2020年天津市高考数学试卷及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2020年天津市高考数学试卷试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx学 校 :_姓 名 ： _班 级 ： _考 号 ： _题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息 $2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上第 I 卷 （ 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题

2、1 设 全 集 3, 2, 1,0,1,2,3U ， 集 合 1,0,1,2, 3,0,2,3A B ， 则 UA B （ ）A 3,3 B 0,2 C 1,1D 3, 2, 1,1,3 【 答 案 】 C 【 解 析 】【 分 析 】首 先 进 行 补 集 运 算 ， 然 后 进 行 交 集 运 算 即 可 求 得 集 合 的 运 算 结 果 .【 详 解 】由 题 意 结 合 补 集 的 定 义 可 知 ： U 2, 1,1B ， 则 U 1,1A B .故 选 ： C.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 补 集 运 算 ， 交 集 运 算 ， 属 于 基 础 题 . 2 设 aR ，

3、则 “ 1a ”是 “ 2a a ”的 （ ）A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【 答 案 】 A 试 卷 第 2页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】首 先 求 解 二 次 不 等 式 ， 然 后 结 合 不 等 式 的 解 集 即 可 确 定 充 分 性 和 必 要 性 是 否 成 立 即 可 .【 详 解 】求 解 二 次 不 等 式 2a a 可 得 ： 1a 或 0a ，据 此 可 知 ： 1a 是 2a a 的 充 分 不 必

4、要 条 件 .故 选 ： A.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 二 次 不 等 式 的 解 法 ， 充 分 性 和 必 要 性 的 判 定 ， 属 于 基 础 题 . 3 函 数 24 1xy x 的 图 象 大 致 为 （ ）A BC D 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】由 题 意 首 先 确 定 函 数 的 奇 偶 性 ， 然 后 考 查 函 数 在 特 殊 点 的 函 数 值 排 除 错 误 选 项 即 可 确 定函 数 的 图 象 .【 详 解 】由 函 数 的 解 析 式 可 得 ： 24 1xf x f xx ， 则 函 数 f x 为 奇 函 数 ， 其 图 象

5、 关于 坐 标 原 点 对 称 ， 选 项 CD错 误 ； 当 1x 时 ， 4 2 01 1y ， 选 项 B错 误 .故 选 ： A.【 点 睛 】 试 卷 第 3页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 函 数 图 象 的 识 辨 可 从 以 下 方 面 入 手 ： (1)从 函 数 的 定 义 域 ， 判 断 图 象 的 左 右 位 置 ； 从 函 数的 值 域 ， 判 断 图 象 的 上 下 位 置 (2)从 函 数 的 单 调 性 ， 判 断 图 象 的 变 化 趋 势 (3)从 函 数的 奇 偶 性 ， 判 断 图 象 的 对 称 性

6、(4)从 函 数 的 特 征 点 ， 排 除 不 合 要 求 的 图 象 利 用 上 述 方法 排 除 、 筛 选 选 项 4 从 一 批 零 件 中 抽 取 80 个 ， 测 量 其 直 径 （ 单 位 ： mm） ， 将 所 得 数 据 分 为 9 组 ： 5.31,5.33 , 5.33,5.35 , , 5.45,5.47 , 5.47,5.49 ， 并 整 理 得 到 如 下 频 率 分 布 直 方图 ， 则 在 被 抽 取 的 零 件 中 ， 直 径 落 在 区 间 5.43,5.47)内 的 个 数 为 （ ） A 10 B 18 C 20 D 36【 答 案 】 B【 解 析

7、】【 分 析 】根 据 直 方 图 确 定 直 径 落 在 区 间 5.43,5.47 之 间 的 零 件 频 率 ， 然 后 结 合 样 本 总 数 计 算 其个 数 即 可 .【 详 解 】根 据 直 方 图 ， 直 径 落 在 区 间 5.43,5.47 之 间 的 零 件 频 率 为 ： 6.25 5.00 0.02 0.225 ，则 区 间 5.43,5.47 内 零 件 的 个 数 为 ： 80 0.225 18 .故 选 ： B.【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 频 率 分 布 直 方 图 的 计 算 与 实 际 应 用 ， 属 于 中 等 题 .5 若 棱 长 为 2 3的

8、 正 方 体 的 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 ， 则 该 球 的 表 面 积 为 （ ）A 12 B 24 C 36 D 144 试 卷 第 4页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】求 出 正 方 体 的 体 对 角 线 的 一 半 ， 即 为 球 的 半 径 ， 利 用 球 的 表 面 积 公 式 ， 即 可 得 解 .【 详 解 】这 个 球 是 正 方 体 的 外 接 球 ， 其 半 径 等 于 正 方 体 的 体 对 角 线 的 一 半 ，即 2 2 22 3 2 3 2 3 32R ，所 以

9、， 这 个 球 的 表 面 积 为 2 24 4 3 36S R . 故 选 ： C.【 点 睛 】本 题 考 查 正 方 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 求 法 ， 求 出 外 接 球 的 半 径 是 本 题 的 解 题 关 键 ， 属 于基 础 题 .求 多 面 体 的 外 接 球 的 面 积 和 体 积 问 题 ， 常 用 方 法 有 ： （ 1） 三 条 棱 两 两 互 相 垂 直时 ， 可 恢 复 为 长 方 体 ， 利 用 长 方 体 的 体 对 角 线 为 外 接 球 的 直 径 ， 求 出 球 的 半 径 ； （ 2） 直棱 柱 的 外 接 球 可 利 用 棱 柱 的

10、上 下 底 面 平 行 ， 借 助 球 的 对 称 性 ， 球 心 为 上 下 底 面 外 接 圆 的圆 心 连 线 的 中 点 ， 再 根 据 勾 股 定 理 求 球 的 半 径 ； （ 3） 如 果 设 计 几 何 体 有 两 个 面 相 交 ， 可过 两 个 面 的 外 心 分 别 作 两 个 面 的 垂 线 ， 垂 线 的 交 点 为 几 何 体 的 球 心 . 6 设 0.80.7 0.713 , , log 0.83a b c ， 则 , ,a b c的 大 小 关 系 为 （ ）A a b c B b a c C b c a D c a b 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分

11、 析 】利 用 指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 性 质 ， 即 可 得 出 , ,a b c的 大 小 关 系 .【 详 解 】因 为 0.73 1a ， 0.8 0.8 0.71 3 33b a ，0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c ，所 以 1c a b .故 选 ： D. 试 卷 第 5页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 点 睛 】本 题 考 查 的 是 有 关 指 数 幂 和 对 数 值 的 比 较 大 小 问 题 ， 在 解 题 的 过 程 中 ， 注 意 应 用 指 数 函数 和 对 数 函 数 的 单

12、调 性 ， 确 定 其 对 应 值 的 范 围 .比 较 指 对 幂 形 式 的 数 的 大 小 关 系 ， 常 用 方 法 ：（ 1） 利 用 指 数 函 数 的 单 调 性 ： xy a ， 当 1a 时 ， 函 数 递 增 ； 当 0 1a 时 ， 函 数 递减 ；（ 2） 利 用 对 数 函 数 的 单 调 性 ： logay x ， 当 1a 时 ， 函 数 递 增 ； 当 0 1a 时 ， 函数 递 减 ；（ 3） 借 助 于 中 间 值 ， 例 如 ： 0或 1等 . 7 设 双 曲 线 C的 方 程 为 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b ， 过 抛 物 线 2

13、 4y x 的 焦 点 和 点 (0, )b 的直 线 为 l 若 C的 一 条 渐 近 线 与 l平 行 ， 另 一 条 渐 近 线 与 l垂 直 ， 则 双 曲 线 C的 方 程 为（ ）A 2 2 14 4x y B 22 14yx C 2 2 14x y D 2 2 1x y 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】 由 抛 物 线 的 焦 点 1,0 可 求 得 直 线 l的 方 程 为 1yx b ， 即 得 直 线 的 斜 率 为 b ， 再 根据 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 为 by xa ， 可 得 bb a ， 1bb a 即 可 求 出 ,a b，得 到

14、 双 曲 线 的 方 程 【 详 解 】由 题 可 知 ， 抛 物 线 的 焦 点 为 1,0 ， 所 以 直 线 l的 方 程 为 1yx b ， 即 直 线 的 斜 率 为 b ，又 双 曲 线 的 渐 近 线 的 方 程 为 by xa ， 所 以 bb a ， 1bb a ， 因 为 0, 0a b ，解 得 1, 1a b 故 选 ： D【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 简 单 几 何 性 质 ， 双 曲 线 的 几 何 性 质 ， 以 及 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系的 应 用 ， 属 于 基 础 题 试 卷 第 6页 ， 总 21页 外 装 订 线

15、请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 8 已 知 函 数 ( ) sin 3f x x 给 出 下 列 结 论 ： ( )f x 的 最 小 正 周 期 为 2 ； 2f 是 ( )f x 的 最 大 值 ； 把 函 数 siny x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 可 得 到 函 数 ( )y f x 的 图象 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是 （ ）A B C D 【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】对 所 给 选 项 结 合 正 弦 型 函 数 的 性 质 逐 一 判 断 即 可 .【 详 解 】因 为 ( ) sin(

16、)3f x x ， 所 以 周 期 2 2T ， 故 正 确 ；5 1( ) sin( ) sin 12 2 3 6 2f ， 故 不 正 确 ；将 函 数 siny x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 3 个 单 位 长 度 ， 得 到 sin( )3y x 的 图 象 ， 故 正 确 .故 选 ： B.【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 正 弦 型 函 数 的 性 质 及 图 象 的 平 移 ， 考 查 学 生 的 数 学 运 算 能 力 ， 逻 辑 分 析 那能 力 ， 是 一 道 容 易 题 .9 已 知 函 数 3, 0,( ) , 0.x xf x x x 若 函 数

17、 2( ) ( ) 2 ( )g x f x kx x k R 恰 有 4 个零 点 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 （ ） A 1, (2 2, )2 B 1, (0,2 2)2 C ( ,0) (0,2 2) D ( ,0) (2 2, ) 【 答 案 】 D【 解 析 】 试 卷 第 7页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 分 析 】由 (0) 0g ， 结 合 已 知 ， 将 问 题 转 化 为 | 2|y kx 与 ( )( ) | |f xh x x 有 3个 不 同 交 点 ，分 0, 0, 0k k k 三 种 情 况 ，

18、 数 形 结 合 讨 论 即 可 得 到 答 案 .【 详 解 】注 意 到 (0) 0g ， 所 以 要 使 ( )g x 恰 有 4个 零 点 ， 只 需 方 程 ( )| 2| | |f xkx x 恰 有 3个 实根即 可 ， 令 ( )h x ( )| |f xx ， 即 | 2|y kx 与 ( )( ) | |f xh x x 的 图 象 有 3个 不 同 交 点 .因 为 2, 0( )( ) 1, 0 x xf xh x x x ，当 0k 时 ， 此 时 2y ， 如 图 1， 2y 与 ( )( ) | |f xh x x 有 1个 不 同 交 点 ， 不 满 足 题 意

19、 ；当 k 0 时 ， 如 图 2， 此 时 | 2|y kx 与 ( )( ) | |f xh x x 恒 有 3个 不 同 交 点 ， 满 足 题 意 ；当 0k 时 ， 如 图 3， 当 2y kx 与 2y x= 相 切 时 ， 联 立 方 程 得 2 2 0 x kx ， 令 0 得 2 8 0k ， 解 得 2 2k （ 负 值 舍 去 ） ， 所 以 2 2k .综 上 ， k 的 取 值 范 围 为 ( ,0) (2 2, ) .故 选 ： D. 试 卷 第 8页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 函

20、数 与 方 程 的 应 用 ， 考 查 数 形 结 合 思 想 ， 转 化 与 化 归 思 想 ， 是 一 道 中 档 题 .第 II 卷 （ 非 选 择 题 ）请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题10 i是 虚 数 单 位 ， 复 数 82 ii _ 【 答 案 】 3 2i【 解 析 】【 分 析 】将 分 子 分 母 同 乘 以 分 母 的 共 轭 复 数 ， 然 后 利 用 运 算 化 简 可 得 结 果 .【 详 解 】 8 28 15 10 3 22 2 2 5i ii i ii i i .故 答 案 为 ： 3 2i .【 点

21、睛 】 本 题 考 查 复 数 的 四 则 运 算 ， 属 于 基 础 题 . 试 卷 第 9页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 11 在 522x x 的 展 开 式 中 ， 2x 的 系 数 是 _【 答 案 】 10【 解 析 】【 分 析 】写 出 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 ， 整 理 后 令 x的 指 数 为 2， 即 可 求 出 【 详 解 】因 为 522x x 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 5 5 3 1 5 522 2 0,1,2,3,4,5rr r r r rrT C x C x rx ， 令 5 3

22、 2r ， 解 得 1r 所 以 2x 的 系 数 为 15 2 10C 故 答 案 为 ： 10【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 的 应 用 ， 属 于 基 础 题 12 已 知 直 线 3 8 0 x y 和 圆 2 2 2( 0)x y r r 相 交 于 ,A B两 点 若 | | 6AB ，则 r 的 值 为 _【 答 案 】 5 【 解 析 】【 分 析 】根 据 圆 的 方 程 得 到 圆 心 坐 标 和 半 径 ， 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ，进 而 利 用 弦 长 公 式

23、 2 2| | 2AB r d ， 即 可 求 得 r 【 详 解 】因 为 圆 心 0,0 到 直 线 3 8 0 x y 的 距 离 8 41 3d ，由 2 2| | 2AB r d 可 得 2 26 2 4r ， 解 得 =5r 故 答 案 为 ： 5【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 圆 的 弦 长 问 题 ， 涉 及 圆 的 标 准 方 程 和 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 属 于 基 础 题 13 已 知 甲 、 乙 两 球 落 入 盒 子 的 概 率 分 别 为 12 和 13 假 定 两 球 是 否 落 入 盒 子 互 不 影 响 ， 试 卷 第 10页 ， 总

24、21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 则 甲 、 乙 两 球 都 落 入 盒 子 的 概 率 为 _； 甲 、 乙 两 球 至 少 有 一 个 落 入 盒 子 的 概 率为 _【 答 案 】 16 23【 解 析 】【 分 析 】根 据 相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 关 系 ， 即 可 求 出 两 球 都 落 入 盒 子 的 概 率 ； 同 理 可 求 两球 都 不 落 入 盒 子 的 概 率 ， 进 而 求 出 至 少 一 球 落 入 盒 子 的 概 率 .【 详 解 】甲 、 乙 两 球 落 入 盒 子 的 概 率 分 别 为 1 1,2 3

25、， 且 两 球 是 否 落 入 盒 子 互 不 影 响 ，所 以 甲 、 乙 都 落 入 盒 子 的 概 率 为 1 1 12 3 6 ，甲 、 乙 两 球 都 不 落 入 盒 子 的 概 率 为 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 ，所 以 甲 、 乙 两 球 至 少 有 一 个 落 入 盒 子 的 概 率 为 23 .故 答 案 为 ： 16； 23 .【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 ， 以 及 利 用 对 立 事 件 求 概 率 ， 属 于 基 础 题 . 14 已 知 0, 0a b ， 且 1ab ， 则 1 1 82 2a b

26、a b 的 最 小 值 为 _【 答 案 】 4【 解 析 】【 分 析 】根 据 已 知 条 件 ， 将 所 求 的 式 子 化 为 82a b a b ， 利 用 基 本 不 等 式 即 可 求 解 .【 详 解 】0, 0, 0a b a b ， 1ab , 1 1 8 82 2 2 2ab aba b a b a b a b 8 82 42 2a b a ba b a b ， 当 且 仅 当 a b =4时 取 等 号 ， 试 卷 第 11页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 结 合 1ab ,解 得 2 3, 2 3a b ， 或 2

27、3, 2 3a b 时 ， 等 号 成 立 .故 答 案 为 ： 4【 点 睛 】本 题 考 查 应 用 基 本 不 等 式 求 最 值 ， “ 1” 的 合 理 变 换 是 解 题 的 关 键 ， 属 于 基 础 题 .15 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD中 ， 60 , 3B AB ， 6BC ， 且3, 2AD BC AD AB ， 则 实 数 的 值 为 _， 若 ,M N 是 线 段 BC 上 的动 点 ， 且 | | 1MN ， 则 DM DN 的 最 小 值 为 _ 【 答 案 】 16 132【 解 析 】【 分 析 】可 得 120BAD ， 利 用 平 面 向 量 数

28、 量 积 的 定 义 求 得 的 值 ， 然 后 以 点 B 为 坐 标 原 点 ，BC 所 在 直 线 为 x轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 点 ,0M x ， 则 点 1,0N x （ 其 中0 5x ） ， 得 出 DM DN 关 于 x的 函 数 表 达 式 ， 利 用 二 次 函 数 的 基 本 性 质 求 得DM DN 的 最 小 值 . 【 详 解 】AD BC ， /AD BC ， 180 120BAD B ，cos120AB AD BC AB BC AB 1 36 3 92 2 ，解 得 16 ，以 点 B 为 坐 标 原 点 ， BC 所 在 直 线 为 x

29、轴 建 立 如 下 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 xBy ， 试 卷 第 12页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 6 6,0BC C ， , 3, 60AB ABC ， A的 坐 标 为 3 3 3,2 2A , 又 16AD BC ,则 5 3 3,2 2D ， 设 ,0M x ， 则 1,0N x （ 其 中 0 5x ） ，5 3 3,2 2DM x ， 3 3 3,2 2DN x ， 2 225 3 3 3 21 134 22 2 2 2 2DM DN x x x x x ，所 以 ， 当 2x 时 ， DM DN 取 得 最 小

30、值 132 .故 答 案 为 ： 16； 132 . 【 点 睛 】本 题 考 查 平 面 向 量 数 量 积 的 计 算 ， 考 查 平 面 向 量 数 量 积 的 定 义 与 坐 标 运 算 ， 考 查 计 算 能力 ， 属 于 中 等 题 .评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题16 在 ABC 中 ， 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c 已 知 2 2, 5, 13a b c （ ） 求 角 C的 大 小 ；（ ） 求 sin A 的 值 ； （ ） 求 sin 2 4A 的 值 【 答 案 】 （ ） 4C = ； （ ） 2 13sin 13A ；

31、（ ） 17 2sin 2 4 26A . 试 卷 第 13页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 解 析 】【 分 析 】（ ） 直 接 利 用 余 弦 定 理 运 算 即 可 ；（ ） 由 （ ） 及 正 弦 定 理 即 可 得 到 答 案 ；（ ） 先 计 算 出 sin ,cos ,A A 进 一 步 求 出 sin2 ,cos2A A， 再 利 用 两 角 和 的 正 弦 公 式 计算 即 可 .【 详 解 】（ ） 在 ABC 中 ， 由 2 2, 5, 13a b c 及 余 弦 定 理 得2 2 2 8 25 13 2cos 2

32、 22 2 2 5a b cC ab ，又 因 为 (0, )C ， 所 以 4C = ；（ ） 在 ABC 中 ， 由 4C = ， 2 2, 13a c 及 正 弦 定 理 ， 可 得22 2sin 2sin 13a CA c 2 1313 ；（ ） 由 a c 知 角 A为 锐 角 ， 由 2 13sin 13A ， 可 得 2cos 1 sinA A 3 1313 ， 进 而 212 5sin2 2sin cos ,cos2 2cos 113 13A A A A A ，所 以 12 2 5 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin4 4 4 13 2 13 2A A A 1

33、7 226 .【 点 晴 】本 题 主 要 考 查 正 、 余 弦 定 理 解 三 角 形 ， 以 及 三 角 恒 等 变 换 在 解 三 角 形 中 的 应 用 ， 考 查 学生 的 数 学 运 算 能 力 ， 是 一 道 容 易 题 .17 如 图 ， 在 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ， 1CC 平 面 , , 2ABC AC BC AC BC ，1 3CC ， 点 ,D E 分 别 在 棱 1AA 和 棱 1CC 上 ， 且 1 2,AD CE M 为 棱 1 1AB 的中 点 试 卷 第 14页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 （

34、） 求 证 ： 1 1C M B D ；（ ） 求 二 面 角 1B B E D 的 正 弦 值 ；（ ） 求 直 线 AB 与 平 面 1DB E 所 成 角 的 正 弦 值 【 答 案 】 （ ） 证 明 见 解 析 ； （ ） 306 ； （ ） 33 .【 解 析 】【 分 析 】以 C为 原 点 ， 分 别 以 1, ,CA CB CC 的 方 向 为 x轴 ， y轴 ， z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .（ ） 计 算 出 向 量 1C M和 1B D的 坐 标 ， 得 出 1 1 0C M B D ， 即 可 证 明 出 1 1C M B D ；（ ）

35、 可 知 平 面 1BB E 的 一 个 法 向 量 为 CA ， 计 算 出 平 面 1B ED 的 一 个 法 向 量 为 n， 利用 空 间 向 量 法 计 算 出 二 面 角 1B B E D 的 余 弦 值 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 可 求解 结 果 ；（ ） 利 用 空 间 向 量 法 可 求 得 直 线 AB 与 平 面 1DB E 所 成 角 的 正 弦 值 .【 详 解 】 依 题 意 ， 以 C为 原 点 ， 分 别 以 CA 、 CB 、 1CC的 方 向 为 x轴 、 y轴 、 z 轴 的 正 方 向 建立 空 间 直 角 坐 标 系 （

36、如 图 ） ， 试 卷 第 15页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 可 得 0,0,0C 、 2,0,0A 、 0,2,0B 、 1 0,0,3C 、 1 2,0,3A 、 1 0,2,3B 、 2,0,1D 、 0,0,2E 、 1,1,3M .（ ） 依 题 意 ， 1 1,1,0C M ， 1 2, 2, 2B D ，从 而 1 1 2 2 0 0C M B D ， 所 以 1 1C M B D ；（ ） 依 题 意 ， 2,0,0CA 是 平 面 1BB E 的 一 个 法 向 量 ， 1 0,2,1EB ， 2,0, 1ED 设 ,

37、,n x y z 为 平 面 1DB E 的 法 向 量 ， 则 1 00n EBn ED ， 即 2 02 0y zx z ，不 妨 设 1x ， 可 得 1, 1,2n 2 6cos , 62 6CCA nAC nA n ，2 30sin , 1 cos , 6CA n CA n 所 以 ， 二 面 角 1B B E D 的 正 弦 值 为 306 ； （ ） 依 题 意 ， 2,2,0AB 由 （ ） 知 1, 1,2n 为 平 面 1DB E 的 一 个 法 向 量 ， 于 是4 3cos , 32 2 6AB nAB n AB n 试 卷 第 16页 ， 总 21页 外 装 订 线

38、请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 所 以 ， 直 线 AB 与 平 面 1DB E 所 成 角 的 正 弦 值 为 33 .【 点 睛 】本 题 考 查 利 用 空 间 向 量 法 证 明 线 线 垂 直 ， 求 二 面 角 和 线 面 角 的 正 弦 值 ， 考 查 推 理 能 力 与计 算 能 力 ， 属 于 中 档 题 .18 已 知 椭 圆 2 22 2 1( 0)x y a ba b 的 一 个 顶 点 为 (0, 3)A ， 右 焦 点 为 F ， 且| | | |OA OF ， 其 中 O为 原 点 （ ） 求 椭 圆 的 方 程 ； （ ） 已 知 点 C满 足 3OC

39、OF ， 点 B 在 椭 圆 上 （ B 异 于 椭 圆 的 顶 点 ） ， 直 线 AB 与 以C为 圆 心 的 圆 相 切 于 点 P ， 且 P 为 线 段 AB 的 中 点 求 直 线 AB 的 方 程 【 答 案 】 （ ） 2 2 118 9x y ； （ ） 1 32y x ， 或 3y x 【 解 析 】【 分 析 】（ ） 根 据 题 意 ， 并 借 助 2 2 2a b c ， 即 可 求 出 椭 圆 的 方 程 ；（ ） 利 用 直 线 与 圆 相 切 ， 得 到 CP AB ， 设 出 直 线 AB 的 方 程 ， 并 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 求 出 B 点 坐

40、 标 ， 进 而 求 出 P 点 坐 标 ， 再 根 据 CP AB ， 求 出 直 线 AB 的 斜 率 ， 从 而 得解 .【 详 解 】（ ） 椭 圆 2 22 2 1 0 x y a ba b 的 一 个 顶 点 为 0, 3A ， 3b ，由 OA OF ， 得 3c b ，又 由 2 2 2a b c ， 得 2 2 2 83 13a ， 所 以 ， 椭 圆 的 方 程 为 2 2 118 9x y ；（ ） 直 线 AB 与 以 C为 圆 心 的 圆 相 切 于 点 P ， 所 以 CP AB ，根 据 题 意 可 知 ， 直 线 AB 和 直 线 CP的 斜 率 均 存 在 ，

41、设 直 线 AB 的 斜 率 为 k ， 则 直 线 AB 的 方 程 为 3y kx+ = ， 即 3y kx ， 试 卷 第 17页 ， 总 21页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 2 2 3118 9y kxx y ， 消 去 y， 可 得 2 22 1 12 0k x kx ， 解 得 0 x 或 2122 1kx k .将 2122 1kx k 代 入 3y kx ， 得 22 212 6 32 1 2 13 ky k kkk ，所 以 ， 点 B 的 坐 标 为 22 212 6 3,2 1 2 1k kk k ，因 为 P 为 线 段 AB 的

42、中 点 ， 点 A的 坐 标 为 0, 3 ，所 以 点 P 的 坐 标 为 2 26 3,2 1 2 1kk k ， 由 3OC OF ， 得 点 C的 坐 标 为 1,0 ，所 以 ， 直 线 CP的 斜 率 为 2 223 0 32 16 2 6 112 1CP k k k kkk ，又 因 为 CP AB ， 所 以 2 3 12 6 1k k k ，整 理 得 22 3 1 0k k ， 解 得 12k 或 1k .所 以 ， 直 线 AB 的 方 程 为 1 32y x 或 3y x . 【 点 睛 】本 题 考 查 了 椭 圆 标 准 方 程 的 求 解 、 直 线 与 椭 圆

43、的 位 置 关 系 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 、 中 点坐 标 公 式 以 及 直 线 垂 直 关 系 的 应 用 ， 考 查 学 生 的 运 算 求 解 能 力 ， 属 于 中 档 题 .当 看 到 题目 中 出 现 直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 的 问 题 时 ， 要 想 到 联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程 .19 已 知 na 为 等 差 数 列 ， nb 为 等 比 数 列 ， 1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b （ ） 求 na 和 nb 的 通 项 公 式 ； （ ） 记 na 的 前 n项 和

44、为 nS ， 求 证 ： 2 *2 1n n nS S S n N ；（ ） 对 任 意 的 正 整 数 n， 设 2113 2 , , .n nn nn nna b na ac a nb 为 奇 数为 偶 数 求 数 列 nc 的 前 2n项 和 试 卷 第 18页 ， 总 21页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 （ ） na n ， 12nnb ； （ ） 证 明 见 解 析 ； （ ） 4 6 5 42 1 9 4 9n nnn .【 解 析 】【 分 析 】( )由 题 意 分 别 求 得 数 列 的 公 差 、 公 比 ， 然 后 利 用 等

45、差 、 等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 到 结 果 ；( )利 用 ( )的 结 论 首 先 求 得 数 列 na 前 n 项 和 ， 然 后 利 用 作 差 法 证 明 即 可 ；( )分 类 讨 论 n 为 奇 数 和 偶 数 时 数 列 的 通 项 公 式 ， 然 后 分 别 利 用 指 数 型 裂 项 求 和 和 错 位相 减 求 和 计 算 2 11n kk c 和 21n kk c 的 值 ， 据 此 进 一 步 计 算 数 列 nc 的 前 2n 项 和 即 可 . 【 详 解 】( )设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d ， 等 比 数 列 nb 的 公 比 为

46、 q.由 1 1a ， 5 4 35a a a ， 可 得 d=1.从 而 na 的 通 项 公 式 为 na n .由 1 5 4 31, 4b b b b ，又 q0， 可 得 2 4 4 0q q ， 解 得 q=2，从 而 nb 的 通 项 公 式 为 12nnb . ( )证 明 ： 由 ( )可 得 ( 1)2n n nS ，故 2 1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n ， 2 22 1 1 1 24nS n n ，从 而 22 1 1( 1)( 2) 02n n nS S S n n ，所 以 22 1n n nS S S .( )当 n 为 奇 数 时 ， 1 1 123 2 (3 2)2 2 2( 2) 2n n nn nn n na b nc a a n n n n ， 当 n 为 偶 数 时