2010年广东湛江市第二中学高二下学期期末考试数学卷.doc

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1、2010年广东湛江市第二中学高二下学期期末考试数学卷 选择题 若全集 , ,则 （ ） A B C D 答案： D 定义在 R上的函数 ，满足 ， ，若x13， 则有 （ ） A B C D不确定 答案： B 函数 在区间 上的最大值是 （ ） A 2 B 0 C 2 D 4 答案： C 设随机变量 服从 B（ 6， ），则 P（ =3）的值是 （ ） A B C D 答案： A 已知 （ ） A 2 B 2 C 12 D 12 答案： A 从 1， 2， ， 9这九个数中，随机抽取 3个不同的数，则这 3个数的和为偶数的概率是（ ） A B C D 答案： C 如图是导函数 的图象，那么函数

2、 在下面哪个区间 （ ） A B C D 答案： B 已知命题 ，则 “命题 为真 ”是 “命题 为真 ”的 条件 （ ） A必要不充分 B充分不必要 C充要 D既不充分也不必要 答案： A 填空题 （几何证明选讲） 如图， P 是圆 O 外的一点， PT为切线， T为切点，割线 PA经过圆心 O， PB=6，PT ，则 TBP= . 答案： （坐标系与参数方程选讲） 在极坐标系中，点 到直线 的距离为 . 答案： （不等式证明选讲）函数 的最大值 是 . 答案： 右图是一个有 层 的六边形点阵 .它的中心是一个点 ,算作第一层 , 第 2层每边有 2个点 ,第 3层每边有 3个点 , 第 层

3、每边有 个点 , 则这个点阵的点数共有 个 . 答案： 一次函数 的图象经过点（ 3,4），且 ，则 的表达式为 . 答案： 若复数 是纯虚数（ 是虚数单位），则 . 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知坐标平面上三点 ， ， （ 1）若 （ O 为坐标原点），求向量 与 夹角的大小； （ 2）若 ，求 的值 答案： 解：（ 1） ， ， ， 2 分 4 分 又 ， ，设 与 的夹角为 ，则： ， 与 的夹角为 或 7 分 （ 2） ， ， 9 分 由 ， ， 可得 ， 11分 ， ， 12 分 （本小题满分 12分） 袋中装着标有数字 1， 2， 3， 4的小球各 3个，从袋中任取

4、3个小球，每个小球被取出的可能性都相等 （ ）求取出的 3个小球上的数字互不相同的概率； （ ）用 表示取出的 3个小球上所标的最大数字，求随机变量 的分布列和数学期望 答案： 解：（ I） “一次取出的 3个小球上的数字互不相同 ”的事件记为 ， 则 5 分 （ II）由题意 所有可能的取值为： ， ， ，.6 分 ； ； ； 所以随机变量 的分布列为 1 2 3 4 10 分 随机变量 的均值为 12分 （本小题满分 14分） 如图，正四棱柱 中， ,点 在 上且. (1) 证明： 平面 ; (2) 求二面角 的余弦值 . 答案： 解法一： 依题设知 ， （ ）连结 交 于点 ，则 由三垂

5、线定理知， 2 分 在平面 内，连结 交 于点 ， 由于 ，故 ， 与 互余 于是 5 分 与平面 内两条相交直线 都垂直，所以 平面 6 分 （ ）作 ，垂足为 ，连结 由三垂线定理知 ， 故 是二面角 的平面角 8 分 ， ， ， 又 ， 12 分 13 分 所以二面角 的余弦值为 14 分 解法二： 以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 依题设， 2分 ， 4 分 （ ）因为 ， ，故 ， 又 ，所以 平面 7 分 （ ）设向量 是平面 的法向量，则 ， 故 ， 10 分 令 ，则 ， ， 11 分 等于二面角 的平面角， 13 分 所以二面角 的余弦值为 14

6、分 (本小题满分 14分 ) 数列 是递增的等比数列，且 . ( )求数列 的通项公式 ; ( )若 ,求证数列 是等差数列 ; ( )若 ,求 的最大值 . 答案： .解 :( )由 知 是方程 的两根 ,注意到 得.2 分 得 . 等比数列 . 的公比为 , 4 分 ( ) 6 分 8 分 数列 是首相为 3,公差为 1的等差数列 . 9 分 ( ) 由 ( )知数列 是首相为 3,公差为 1的等差数列 ,有 = = 11 分 ,整理得 , 解得 . 13 分 的最大值是 7. 14 分 （本小题满分 14分） 若椭圆 ： 的离心率等于 ，抛物线 ：的焦点在椭圆的顶点上。 （ ）求抛物线

7、的方程； （ ）求 的直线 与抛物线 交 、 两点，又过 、 作抛物线的切线 、 ，当 时，求直线 的方程； 答案： （ I）已知椭圆的长半轴为 2，半焦距 由离心率等于 2分 3 分 椭圆的上顶点（ 0， 1） 抛物线的焦点为（ 0， 1） 抛物线的方程为 6 分 （ II）由已知，直线 的斜率必存在，设直线 的方程为 ， ， ， ， 切线 的斜率分别为8 分 当 时， ，即 9 分 由 得： 解得 或 ，即： 12分 此时 满足 13 分 直线 的方程为 14 分 (本小题满分 14分 ) 已知 ，函数 （ 1）若函数 在区间 内是减函数，求实数 的取值范围； （ 2）求函数 在区间 上的

8、最小值 ； （ 3）对（ 2）中的 ，若关于 的方程 有两个不相等的实数解，求实数 的取值范围 答案： （ 1）解： ， .1 分 函数 在区间 内是减函数， 在 上恒成立 2 分 即 在 上恒成立， 3 分 ， 故实数 的取值范围为 4 分 （ 2）解： ，令 得 5 分 若 ，则当 时， ，所以 在区间 上是增函数， 所以 6 分 若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间上是增函数， 所以 7 分 若 ，即 ，则当 时， ；当 时， 所以 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 所以 8 分 若 ，即 ，则当 时， ，所以 在区间 上是减函数 所以 9 分 综上所述，函数 在区间 的最小值 10分 （ 3）解：由题意 有两个不相等的实数解， 即（ 2）中函数 的图像与直线 有两个 不同的交点 11 分 而直线 恒过定点 ， 由右图知实数 的取值范围是 14 分