2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学试卷（理科）及答案解析.pdf

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数 学（供理科考生使用） 注意事项： 1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上 2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效 3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1a为正实数，i为虚数单位，2= + i ia ，则=a A2 B3 C2 D

2、1 2已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若IN =M I ，则=NM U AM BN CI D 3已知F是抛物线y 2 =x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，=3AF BF+，则线段AB的中 点到y轴的距离为 A 3 4 B1 C 5 4 D 7 4 4ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos 2 A= a2，则= a b A23 B22 C3 D2 5从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（BA）= A 1 8 B 1 4 C 2 5 D 1 2 6执行右面的程

3、序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 A8 B5 C3 D2 7设sin 1 += 43 （），则sin 2 = A 7 9 B 1 9 C 1 9 D 7 9 8如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD， 则下列结论中不正确 的是 AACSB BAB平面SCD CSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 9设函数 = 1,log1 1,2 )( 2 1 xx x xf x ，则满足2)( xf的x的取值范围是 A1，2 B0，2 C1，+ D0，+ 10若a，b，c均为单位向量，且0=ba，0)()( cbca，则| c

4、ba +的最大值为 A12 B1 C2 D2 11函数)(xf的定义域为R，2)1( =f，对任意Rx，2)( xf，则42)( + xxf的解集为 A（1，1） B（1，+） C（，1） D（，+） 12已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= 3， o 30= BSCASC，则棱锥 SABC的体积为 A33 B32 C3 D1 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22题-第24题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13已知点（2，3）在双曲线C：)0,0(1 2 2 2 2 =+ ba b y

5、 a x 上，C的焦距为4，则它的离心率 为 14调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示 年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程： 321.0254.0 += xy由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加 _万元 15一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯 视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 16已知函数)(xf =Atan（ x+）（ 2 |,0 ），y= )(xf 的部分图像如下图，则=) 24 ( f 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或

6、演算步骤 17（本小题满分12分） 已知等差数列a n 满足a 2 =0，a 6 +a 8 =-10 （I）求数列a n 的通项公式； （II）求数列 1 2 n n a 的前n项和 18（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QA=AB= 1 2 P D （I）证明：平面PQC平面DCQ； （II）求二面角QBPC的余弦值 19（本小题满分12分） 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙） 进行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小 块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 （I）假

7、设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学 期望； （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的 每公顷产量（单位：kg/hm 2 ）如下表： 品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该 种植哪一品种？ 附：样本数据 n xxx , 21 的的样本方差 )()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n s n += ，其中 x 为

8、样本平均数 20（本小题满分12分） 如图，已知椭圆C 1 的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C 2 的短轴 为MN，且C 1 ，C 2 的离心率都为e，直线l MN，l与C 1 交于两点，与C 2 交于两点，这四 点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D （I）设 1 2 e=，求BC与AD的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由 21（本小题满分12分） 已知函数xaaxxxf )2(ln)( 2 += （I）讨论)(xf的单调性； （II）设0a，证明：当 a x 1 0 +； （III）若函数)(xfy =的图像与x轴交于A，B两点，线段AB

9、中点的横坐标为x 0 ，证明：f （x 0 ）0 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分做答是 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑 22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED （I）证明：CD/AB； （II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F 四点共圆 23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1 的参数方程为 = = sin cos y x （为参数），曲线C 2 的

10、参 数方程为 = = sin cos by ax （0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐 标系中，射线l：=与C 1 ，C 2 各有一个交点当 =0时，这两个交点间的距离为2，当 = 2 时，这两个交点重合 （I）分别说明C 1 ，C 2 是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当 = 4 时，l与C 1 ，C 2 的交点分别为A 1 ，B 1 ，当 = 4 时，l与C 1 ，C 2 的交点为 A 2 ，B 2 ，求四边形A 1 A 2 B 2 B 1 的面积 24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(xf =|x-2| | x-5| （I）证明：3 )

11、(xf 3； （II）求不等式)(xf x 2 8 x+15的解集 参考答案 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题 15 BACDB 610 CADDB 1112 BC 二、填空题

12、132 140.254 1523 163 三、解答题 17解： （I）设等差数列 n a的公差为d，由已知条件可得 1 1 0, 212 10, ad ad += + = 解得 1 1, 1. a d = = 故数列 n a的通项公式为2. n an= 5分 （II）设数列 1 2 n n n a nS 的前项和为，即 2 11 1 ,1 2 2 n n n aa Sa S = + =L故， 12 . 224 2 nn n Saaa =+L 所以，当1n 时， 121 1 1 1 1 22 22 11 1 2 1( ) 24 22 12 1(1 ) 22 nnn nn nn nn Saaaa

13、a n n =+ + = + + + = L L . 2 n n 所以 1 . 2 n n n S = 综上，数列 11 . 22 n n nn a n nS =的前项和 12分 18解： 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐 标系Dxyz. （I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）. 则(1,1,0), (0,0,1), (1, 1,0).DQ DC PQ= uuur uuur uuur 所以0, 0.PQ DQ PQ DC= = uuur uuur uuur uuur 即PQDQ，PQDC. 故PQ平面DCQ. 又PQ平

14、面PQC，所以平面PQC平面DCQ. 6分 （II）依题意有B（1，0，1），(1,0,0), ( 1,2, 1).CB BP= = uuuruur 设(,)nxyz=是平面PBC的法向量，则 0, 0, 20. 0, nCB x xyz nBP = = += = uuur uuur 即 因此可取(0, 1, 2).n = 设m是平面PBQ的法向量，则 0, 0. mBP mPQ = = uuur uuur 可取 15 (1,1,1). cos , . 5 mmn=所以 故二面角QBPC的余弦值为 15 . 5 12分 19解： （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 4 8 13 44

15、4 8 22 44 4 8 31 44 4 8 4 8 11 (0) , 70 8 (1) , 35 18 (2) , 35 8 (3) , 35 11 (4) . 70 PX C CC PX C CC PX C CC PX C PX C = = = = = = = = = = 即X的分布列为 4分 X的数学期望为 18188 1 ()01234 2. 70 35 35 35 70 EX = + + + + = 6分 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 22 22 2222 1 (403 397 390 404 388 400 412 406) 400, 8 1 (3 (

16、 3) ( 10) 4 ( 12) 0 12 6 ) 57.25. 8 x S =+= = += 甲 甲 8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为： 2222222 22 1 (419 403 412 418 408 423 400 413) 412, 8 1 (7 ( 9) 0 6 ( 4) 11 ( 12) 1 ) 56. 8 x S = + = = + += 乙 乙 10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差 差异不大，故应该选择种植品种乙. 20解：（I）因为C 1 ，C 2 的离心率相同，故依题意可设 22 222 12 22

17、 4 2 :1,: 1,(0) xy byx CC ab ab a a += += 设直线:(|)lx t t a=，分别与C 1 ，C 2 的方程联立，求得 22 22 (, ), (, ). ab A tatBtat ba 4分 当 13 , , 22 AB eba yy=时分别用表示A，B的纵坐标，可知 2 2 2| | 3 |:| . 2| | 4 B A y b BC AD y a = 6分 （II）t=0时的l不符合题意. 0t 时，BO/AN当且仅当BO的斜率k BO 与AN的斜率k AN 相等， 即 22 22 , ba at at ab tta = 解得 22 22 2 1

18、. ab e ta ab e = = 因为 2 2 12 | , 0 1, 1, 1. 2 e ta e e e 又所以解得 所以当 2 0 2 e时，不存在直线l，使得BO/AN； 当 2 1 2 e +则所以在单调增加. （ii）若 1 0, ( ) 0 ,afxx a =则由得 且当 11 (0, ) , ( ) 0, , ( ) 0.xfxxfx aa 时当时 所以 1 () (0, )fx a 在单调增加，在 1 (, ) a +单调减少. 4分 （II）设函数 11 () ( ) ( ),gx f x f x aa =+则 32 22 () ln(1 ) ln(1 ) 2 , 2

19、() 2 . 11 1 g x ax ax ax aa ax gx a ax ax ax =+ =+= + 当 1 0 ,()0, (0)0, ()0 xgxg gx a = 时而所以. 故当 1 0 x a 8分 （III）由（I）可得，当0, ()ayfx=时函数的图像与x轴至多有一个交点， 故0a ，从而()f x的最大值为 11 (), () 0.ff aa 且 不妨设 12 12 1 2 1 (,0),(,0),0 , 0 .A xBx xx x x a = 从而 12 210 ,. 2 xx xxx + = 于是 由（I）知， 0 ()0.fx 12分 22解： （I）因为EC=E

20、D，所以EDC=ECD. 因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDC=EBA. 故ECD=EBA， 所以CD/AB. 5分 （II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故EFD=EGC 从而FED=GEC. 连结AF，BG，则EFAEGB，故FAE=GBE， 又CD/AB，EDC=ECD，所以FAB=GBA. 所以AFG+GBA=180. 故A，B，G，F四点共圆 10分 23解： （I）C 1 是圆，C 2 是椭圆. 当0 =时，射线l与C 1 ，C 2 交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距 离为2，所以a=3. 当 2 =时，射线l与C 1 ，C 2 交点的直

21、角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合， 所以b=1. （II）C 1 ，C 2 的普通方程分别为 2 22 2 11. 9 x xy y+ =+=和 当 4 =时，射线l与C 1 交点A 1 的横坐标为 2 2 x =，与C 2 交点B 1 的横坐标为 310 . 10 x= 当 4 =时，射线l与C 1 ，C 2 的两个交点A 2 ，B 2 分别与A 1 ，B 1 关于x轴对称，因此， 四边形A 1 A 2 B 2 B 1 为梯形. 故四边形A 1 A 2 B 2 B 1 的面积为 (2 2 )( ) 2 . 25 xxxx + = 10分 24解： （I） 3, 2, () | 2| | 5| 2 7, 2 5, 3, 5. x fx x x x x x = 当25,3273.xx 时 所以3()3.fx 5分 （II）由（I）可知， 当 2 2,() 8 15xfxxx+时的解集为空集； 当 2 25,() 815 |535xfxxx x x + 时的解集为； 当 2 5,() 8 15 |5 6xfxxx xx+ 时的解集为. 综上，不等式 2 () 8 15 |5 3 6.fx x x x x+ 的解集为 10分