2s in ，那么 ABC 一定是。 例 2:在 ABC中 ,角 A, B, 对应的边分别是 a, b, c.已知 c o s 2 3 c o s 1A B C . (I)求角 A的大小 ; (II)若 ABC的面积53S, 5b,求 sin sinBC的值 . 例 3: ABC 的内角 A，

8、B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 3acos C 2ccos A， tan A 13，求B. 例 4:在 ABC中， a, b, c分别为内角 A, B, C的对边，且 b ) s in C( 2cc ) s in B( 2b2 a s inA （）求 A的大小；（）求 sin sinBC 的最大值 . ABC第 4 页 共 7 页 类型六：边化角，角化边 注意点 :换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分 怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos 都存在时首先考虑边化角 例 1:在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足

9、 csinA=acosC （）求角 C 的大小； 例 2 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c.若 3a 2b，则 2sin2B sin2Asin2A 的值为 例 3. ABC 中， sin2A=sin2B+sin2C，则 ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 例 4： (2011全国 ) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， asin A csin C 2asin C bsin B. (1)求 B； (2)若 A 75， b 2，求 a， c. 例 5 ： （ 2016 年四川高考） 在 AB

10、C 中，角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 且c o s c o s s i nA B Ca b c. （ I）证明： s in s in s inA B C ； （ II）若 2 2 2 65b c a b c ，求 tanB . 例 6：（ 2016 年浙江高考） 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c. 已知 b+c=2acosB. （ I）证明： A=2B； （ II）若 ABC 的面积 2=4aS，求角 A 的大小 . 例 7： ABC 的内角 CBA ， 所对的边分别为 cba ， . （ I）若 cba ， 成等差数列，证明： CACA s

11、 in2s ins in ； （ II）若 cba ， 成等比数列，求 Bcos 的最小值 . 类型七：面积问题 面积公式： 例 1：设 的内角 所对边的长分别是 ，且 b=3， c=1， ABC ,ABC ,abc第 5 页 共 7 页 ABC 的面积为 2 求 cosA 与 a 的值； 例 2:在 中，角 的对边分别为 ， 。 （）求 的值；（）求 的面积 . 例 3：C的内角 ， ，C所对的边分别为a，b，c向量 ,3m a b与 cos , sinn 平行 （ I）求 ； （ II）若7a，2b求C的面积 例 4在 ABC 中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c且满足 (1)求

12、ABC的面积； (2)若 c 1，求 a的值 例 5： （ 2013浙江）在锐角 ABC 中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 2asinB= b （ ）求角 A的大小； （ ）若 a=6， b+c=8，求 ABC 的面积 例 6：（ 2016 年全国 I 高考） ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知2 c o s ( c o s c o s ) .C a B + b A c （ I）求 C； （ II）若 7,c ABC 的面积为 332，求 ABC 的周长 题型八：图形问题 例 1： 如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角

13、 (指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 )为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B点观测灯塔 A的方位角为 110，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？ ABC ,ABC , , ,3a b c B 4c o s , 35AbsinC ABC第 6 页 共 7 页 例 2.【 2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30的方向上，行驶 600m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为 ，则此山的高度CDm. 正弦定理、余弦

14、定理水平测试题 一、选择题 1在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 a2 c2 b2 3ac，则角 B 的值为 A.6B.3C.6或 56 D.3或 23 2已知锐角 ABC 的面积为 3 3， BC 4， CA 3，则角 C 的大小为 A 75 B 60 C 45D 30 3 (2010上海高考 )若 ABC 的三个内角满足 sin A sin B sin C 5 11 13，则 ABC A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 A. 5

15、18B.34C. 32 D.78 5 (2010湖南高考 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c，若 C 120，c 2a，则 ( ) A a bB a bC a bD a 与 b 大小不能确定 二、填空题 6 ABC 中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C 所对的边，已知 a 3， b 3， C 30，则 A 7 (2010山东高考 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若 a 2， b 2，sin B cos B 2，则角 A 的大小为 _ 8已知 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，且 AB 1， BC 4

16、，则边 BC 上的中线 AD的长为 _ 第 7 页 共 7 页 三、解答题 9 ABC 中，内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c.若 a2 c2 2b，且 sin B 4cos Asin C，求 b. 10在 ABC 中，已知 a2 b2 c2 ab. （ 1） 求角 C 的大小 ； （ 2） 又若 sin Asin B 34， 判断 ABC 的形状 11 (2010浙江高考 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设 S为 ABC 的面积， 且 S 34 (a2 b2 c2) （ 1） 求角 C 的大小； （ 2） 求 sin A sin B 的最大值 12.【 2015 高考新课标 2，理 17】（本题满分 12 分） ABC中， D是BC上的点， AD平分BAC， ABD面积是ADC面积的 2 倍 ( ) 求nsin BC； ( )若 1AD，22DC，求 BD和AC的长