2014届广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试文科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2014届广东省广州市越秀区高三上学期摸底考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ， ，又 ，. 考点：集合的补集与并集 若过点 的直线与曲线 和 都相切，则 的值为 （ ） A 2 BC 2或 D 3或 答案： C 试题分析：设过曲线 上的点 的切线过点 ，对函数 求导得 ，故曲线 上的点 的切线方程为 ，即，将点 的坐标代入此切线方程得 ，即，解得 或 ，（ 1）当 时，则切线方程为 ，即切线为 轴，此时曲线 与 轴相切，则；（ 2）当 时，切线的方程为，对函数 求导得 ，令 ，则有 ，解得 ，将 代入 得，

2、即切点坐标为 代入切线方程得，化简得 ，解得 ，综上所述 或 . 考点：函数图象的切线方程 若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则可以是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：对于 选项，函数 的零点为 ，若函数零点与函数 的零点之差的绝对值不超过 ，则函数的零点在区间 ，由于函数 单调递增，且 ，故 选项错误；对于 选项，函数 的零点为 ，则函数 的零点在区间 ， ， ，由零点存在定理知，函数 的零点在区间在 ，故答案：为 ，由同样的方法，可知选项 、 均不正确 . 考点：函数的零点、零点存在定理 已知 ，则 的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 5 答案： C

3、试题分析： ， ， 当且仅当 ，即当 且 时，上式取等号，故 的最小值为 . 考点：基本不等式 在 ABC中， ， ，则 ABC的面积为（ ） A B 3 CD 6 答案： B 试题分析： ， ，由于 ，故 ， ， 即 的面积为 . 考点：平面向量的数量积、同角三角函数之间的关系、三角形的面积 某校高二年级 100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： ， ， ， ， ，则这100名学生数学成绩在 分数段内的人数为（ ） A 45 B 50 C 55 D 60 答案： C 试题分析：由于在频率分布直方图中，各矩形的面积之和为 ，则有，即 ，故学生数学成绩在 的频率

4、为 ，故这 个学生数学成绩在 的人数为 . 考点：频率分布直方图 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为 6、腰长为 5的等腰三角形，则这个几何体的侧面积为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，且圆锥的底面直径为 ，母线长为 ，用 表示圆锥的底面半径， 表示圆锥的母线长，则 ，故该圆锥的侧面积为 . 考点：三视图、圆锥的侧面积 设 ，则 “ ”是 “直线 与直线 平行 ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：若直线 与直线 平行，则 ，解得 ，故“ ”是 “直线 与

5、直线 平行 ”的充分不必要条件 . 考点：两直线的位置关系、充分必要条件 下列函数为偶函数的是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：对于函数 ，定义域为 ，即 ，故函数 不是偶函数；函数 为奇函数，不合乎题意；对于函数 ，定义域为 ，关于原点对称，即函数 为奇函数；对于函数 ，定义域为 ，关于原点对称，故函数 为偶函数，答案：选 . 考点：函数的奇偶性 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， . 考点：对数的运算 填空题 已知曲线 C的参数方程是 （ 为参数），以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线 C的极坐标方程

6、是 . 答案： 试题分析：曲线 的参数方程为 （ 为参数），它表示以点为圆心，以 为半径的圆，则曲线 的标准方程为 ，化为一般方程即 ，化为极坐标方程得 ，即 ，两边约去 得 . 考点：参数方程、直角坐标方程以及极坐标方程之间的转化 如图， AB为 O的直径，弦 AC、 BD相交于点 P，若 ， ，则的值为 . 答案： 试题分析：如下图所示，连接 ，由于圆 是 的外接圆，且 是圆的直径，故有 ， 由正弦定理得 ，而 ，. 考点：正弦定理、诱导公式 在区域 内随机取一个点 ，则关于 的二次函数在区间 上是增函数的概率是 . 答案： 试题分析：由于 ，二次函数 的图象开口朝上，对称轴方程为 ，由于

7、函数 在区间 上单调递增，记事件 关于 的二次函数 在区间 上是增函数，则事件 构成的平面区域如下图的阴影部分所示，联立 与 ，解得 ， ，则事件 构成的平面区域的面积为 ，总事件构成的区域为一个等腰直角三角形，且腰长为 ，其面积 ，故事件 “关于 的二次函数 在区间 上是增函数 ”发生的概率 . 考点：线性规划、几何概型 执行如图所示的程序框图，则输出的 S的值是 . 答案： 试题分析： 成立，执行第一次循环体， , ；成立，执行第二次循环体， ， ；成立，执行第三次循环体， ， ； ； 成立，执行第十次循环体， ； 不成立，跳出循环体，输出的. 考点：算法与程序框图、等差数列求和 在复平面

8、内，复数 对应的点的坐标是 . 答案： 试题分析： ，故复数在复平面内对应的点的坐标为 . 考点：复数的除法运算、复数的几何意义 解答题 已知函数 ， 的最大值是 1，最小正周期是 ，其图像经过点 （ 1）求 的式； （ 2）设 、 、 为 ABC的三个内角，且 ， ，求的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据题中的已知条件确定函数 中各未知量的值进而求出函数 的式；（ 2）在求出函数 的式 之后，利用三角形的内角和定理，将 的值转化为 与 的和角的三角函数来求解，具体转化思路为 ，然后再利用同角三角函数之间的关系以及两角和的余弦公式进行求值 . 试题：（ 1）因为函数 的

9、最大值是 1，且 ，所以 . 因为函数 的最小正周期是 ，且 ，所以 ，解得 . 所以 .因为函数 的图像经过点 ，所以 . 因为 ，所以 .所以 . （ 2）由（ 1）得 ，所以 ， . 因为 ，所以 ， . 因为 为 ABC的三个内角，所以 . 所以 . 考点：三角函数的基本性质、两角和的余弦函数、同角三角函数之间的关系 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位 A、 B、 C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）： 科研单位 相关人数 抽取人数 A 16 B 12 3 C 8 （ 1）确定 与 的值； （ 2）若从科研单位 A、 C抽取的人中选 2人作

10、专题发言，求这 2人都来自科研单位 A的概率 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据分层抽样的特点列式求 与 的值；（ 2）先将科研单位、 中抽取的人用不同的符号进行表示，然后利用列举法将总事件中的基本事件以及问题中所考查事件的基本事件列举出来，然后利用古典概型的概率计算公式计算出来即可 . 试题：（ 1）依题意得， ，解得 ， . （ 2）记从科研单位 A抽取的 4人为 ，从科研单位 C抽取的 2人为，则从科研单位 A、 C抽取的 6人中选 2人作专题发言的基本事件有： 共 15种 . 记 “选中的 2人都来自科研单位 A”为事件 ，则事件 包含的基本事件有： 共 6

11、种 . 则 .所以选中的 2人都来自科研单位 A的概率为 . 考点：分层抽样、古典概型 如图，菱形 的边长为 4， ， .将菱形沿对角线 折起，得到三棱锥 ，点 是棱 的中点， . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用三角形的中位线平行于相应的底边证明 ，然后结合直线与平面平行的判定定理即可证明 平面 ；（ 2）先利用翻折时与 的相对位置不变证明 ，然后利用勾股定理证明 ，并结合直线与平面垂直的判定定理先证明 平面 ，最终利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 平面 ；（ 3）

12、利用（ 2）中的结论平面 ，利用等体积法将三棱锥 的体积转化为以点 为顶点，所在平面为底面的三棱锥 的体积来计算，则三棱锥的高为 ，的面积为底面积，然后利用锥体的体积公式即可计算三棱锥 的体积，在计算 的面积时，首先应确定 的形状，然后选择合适的公式计算计算 的面积 . 试题：（ 1）因为 O为 AC的中点， M为 BC的中点，所以 . 因为 平面 ABD， 平面 ABD，所以 平面 . （ 2）因为在菱形 ABCD中， ，所以在三棱锥 中， . 在菱形 ABCD中， AB AD 4， ，所以 BD 4.因为 O为 BD的中点， 所以 .因为 O为 AC的中点， M为 BC的中点，所以. 因为

13、 ，所以 ，即 . 因为 平面 ABC， 平面 ABC， ，所以 平面 ABC. 因为 平面 DOM，所以平面 平面 . （ 3）由（ 2）得， 平面 BOM，所以 是三棱锥 的高 . 因为 ， ， 所以 . 考点：直线与平面平行、平面与平面平行、等体积法 已知数列 an的前 n项和 ，且 的最大值为 4. （ 1）确定常数 k的值，并求数列 an的通项公式 an； （ 2）令 ，数列 bn的前 n项和为 Tn，试比较 Tn与 的大小 . 答案：（ 1） ， ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先根据二次函数的相关知识以及 的最大值为 这些条件确定的值，再根据 与 之间的关系 求出数列 的通

14、项公式；（ 2）先求出数列 的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列 的前 项和 ，并根据 的表达式确定 与 的大小 . 试题：（ 1）因为 ，所以当 时， 取得最大值 . 依题意得 ，又 ，所以 .从而 . 当 时， . 又 也适合上式，所以 . （ 2）由（ 1）得 ，所以 . 所以 ， . 由 - 得， ， 所以 . 因为 ，所以 . 考点：数列通项、错位相减法 已知双曲线 经过点 ，且双曲线 的渐近线与圆 相切 . （ 1）求双曲线 的方程； （ 2）设 是双曲线 的右焦点， 是双曲线 的右支上的任意一点，试判断以 为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由 .

15、答案：（ 1） ；（ 2）外切 . 试题分析：（ 1）利用 “点 在双曲线 上 ”以及 “双曲线 的渐近线与圆”这两个条件列两个方程，求解 与 ，进而确定双曲线 的方程；（ 2）根据圆与圆的位置关系的判断方法，考查两圆连心线的长度与两圆半径之间的相互关系，同时注意将点 与左焦点 连接起来，注意到两圆圆心分别为 与 的中点，利用中位线以及双曲线的定义确定两圆半径与连心线长度之间的关系，进而确定两圆的位置关系 . 试题：（ 1）因为双曲线 经过点 ，所以 . 因为双曲线 的的渐近线 与圆 相切， 所以圆心 到直线 的距离等于 2， 即 ，整理得 . 联立 与 ，解得 所以双曲线 的方程为 （ 2）

16、由（ 1）得， ，所以双曲线 的右焦点为 . 设双曲线 的左焦点为 ，因为点 在双曲线 的右支上， 所以 ，即 ， 所以 . 因为以双曲线 的实轴为直径的圆的圆心为 ，半径为 ； 以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ， 所以两圆圆心之间的距离为 . 因为 ， 所以以 为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切 . 考点：双曲线、点到直线的距离、两圆的位置关系 已知函数 . （ 1）试问 的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； （ 2）定义 ，其中 ，求 ； （ 3）在（ 2）的条件下，令 .若不等式 对 且恒成立，求实数 的取值范围 . 答案： 试题分析：（ 1）根据函数式的特点直接

17、代入计算 的值；（ 2）利用（ 1）中条件 的条件，并注意到定义中第 项与倒数第 项的和这一条件，并利用倒序相加法即可求出 的表达式，进而可以求出 的值；（ 3）先利用 和 之间的关系求出数列 的通项公式，然后在不等式 中将 与含 的代数式进行分离，转化为恒成立的问题进行处理，最终利用导数或作差（商）法，通过利用数列 的单调性求出 的最小值，最终求出实数 的取值范围 . 试题：（ 1） 的值为定值 2. 证明如下： . （ 2）由（ 1）得 . 令 ，则 . 因为 ， 所以 ， 由 + 得 ，所以 . 所以 . （ 3）由（ 2）得 ，所以 . 因为当 且 时， . 所以当 且 时，不等式 恒成立 . 设 ，则 . 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 上单调递增 . 因为 ，所以 ， 所以当 且 时， . 由 ，得 ，解得 . 所以实数 的取值范围是 . 考点：函数、倒序相加法、导数