2011年全国初中数学竞赛题.doc

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1、2011年全国初中数学竞赛题 选择题 设 ，则代数式 的值为 ( ). A -6 B 24 C D 答案： A 在同一直角坐标系中，函数 （ ）与 （ ）的图象大致是 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： C 在等边三角形 ABC所在的平面内存在点 P，使 PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形 .请指出具有这种性质的点 P的个数（ ） （ A） 1 （ B） 7 （ C） 10 （ D） 15 答案： C 若 ， ，且满足 ，则 的值为 ( ). A 1 B 2 CD 答案： C 设 ，则 的整数部分等于 ( ). A 4 B 5 C 6 D 7 答案： A 填空题 如图，在 R

2、t ABC中，斜边 AB的长为 35，正方形 CDEF内接于 ABC，且其边长为 12，则 ABC的周长为 . 答案： 如图，点 为直线 上的两点，过 两点分别作 y轴的平行线交双曲线 （ ）于 两点 . 若 ，则 的值为 .答案： 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1， 2， 2， 3， 3， 4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1， 3， 4， 5， 6， 8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数 5的概率是 . 答案： 若关于 的方程 有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则 的取值范围是 . 答案： m4 若 a是一个完全

3、平方数，则比 a大的最小完全平方数是 . 。 答案： 解答题 已知：不论 k 取什么实数，关于 x 的方程 （ a、 b 是常数）的根总是 x 1，试求 a、 b的值。 答案：解：把 x 1代入原方程并整理得（ b 4） k 7-2a 要使等式（ b 4） k 7-2a不论 k取什么实数均成立，只有 解之得 ， 已知关于 的一元二次方程 的两个整数根恰好比方程的两个根都大 1，求 的值 . 答案：解：设方程 的两个根为 ，其中 为整数，且 ，则方程 的两根为 ，由题意得 ， 两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或 又因为 所以 ；或者 ， 故 ，或 29. 如图，点 为 轴正半轴上一点，

4、两点关于 轴对称，过点 任作直线交抛物线 于 ， 两点 （ 1）求证： = ； （ 2）若点 的坐标为（ 0， 1），且 =60o，试求所有满足条件的直线的函数式 . 答案：解：（ 1）如图，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 . 设点 的坐标为（ 0， ），则点 的坐标为（ 0， - ） . 设直线 的函数式为 ,并设 的坐标分别为 , .由 （第 13题） 得 ，于是 ，即 . 于是 又因为 ，所以 . 因为 ，所以 ， 故 = . （ 2） 设 ， ，不妨设 0，由（ 1）可知 = ， = ， = ， 所以 = ， = . 因为 ，所以 . 于是 ，即 ， 所以 由（ 1）中 ，即 ，所以 于是可求得 将 代入 ，得到点 的坐标（ ， ） . 再将点 的坐标代入 ，求得 所以直线 的函数式为 . 根据对称性知，所求直线 的函数式为 ，或 . 如图， ABC中， ， 点 P在 ABC内，且，求 ABC的面积 答案：解：如图，作 ABQ，使得 则 ABQ ACP . 由于 ，所以相似比为 2. 于是 （第 14题） . 由 知， ，于是 所以 ，从而 于是 . 故