2014届上海市闵行区高三下学期教育质量调研（二模）理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2014届上海市闵行区高三下学期教育质量调研（二模）理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知等差数列 的前 项和为 ，向量 ， ， ，且 ，则用 表示（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意 ，所以 ， ， 在同一条直线上，那么由 得 ，且 ，解得选 C 考点：向量中三点共线的性质，向量的线性表示 若曲线 上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 中曲线方程为 ，曲线是抛物线，没有自公切线， 中方程化简为 时， ， 时， ，此曲线是两段劣圆弧，不存在自公切线， 中曲线如下图，是两个圆弧，

2、相应的两个圆有公切线，即曲线有自公切线，选 C 考点：方程与曲线，曲线的切线 已知集合 ， ,若 “ ”是 “ ”的充分非必要条件，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意 ， ，题设条件说明，所以 考点：解不等式，充分必要条件 下列命题中，错误的是（ ） A过平面 外一点可以作无数条直线与平面 平行 B与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行 C若直线 垂直平面 内的两条相交直线，则直线 必垂直平面 D垂直于同一个平面的两条直线平行 答案： B 试题分析：按顺序考察，对 ，我们知道，我平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，而那个平面内的所有直线与与这个平面平行

3、，故 正确；对 ，如圆锥的所有母线与底面所成的角都相等，但它们不平行， 错误，故选 是线面垂直的判定与性质定理 考点：线面平行与垂直的判定与性质 填空题 答案： 试题分析： 考点：数列的极限 对于函数 ，有下列 4个命题： 任取 ，都有 恒成立； ，对于一切 恒成立； 函数 有 3个零点； 对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 则其中所有真命题的序号是 答案： 试题分析：从函数的定义可知 ， ，因此， 正确；由定义，因此 ， 错误；函数 与 的图象如下图所求，它们有三个交点，因此方程 有 3个解， 正确；对 ，由于， ，即 时，不等式 不恒成立，故 错误（事实上从函数定义或图象可知

4、，因此不等式 要成立，必须有 ， ，而当 时， 的最大值为 （ 时取得），故 ），故填 考点：函数的综合应用 已知数列 ，对任意的 ，当 时， ；当 时，那么该数列中的第 10个 2是该数列的第 项 答案：（ ） 试题分析：由题意， ， ，由此可得 ， ，故第 10个 2应该是 ，即第 项 考点：数列的通项公式与数列的项 计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记 “合格 ”与 “不合格 ”，只有当两部分考试都 “合格 ”者，才颁发计算机 “合格证书 ”甲、乙两人在理论考试中 “合格 ”的概率依次为 ，在操作考试中 “合格 ”的概率依次为，所有考试是否合格，相互之间没有影响则甲、乙

5、进行理论与操作两项考试后，恰有 1人获得 “合格证书 ”的概率 答案： 试题分析：甲合格的概率为 ，乙合格的概率是 ，两人中恰有1人合格的概率是 考点：相互独立事件有一个发生的概率 若不等式 对任意正实数 恒成立 ,则正实数 的最小值为 答案： 试题分析： ，因此 最小值为 4 考点：基本不等式 设摩天轮逆时针方向匀速旋转， 24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为 已知时间 时，观光箱 A的坐标为 ，则当时（单位：分），动点 A的纵坐标 关于 的函数的单调递减区间是 答案： 试题分析：由题意， ，设 ，则 ，又， ，即 ， ， ，取 ，则 考点：三角函数的式与性质 已知关于 的不等式 的解

6、集为 ，则实数 的取值范围 答案： 试题分析： 时，不等式为 ，恒成立，当 时，有解得 ，综上有 考点：不等式恒成立问题，二次不等式的解集 关于方程 的解为 答案： 试题分析：原方程为 ，即 ， ，所以 ， 考点：行列式，指数方程 已知全集 ，集合 ，则 = 答案： 试题分析： ，所以 考点：集合的运算 设 ，向量 ， ，且 ，则 答案： 试题分析：由题意 ， ， ， 考点：向量垂直与向量的模 在 中，若 ， ， ，则 答案： 试题分析：由正弦定理得 ，即 ，解得 考点：正弦定理 在极坐标系中， 与 的交点的极坐标为 答案： 试题分析：由题意 ，故其交点极坐标为 考点：曲线的交点坐标 用一平面

7、去截球所得截面的面积为 cm2，已知球心到该截面的距离为 1 cm，则该球的体积 是 cm3. 答案： 试题分析：设截面圆半径为 ，则 ， ，球半径为 ，则， ，所以 （ ） 考点：球的截面的性质，球体积公式 复数 ( ，且 )，若 是实数，则有序实数对可以是 （写出一个有序实数对即可） 答案： 或满足 的任意一对非零实数对 试题分析： 是实数，则，由于 ，故 考点：复数的概念 解答题 如图，在体积为 的正三棱锥 中， 长为 ， 为棱 的中点，求 （ 1）异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （ 2）正三棱锥 的表面积 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）本题求异面

8、直线所成的角，根据定义要把这个角作出来，一般平移其中一条，到与另一条相交为此，题中由于有 的中点 ，因此我们以中点 ，就有 ，那么 就是所求的角（或其补角）；（ 2）要求正三棱锥的表面积，必须求得斜高，由已知体积，可以先求得棱锥的高，取的中心 ，那么 就是棱锥的高，下面只要根据正棱锥的性质（正棱锥中的直角三角形）应该能求得侧棱长或斜高，有了斜高，就能求得棱锥的侧面积了，再加上底面积，就得到表面积了 试题：（ 1）过点 作 平面 ，垂足为 ，则 为 的中心，由得 （理 1分文 2分） 又在正三角形 中得 ，所以 （理 2分文 4分） 取 中点 ，连结 、 ，故 ， 所以 就是异面直线 与 所成的

9、角（理 4分文 6分） 在 中， ， ， （理 5分文 8分） 所以 （理 6分文 10分） 所以，异面直线 与 所成的角的大小为 （理 7分文 12分） （ 2）由 可得正三棱锥 的侧面积为 （理 10分） 所以正三棱锥 的表面积为 （理 12分） 考点：（ 1）异面直线所成的角；（ 2）棱锥的体积与表面积 如图，点 A、 B是单位圆 上的两点，点 C是圆 与 轴的正半轴的交点，将锐角 的终边 按逆时针方向旋转 到 . （ 1）若点 A的坐标为 ，求 的值； （ 2）用 表示 ，并求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， 试题分析：（ 1）已知单位圆上点 的坐标为 ，根据三角函数的

10、定义有，这样我们很快可求得 ，也即求出 的值；（ 2） 在 中，此三角形的两边长为 1， 而，因此只要应用余弦定理就能求得 的长， ，要求其范围，首先求得 的范围，根据已知 ，此时可得 ，那么必有 ， 的范围随之而得， 试题：（ 1）由已知， （ 2分） （ 4分） = . （ 6分） （ 2） （ 8分） （ 10分） ， ， （ 12分） （ 14分） 考点：（ 1）三角函数的定义与求值；（ 2）余弦定理与三角函数的范围问题 为了寻找马航 残骸 ,我国 “雪龙号 ”科考船于 2014年 3月 26日从港口出发，沿北偏东 角的射线 方向航行，而在港口北偏东 角的方向上有一个给科考船补给物资的

11、小岛 ， 海里，且 .现指挥部需要紧急征调位于港口 正东 海里的 处的补给船，速往小岛 装上补给物资供给科考船该船沿 方向全速追赶科考船，并在 处相遇经测算当两船运行的航线与海岸线 围成的三角形 的面积 最小时，这种补给 方案最优 . （ 1）求 关于 的函数关系式 ； （ 2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？ 答案：（ 1） ；（ 2） 1400 试题分析：（ 1）本题已知条件可以理解为 是固定的，点 也是不变，直线 过点 ，要求 面积的最小值，根据已知条件，我们用法来解题，以 为坐标原点，向东方向为 正半轴，向北方向为 轴正半轴，建立直角坐标系，则可得直线 的方程为

12、，点 坐标为 ，又有点 坐标为 ，可得直线 方程，它与直线 的交点 的坐标可解得，而，这样要求的表达式就可得；（ 2）在（ 1）基础上，其最小值求法，把分式的分子分母同时除以 ，得，分母是关于 的二次函数，最值易求 . 试题：（ 1）以 O点为原点，正北的方向为 y轴正方向建立直角坐标系， （ 1分） 则直线 OZ的方程为 ，设点 A（ x0， y0），则 ，即 A（ 900， 600）， （ 3分） 又 B（ m， 0），则直线 AB的方程为： ， （ 4分） 由此得到 C点坐标为： ， （ 6分） （ 8分） （ 2）由（ 1）知 （ 10分） （ 12分） 所以当 ，即 时， 最小， （

13、或令 ，则 ，当且仅当 时， 最小） 征调 海里处的船只时，补给方案最优 . （ 14分） 考点：法解应用题 . 设椭圆 的中心和抛物线 的顶点均为原点 ， 、 的焦点均在 轴上，过 的焦点 F作直线 ，与 交于 A、 B两点，在 、 上各取两个点，将其坐标记录于下表中： （ 1）求 ， 的标准方程； （ 2）若 与 交于 C、 D两点， 为 的左焦点，求 的最小值； （ 3）点 是 上的两点，且 ，求证： 为定值；反之，当 为此定值时， 是否成立？请说明理由 . 答案：（ 1） ： ；（ 2） ；（ 3）证明见 . 试题分析：（ 1）分析哪些点在椭圆上，哪些点在抛物线上，显然 是椭圆的顶点，

14、因此 ，从而点 是椭圆上的点，另两点在抛物线上，代入它们的标准方程可求得其方程；（ 2） 与 的顶点都是 ，底在同一直线上，因此基、其面积之比为底的比，即 ，这样我们只要求出直线 与已知两曲线相交弦长即可，直线 与曲线 交于两点，其弦长为 ，当然由于直线过圆锥曲线的焦点，弦长也可用焦半径公式表示；（ 3）从题意可看出，只有把 ， 求出来，才能得出结论，为了求 ， ，我们可设 方程为 ，则 方程为，这样 ， 都能用 表示出来，再计算 可得其为定值 ，反之若 ，我们只能设 方程为 ， 方程为，分别求出 ，代入此式，得出 ，如果一定能得到 1，则就一定有 ，否则就不一定有 . 试题：（ 1） 在椭圆

15、上， 在抛物线上， ： （ 4分） （ 2） (理 ) = . 是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点， 当直线 的斜率存在时， 设 ： , ， 联立方程 ，得 ， 时 恒成立 . （也可用焦半径公式得： ） （ 5分） 联立方程 ，得 ， 恒成立 . , （ 6分） = . （ 8分） 当直线 的斜率不存在时， ： 相关试题 2014届上海市闵行区高三下学期教育质量调研（二模）理科数学试卷（带） 已知曲线 的方程为 ，过原点作斜率为 的直线和曲线 相交，另一个交点记为 ，过 作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，过 作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，如此下去，一般地，过点

16、作斜率为 的直线与曲线 相交，另一个交点记为 ，设点（ ） （ 1）指出 ，并求 与 的关系式（ ）； （ 2）求 （ ）的通项公式，并指出点列 ， ， ， ， 向哪一点无限接近？说明理由； （ 3）令 ，数列 的前 项和为 ，设 ，求所有可能的乘积 的和 答案：（ 1） ；（ 2） ， ；（ 3） . 试题分析：（ 1）由于 ，点 ， 又都是抛物线上的点，代入进去变形可得到 与 的关系为 ；（ 2）由于只要求数列 的奇数项，因此把（ 1）中得到的关系式中 分别为 代换，得到两个等式相减可得 与 的关系式 ，用累加法可求得通项公式 ，当 时， ，即得极限点为 ；（ 3）求出 ，是一个等比数列，其 ，于是，即 ，要求和 ，可先求和 ，而， ，由此可得结论 . 试题：（ 1） （ 1分） 设 ， ，由题意得 （ 2分） （ 4分） （ 2）分别用 、 代换上式中的 n得 ( ) （ 6分） 又 ， ， （ 8分） 因 ，所以点列 ， ， ， ， 向点 无限接近 . （ 10分） （ 3）（理） ， （ 11分） ， . （ 12分） 将所得的积排成如下矩阵： ，设矩阵 的各项和为 . 在矩阵的左下方补上相应的数可得 矩阵 中第一行的各数和 ， 矩阵 中第二行的各数和 ， 矩阵 中第 行的各数和 ，