2010年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷(文史类)及答案解析.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学(文史类) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 150分，考试用时 120 分钟。 第 I 卷1 至3 页。第卷 4 至11 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I卷 注意事项： 1答 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效。 3本卷共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。 参考公式： 如果事件 A、B 互

2、斥，那么 null棱柱的体积公式 V=Sh. ( ) () ()PA B PA PB= + 其中 S 表示棱柱的底面积 . h 表示棱柱的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位，复数 3 1 i i + = (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i (2)设变量 x，y 满足约束条件 3, 1, 1, xy xy y + 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 (3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 s 的值为 (A)-1 (B)0 (C)1 (D)3 （4）函数 f

3、（x）= 2 x ex+的零点所在的一个区间是 (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） (5)下列命题中，真命题是 (A) mR, fx x mxxR + 2 使函数 （ ）= （ ）是偶函数 (B) mR, fx x mxxR + 2 使函数 （ ）= （ ）是奇函数 (C) mR, fx x mxxR + 2 使函数 （ ）= （ ）都是偶函数 (D) mR, fx x mxxR + 2 使函数 （ ）= （ ）都是奇函数 (6)设 5 54 a log 4 b log c log= = 2 5 ，（ 3） ，则 (A)acb (B) )bca

4、(C) )abc (D) )bac (7)设集合 Ax|x-a|1,xR, |1 5, .ABBx x xR=若，则实数 a 的取值 范围是 (A) a|0 a 6 (B) |2,aa 或a 4 (C) |0, 6aa或a (D) |2 4aa （ 8） 5 yAsin x xR 66 = 右图是函数 （ + ）（ ）在区间 - ， 上的图象， 为了得到 这个函数的图象，只要将 ysinxxR=（）的图象上所有的点 (A)向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来 的 2 倍，纵坐标不变

5、 (C) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来 的 1 2 倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 （ 9）如图，在ABC 中， ADAB ， 3BC = uuur BD uuur ， 1AD = uuur ，则 AC AD uuur uuur = （A） 23 （B） 3 2 （C） 3 3 （D） 3 （10）设函数 2 () 2( )gx x x R= ， () 4, (), () , (). () g xx xgx gx xxgx fx + 的一条渐近线 方程是 3y x= ， 它的一个焦点与抛物线 2

6、 16y x= 的焦点 相同。则双曲线的方程为 。 （ 14）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且 圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程 为 。 （ 15）设 a n 是等比数列，公比 2q = ， S n 为 a n 的前 n 项和。记 *2 1 17 ,. nn n n SS TnN a + =设 0 n T 为数列 n T 的最 大项，则 0 n = 。 （ 16）设函数 f(x)=x- 1 x ,对任意 x 1,+），f(mx)+mf(x)0. （）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2） ）处的切线方程； （）若在区间 1

7、1 , 22 上， f（ x） 0 恒成立，求 a 的取值范围 . （ 21） （本小题满分 14 分） 已知椭圆 22 22 1 xy ab +=（ ab0）的离心率 e= 3 2 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 为 4. （）求椭圆的方程； （）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、 B，已知点 A 的坐标为（ -a， 0） . （ i）若 42 AB 5 |= ，求直线 l 的倾斜角； （ ii）若点 Q y 0 （0， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QA QB=4 uuur uuur null .求 y 0 的值 . （ 22） （本小题满分 14 分） 在数列 n a

8、 中， 1 a =0，且对任意 k * N ， 2k 1 2k 2k+1 a,a,a 成等差数列，其公差为 2k. （）证明 456 a,a,a成等比数列； （）求数列 n a 的通项公式； （）记 22 2 23 23 n n n T aa a =+nullnullnull ，证明 n 3 2n T 2 n 2 （2）. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（文史类）参考答案 一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5分，满分 50 分. （1）A (2)B (3)B (4)C (5)A （6）D (7)C (8)A (9)D (10)D 二. 填空题：本题考查

9、基本知识和基本运算，每小题 4分，满分 24 分. （11） 1 3 (12)3 (13) 22 xy 1 412 = （14） 2 x+1 y 2+ = 2 （） (15)4 (16) （- ，-1） 三. 解答题 （17）本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的 正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分 12 分. （）证明：在ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C = cosB cosC .于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为 BC ，从而B-C=0. 所以B=C. （）解：由 A+B+C= 和（

10、）得 A= -2B,故cos2B=-cos（ -2B）=-cosA= 1 3 . 又 02B ,于是 sin2B= 2 1cos2B = 22 3 . 从而sin4B=2sin2Bcos2B= 42 9 ，cos4B= 22 7 cos 2 sin 2 9 BB = . 所以 42 73 sin(4 ) sin 4 cos cos 4 sin 33318 BB B += + = （18） 本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知 识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分 12 分 （）解：由所给数据可知，一等品零件共有 6 个.设“从

11、10 个零件中，随机抽取一 个为一等品”为事件 A，则 P（A）= 6 10 = 3 5 . （） （i）解：一等品零件的编号为 123456 ,AAAAAA.从这 6 个一等品零件中随 机抽取 2 个， 所有可能的结果有： 12 13 14 ,A AAAAA, 15 16 ,A AAA, 23 ,A A , 24 25 ,A AAA, 26 34 35 ,A AAAAA, 36 45 46 ,A AAAAA, 56 ,A A 共 有15种. (ii)解： “从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等” （记为事件 B）的所有可 能结果有： 14 16 46 ,A AAAAA， 23 25

12、 35 ,A AAAAA，共有 6种. 所以P(B)= 62 15 5 = . (19)本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想 象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故 CED 为异面直线 CE 与 AF 所成 的角. 因为FA 平面ABCD，所以FA CD.故ED CD. 在RtCDE中，CD=1，ED= 22，CE= 22 CD ED+ =3,故cos CED = ED CE = 22 3 . 所以异面直线 CE 和 AF所成角的余弦值为 22 3 . ()证明： 过点B 作BG/

13、CD,交AD 于点G， 则 45BGA CDA= o .由 45BAD= o , 可得BG AB,从而CD AB,又CD FA,FAAB=A,所以CD 平面ABF. ()解：由（）及已知，可得 AG= 2 ，即 G 为AD的中点.取 EF 的中点N，连接 GN， 则GN EF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NM EF，交 BC 于 M，则 GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角。 连接 GM，可得 AD 平面 GNM,故 AD GM.从而 BC GM.由已知，可得 GM= 2 2 .由 NG/FA,FAGM,得NG GM. 在RtNGM中，tan GM 1 NG 4 GN

14、M=, 所以二面角 B-EF-A 的正切值为 1 4 . (20)本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础 知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. （）解：当 a=1 时，f（x）= 32 3 xx1 2 + ，f（2）=3；f(x)= 2 33x x , f(2)=6. 所以曲线 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线方程为 y-3=6（x-2） ，即y=6x-9. （）解：f(x)= 2 333(1)ax x x ax= .令f(x)=0，解得x=0 或x= 1 a . 以下分两种情况讨论： （1） 若 11 0a2 a2 0 等价

15、于 5a1 0,()0, 82 15a () 0, 0. 28 f f + 即 解不等式组得-5a5.因此 0a22，则 11 0 a2 0 等价于 1 f(- ) 2 1 f( )0, a 0, 即 2 5 8 1 1- 0. 2 a a 0, 解不等式组得 2 5 2 a或 2 2 a .因此 2a5. 综合（1）和（2） ，可知a 的取值范围为 0a5. （21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、 直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分. （）解：由 e= 3 2 c

16、 a = ，得 22 34ac= .再由 222 cab= ，解得a=2b. 由题意可知 1 22 4 2 ab=，即ab=2. 解方程组 2, 2, ab ab = = 得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 2 2 1 4 x y+=. ()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 11 (, )x y ，直线 l 的斜率为k.则直线l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2 2 (2), 1. 4 ykx x y = + + = 消去 y 并整理，得 22 2 2 (1 4 ) 16 (16 4) 0kx kx k+=. 由 2 1

17、 2 16 4 2 14 k x k = + ，得 2 1 2 28 14 k x k = + .从而 1 2 4 14 k y k = + . 所以 2 2 22 2 28 4 41 | 2 14 14 14 kk k AB + = + = + . 由 42 | 5 AB = ，得 2 2 41 42 14 5 k k + = + . 整理得 42 32 9 23 0kk=，即 22 ( 1)(32 23) 0kk +=，解得 k= 1 . 所以直线 l的倾斜角为 4 或 3 4 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到M的坐标为 2 22 82 , 14 14 kk kk

18、+ . 以下分两种情况： （1）当 k=0时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB的垂直平分线为 y 轴，于是 ()() 00 2, , 2, .QA y QB y= = uuur uuur 由 4QA QB = uuur uuur ，得 y22= 0 。 （ 2）当 0k 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 2 22 218 14 14 kk yx kk k =+ + 。 令 0 x= ，解得 0 2 6 14 k y k = + 。 由 () 0 2,QA y= uuur ， () 11 0 ,QB x y y= uuur ， () ( ) 2 1010 2222 22 8 64 6

19、2 14 14 14 14 k kk k QA QB x y y y kkk = = + + + uuur uuur () () 42 2 2 416 15 1 4 14 kk k + = + ， 整理得 2 72k = 。故 14 7 k = 。所以 0 214 5 y = 。 综上， 0 22y = 或 0 214 5 y = （ 22）本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础 知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法， 满分 14 分。 （ I） 证明： 由题设可知， 21 22aa=+=， 32 24aa= +

20、=， 43 48aa= +=， 54 412aa=+=， 65 618aa=+=。 从而 65 54 3 2 aa aa =，所以 4 a ， 5 a ， 6 a 成等比数列。 （ II）解：由题设可得 21 21 4, * kk aa kkN + = 所以 ()()( ) 211 2121 2123 31 . kkkkk aaaa aa aa + = + + ()4 4 1 . 4 1kk=+ + ( )21, *kk k N=+ . 由 1 0a = ，得 () 21 21 k akk + = + ，从而 2 221 22 kk aa kk + =. 所以数列 n a 的通项公式为 2 2

21、 1 , 2 , 2 n n n a n n = 为奇数 为偶数 或写为 () 2 11 24 n n n a =+ ， *nN 。 （ III）证明：由（ II）可知 ( ) 21 21 k akk + =+， 2 2 2 k ak= ， 以下分两种情况进行讨论： （ 1） 当 n 为偶数时，设 n=2m ()*mN 若 1m= ，则 2 2 22 n k k k n a = = ， 若 2m ，则 () () () 22 211 2 21 1 1 1 221 1 4441 221 nm m mm kk k k k kk k kk aa a k k = = = = + + + + =+ +

22、+ () () 2 11 44 1 111 2 2121 2 1 mm kk kk kk k k = + =+ + =+ + + () 11 31 22 1 1 2 22 mm n mn =+ + = . 所以 2 2 31 2 2 n k k k n an = =+ ，从而 2 2 3 2 2, 4,6,8,. 2 n k k k nn a = = （ 2） 当 n 为奇数时，设 ( )21 *nmmN=+ 。 () () () 22 222 22 21 21 21 31 4 22 2 1 nm kk kkm mm kk m aaa mmm = + + =+ =+ + () 11 31 42 22 1 2 1 mn mn =+ = + 所以 2 2 31 2 21 n k k k n an = =+ + ，从而 2 2 3 2 2, 3,5,7,. 2 n k k k nn a = = 综合（ 1）和（ 2）可知，对任意 2, *,nnN有 3 22. 2 n nT