2006年高考理科数学试卷及答案（北京卷）.pdf

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1、 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷） 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷1至 2 页，第 卷3 至 9 页，共150 分。考试时间 120 分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第 卷（选择题 共40分） 注意事项： 1 答第 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡。 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、 本大题共 8小题，每小题 5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）

2、在复平面内，复数 1 i i + 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 （2）若 a G 与 bc GG 都是非零向量，则“ ab ac = G GGG ”是“ ()abc G GG ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）在 1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有 （A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个 （4）平面 的斜线 AB交 于点 B，过定点 A的动直线 l与 AB垂直，且交 于点 C，则 动点 C的轨迹是 （A）一条直线

3、 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 （5）已知 (3 1) 4 , 1 () log , 1 a axax fx xx + 是 (,)+上的减函数，那么 a的取值范围是 （A） (0,1) （B） 1 (0, ) 3 （C） 11 ,) 73 （D） 1 ,1) 7 （6）在下列四个函数中，满足性质： “对于区间 (1, 2) 上的任意 121 2 ,( )x xx x ， 1221 |() ()| |f xfx xx （B） 132 x xx （C） 231 x xx （D） 321 x xx 绝密启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） （北京卷

4、） 第卷（共 110 分） 注意事项： 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9） 2 2 1 32 lim 1 x xx x + 的值等于_ _. （10）在 7 2 ()x x 的展开式中， 2 x 的系数中_ _（用数字作答）. （11）若三点 (2,2), ( ,0), (0, )( 0)ABaCbab 共线，则 11 ab + 的值等于_ _. （12）在 ABC 中，若 sin:sin:sin 5:7:8ABC= ，则 B 的大小是_ _. （13）已知点

5、(, )Pxy的坐标满足条件 4 1 xy yx x + ，点 O为坐标原点，那么 |PO 的最小值 等于_,最大值等于_. （14） 已知 ,A BC三点在球心为 O， 半径为 R的球面上， AC BC ， 且 ABR= ， 那么 ,A B 两点的球面距离为_ _，球心到平面 ABC 的距离为_. 三、 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15） （本小题共 12 分） 已知函数 12sin(2 ) 4 () cos x fx x = ， （）求 ()f x 的定义域； （）设 是第四象限的角，且 4 tan 3 = ，求 ()f 的值. （

6、16） （本小题共 13 分） 已知函数 32 ()f xaxbxcx=+在点 0 x 处取得极大值 5，其导函 数 ( )yfx= 的图象经过点 (1, 0) ， (2,0)，如图所示.求： （） 0 x 的值； （） ,abc的值. （17） （本小题共 14 分） 如图，在底面为平行四边表的四棱锥 P ABCD 中， ABAC ， PA平面 ABCD，且 PA AB= ，点 E是 PD的中点. （）求证： ACPB ； （）求证： /PB 平面 AEC ； （）求二面角 E AC B的大小. （18） （本小题共 13 分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考

7、试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ,abc， 且三门课程考试是否及格 相互之间没有影响. （）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由） （19） （本小题共 14 分） 已知点 ( 2,0), (2,0)MN ，动点 P满足条件 |22PM PN=.记动点 P的轨 迹为 W . （）求 W 的方程； （）若 ,A B是 W 上的不同两点， O是坐标原点，求 OA OB JJJG JJJG 的最小值. （

8、20） （本小题共 14 分） 在数列 n a 中，若 12 ,aa是正整数，且 12 |,3,45, nn n aa a n = = ，则称 n a 为“绝对差数列”. （）举出一个前五项不为零的“绝对差数列” （只要求写出前十项） ； （）若“绝对差数列” n a 中， 20 21 3, 0aa= = ，数列 n b 满足 12nnn n baa a + =+ + ， 1, 2, 3,n= ，分别判断当 n时， n a 与 n b 的极限是否存在，如果存在，求 出其极限值； （）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 2006 年高考理科数学参考答案（北京卷） 一、选择题（本大

9、题共8 小题，每小题 5分，共40 分） （1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5分，共30 分） （9） 2 1 （10）14 （1） 2 1 （12） 3 （13） 2 10 （14） R 3 1 R 2 3 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） （15） （共 12 分） 解： （）由cosx0 得 )( 2 Zkkx + 故 f(x)的定义域为 + Zkkx , 2 （）因为 3 4 tan =a ，且 a 是第四象限的角。 所以 5 4 sin =a ， 5 3 cos =a 故 a a af co

10、s ) 4 2sin(21 )( = 5 14 )sin(cos2 cos cossin2cos2 cos 2cos2sin1 cos )2cos 2 2 2sin 2 2 (21 2 = = = + = = aa a aaa a aa a aa （16） （共 13 分） 解法一： （）由图象可知，在（，1）上 0)( xf ，在（1，2）上 0)( xf 故 )(xf 在（，1） ， （2，）上递增，在（1，2）上递减。 因此 )(xf 在 x=1处取得极大值，所以 1 0 =x 。 （） cbxaxxf += 23)( 2 由 ,5)1(,0)2(,0)1( = fff 得 =+ =+

11、=+ 5 0412 023 cba cba cba 解得 a=2， b= -9， c=12 解法二： （）同解法一。 （）设 mmxmxxxmxf 23)2)(1()( 2 += 又 cbxaxxf += 23)( 2 所以 ,2, 2 3 , 3 mcmb m a = mxmxx m xf 2 2 3 3 )( 23 += 由 5)1( =f 即 52 2 3 3 =+ mm m 得m=6 所以a=2，b= -9，c=12 （17） （共 14 分） 解法一： （）PA平面 ABCD AB是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又ABAC，AC 平面 ABCD， ACPB （）连接 BD，与

12、AC 相交于 O，连接 EO。 ABCD 是平等四边形， O 是BD 的中点， 又 E 是PD 的中点， EOPB 又PB 平面 AEC，EO 平面AEC， PB平面AEC。 （）取 BC中点 G，连接 OG，则点G 的坐标为 )0, 2 00, 2 , 2 ( b OG ba ，（）， 又 )0,0,(), 2 , 2 ,0(0 aAC bb E = 00,00 = ACGACE OEAC，OGAC EOG 是二面角 E-AC-B的平面角。 2 2 00 00 0,0coscos = = BAkxx 从而所以 综上，当 OBOAxAB ,轴时 取得最小值 2。 解法二： （）同解法一。 （）

13、设 A，B 的坐标分别为 ( ) ( ) 2211 , yxyx ，则 ()()( )2,12 22 =+= iyxyxyx iiiiii 令 iiiiii yxtyxs =+= , 则 ()2,10,0,2 = itsts iiii 且 ，所以 ()()()() 2 2 1 2 1 4 1 4 1 21212121 22112211 2121 =+= += += ttssttss tstststs yyxxOBOA 当且仅当 = = = 21 21 2121 , yy xx ttss 即 时， “=”成立 所以 OBOA 的最小值是 2。 （20） （共 14 分） （） 解： 1,0,1,

14、1,0,1,1,2,1,3 10987654321 = aaaaaaaaaa （答案不惟一） （）解：因为绝对差数列 0,3, 2120 = aaa n 中 ，所以自第 20 项开始，该数列是 ,0,3,3,0,3,3,0,3 2726252423222120 = aaaaaaaa 。 即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值 3，0，3，所以当 n 时， an的极 限不存在。 当 6lim,6,20 21 =+= + n n nnnn baaabn 所以时 （）证明：根据定义，数列 n a 必在有限项后出现零项，证明如下： 假设 n a 中没有零项，由于 21 = nnn aaa ，所

15、以对于任意的 n，都有 1 n a ，从而 当 ( )31, 12121 = naaaaaa nnnnnn 时 ； 当 ( )31, 12121 = naaaaaa nnnnnn 时 即 n a 的值要么比 1n a 至少小 1，那么比 2n a 至少小 1。 令 () ,3,2,1 , , 2122 21212 = = n aaa aaa c nnn nnn n 则 ().,4,3,210 1 = ncc nn 由于 c 1是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c 10 （n=1,2,3,）矛盾，从而 n a 必有零项。 若第一次出现的零项为第 n 项，记 ( )0 1 = AAa n ，则自第 n项开始，每三个相 邻的项周期地取值 0，A，A 即 = = = + + + Aa kAa a kn kn kn 23 13 3 ,3,2,1,0, ,0 所以绝对差数列 n a 中有无穷多个零的项。