2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）及答案解析.docx

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1、试 卷 第 1页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 绝密启用前2019年全国统一高考数学试卷（文科)（新课标)试卷副标题考 试 范 围 ： xxx； 考 试 时 间 ： 100分 钟 ； 命 题 人 ： xxx题 号 一 二 三 总 分得 分注 意 事 项 ：1 答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名 、 班 级 、 考 号 等 信 息2 请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 第 I 卷 （ 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 I卷 的 文 字 说 明 评 卷 人 得 分 一 、 单 选 题1 已 知 集 合 21,0,1,2

2、 1A B x x， ， 则 A B （ ）A 1,0,1 B 0,1 C 1,1 D 0,1,2【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】先 求 出 集 合 B再 求 出 交 集 . 【 详 解 】2 1,x 1 1x ， 1 1B x x ， 则 1,0,1A B ，故 选 A【 点 睛 】本 题 考 查 了 集 合 交 集 的 求 法 ， 是 基 础 题 .2 若 (1 i) 2iz ， 则 z（ ）A 1 i B 1+i C 1 i D 1+i 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】根 据 复 数 运 算 法 则 求 解 即 可 . 试 卷 第 2页 ， 总 19页 外 装

3、 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 详 解 】 ( )(2i 2i1 i 1 i1 i 1 i 1 i)( )z 故 选 D【 点 睛 】本 题 考 查 复 数 的 商 的 运 算 ， 渗 透 了 数 学 运 算 素 养 采 取 运 算 法 则 法 ， 利 用 方 程 思 想 解 题 3 两 位 男 同 学 和 两 位 女 同 学 随 机 排 成 一 列 ， 则 两 位 女 同 学 相 邻 的 概 率 是 （ ）A 16 B 14 C 13 D 12【 答 案 】 D【 解 析 】 【 分 析 】男 女 生 人 数 相 同 可 利 用 整 体 发 分 析 出 两 位 女 生

4、相 邻 的 概 率 ， 进 而 得 解 .【 详 解 】两 位 男 同 学 和 两 位 女 同 学 排 成 一 列 ， 因 为 男 生 和 女 生 人 数 相 等 ， 两 位 女 生 相 邻 与 不 相 邻的 排 法 种 数 相 同 ， 所 以 两 位 女 生 相 邻 与 不 相 邻 的 概 率 均 是 12 故 选 D【 点 睛 】本 题 考 查 常 见 背 景 中 的 古 典 概 型 ， 渗 透 了 数 学 建 模 和 数 学 运 算 素 养 采 取 等 同 法 ， 利 用等 价 转 化 的 思 想 解 题 4 西 游 记 三 国 演 义 水 浒 传 和 红 楼 梦 是 中 国 古 典 文

5、 学 瑰 宝 ， 并 称 为 中 国 古典 小 说 四 大 名 著 .某 中 学 为 了 解 本 校 学 生 阅 读 四 大 名 著 的 情 况 ， 随 机 调 查 了 100 学 生 ，其 中 阅 读 过 西 游 记 或 红 楼 梦 的 学 生 共 有 90位 ， 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有80位 ， 阅 读 过 西 游 记 且 阅 读 过 红 楼 梦 的 学 生 共 有 60位 ， 则 该 校 阅 读 过 西 游记 的 学 生 人 数 与 该 校 学 生 总 数 比 值 的 估 计 值 为 （ ）A. B. C. D.【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】 根 据

6、题 先 求 出 阅 读 过 西 游 记 的 人 数 ， 进 而 得 解 .【 详 解 】由 题 意 得 ， 阅 读 过 西 游 记 的 学 生 人 数 为 90-80+60=70， 则 其 与 该 校 学 生 人 数 之 比 为70100=0.7 故 选 C【 点 睛 】 试 卷 第 3页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 本 题 考 查 抽 样 数 据 的 统 计 ， 渗 透 了 数 据 处 理 和 数 学 运 算 素 养 采 取 去 重 法 ， 利 用 转 化 与化 归 思 想 解 题 5 函 数 sin sin 在 的 零 点 个 数 为

7、（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】令 ， 得 sin 或 cos ， 再 根 据 x的 取 值 范 围 可 求 得 零 点 .【 详 解 】由 sin sin sin sincos sin cos ， 得 sin 或 cos ， ， 、 或 在 的 零 点 个 数 是 3，故 选 B【 点 睛 】本 题 考 查 在 一 定 范 围 内 的 函 数 的 零 点 个 数 ， 渗 透 了 直 观 想 象 和 数 学 运 算 素 养 采 取 特 殊值 法 ， 利 用 数 形 结 合 和 方 程 思 想 解 题 6 已 知 各 项 均 为 正 数 的 等

8、比 数 列 na 的 前 4 项 和 为 15， 且 5 3 13 4a a a ， 则 3a （ ） A 16 B 8 C 4 D 2【 答 案 】 C【 解 析 】【 分 析 】利 用 方 程 思 想 列 出 关 于 1 ,a q的 方 程 组 ， 求 出 1 ,a q， 再 利 用 通 项 公 式 即 可 求 得 3a 的 值 【 详 解 】设 正 数 的 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 则 2 31 1 1 14 21 1 1 15,3 4a aq aq aqaq aq a ，解 得 1 1,2aq ， 23 1 4a aq ， 故 选 C【 点 睛 】本 题 利 用 方

9、程 思 想 求 解 数 列 的 基 本 量 ， 熟 练 应 用 公 式 是 解 题 的 关 键 。7 已 知 曲 线 e ln 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， 则 （ ） 试 卷 第 4页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 A. B. C. D. 【 答 案 】 D【 解 析 】【 分 析 】通 过 求 导 数 ， 确 定 得 到 切 线 斜 率 的 表 达 式 ， 求 得 ， 将 点 的 坐 标 代 入 直 线 方 程 ， 求 得 【 详 解 】详 解 ： ln ， 将 代 入 得 ， 故 选 D【 点 睛 】本 题 关 键 得 到 含 有 a，

10、 b 的 等 式 ， 利 用 导 数 几 何 意 义 和 点 在 曲 线 上 得 到 方 程 关 系 。8 如 图 ， 点 为 正 方 形 的 中 心 ， 为 正 三 角 形 ， 平 面 平 面 是 线 段 的 中 点 ， 则 （ ） A. ， 且 直 线 是 相 交 直 线B. ， 且 直 线 是 相 交 直 线C. ， 且 直 线 是 异 面 直 线D. ， 且 直 线 是 异 面 直 线【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】利 用 垂 直 关 系 ， 再 结 合 勾 股 定 理 进 而 解 决 问 题 【 详 解 】 如 图 所 示 ， 作 于 ， 连 接 ， 过 作 于 连 ，

11、 平 面 平 面 平 面 ， 平 面 ， 平 面 ， 试 卷 第 5页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 与 均 为 直 角 三 角 形 设 正 方 形 边 长 为 2， 易 知 ， ， 故 选 B 【 点 睛 】本 题 考 查 空 间 想 象 能 力 和 计 算 能 力 ， 解 答 本 题 的 关 键 是 构 造 直 角 三 角 性 。9 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 如 果 输 入 的 为 0.01， 则 输 出 s的 值 等 于 （ ） A 412 2 B 512 2 C 612 2 D 712 2【 答 案 】 C【 解

12、 析 】【 分 析 】根 据 程 序 框 图 ， 结 合 循 环 关 系 进 行 运 算 ， 可 得 结 果 .【 详 解 】输 入 的 为 0.01，1. 0 1, 0.5 0.01?x S x 不 满 足 条 件 ； 试 卷 第 6页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 1 10 1 , 0.01?2 4S x 不 满 足 条 件 ； 61 1 10 1 , 0.0078125 0.01?2 2 128S x 满 足 条 件输 出 6 7 61 1 1 11 2 1 22 2 2 2S ， 故 选 C【 点 睛 】解 答 本 题 关 键 是 利 用 循

13、环 运 算 ， 根 据 计 算 精 确 度 确 定 数 据 分 析 10 已 知 F 是 双 曲 线 2 2: 14 5x yC 的 一 个 焦 点 ， 点 P在 C上 ， O为 坐 标 原 点 ， 若=OP OF ， 则 OPF 的 面 积 为 （ ）A 32 B 52 C 72 D 92【 答 案 】 B【 解 析 】【 分 析 】设 0 0,P x y ， 因 为 =OP OF 再 结 合 双 曲 线 方 程 可 解 出 0y ， 再 利 用 三 角 形 面 积 公 式可 求 出 结 果 .【 详 解 】 设 点 0 0,P x y ， 则 2 20 0 14 5x y 又 4 5 3O

14、P OF ，2 20 0 9x y 由 得 20 259y ，即 0 53y ， 01 1 5 532 2 3 2OPFS OF y ，故 选 B【 点 睛 】本 题 易 错 在 忽 视 圆 锥 曲 线 方 程 和 两 点 间 的 距 离 公 式 的 联 系 导 致 求 解 不 畅 。 试 卷 第 7页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 11 记 不 等 式 组 62 0 x yx y 表 示 的 平 面 区 域 为 D， 命 题 : ( , ) ,2 9p x y D x y ； 命题 : ( , ) ,2 12q x y D x y .给 出

15、 了 四 个 命 题 ： p q ； p q ； p q ； p q ， 这 四 个 命 题 中 ， 所 有 真 命 题 的 编 号 是 （ ）A B C D 【 答 案 】 A【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 意 可 画 出 平 面 区 域 再 结 合 命 题 可 判 断 出 真 命 题 . 【 详 解 】如 图 ， 平 面 区 域 D为 阴 影 部 分 ， 由 2 ,6y xx y 得 2,4xy 即 A（ 2， 4） ， 直 线 2 9x y 与 直 线 2 12x y 均 过 区 域 D，则 p真 q假 ， 有 p 假 q 真 ， 所 以 真 假 故 选 A 【 点 睛 】本 题

16、 将 线 性 规 划 和 不 等 式 ， 命 题 判 断 综 合 到 一 起 ， 解 题 关 键 在 于 充 分 利 用 取 值 验 证 的 方法 进 行 判 断 。12 设 f x 是 定 义 域 为 R的 偶 函 数 ， 且 在 0, 单 调 递 减 ， 则 （ ）A 23 323 1log 2 24f f f 试 卷 第 8页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 B 2 33 23 1log 2 24f f f C 2 33 32 12 2 log 4f f f D 2 33 2 3 12 2 log 4f f f 【 答 案 】 C【 解 析 】【

17、分 析 】 由 已 知 函 数 为 偶 函 数 ， 把 23 323 1log , 2 , 24f f f ， 转 化 为 同 一 个 单 调 区 间 上 ，再 比 较 大 小 【 详 解 】 f x 是 R的 偶 函 数 ， 3 31log log 44f f 2 23 30 3 32 23 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2 ，又 f x 在 (0， +)单 调 递 减 ， 2 33 23log 4 2 2f f f ，23 32 3 12 2 log 4f f f ， 故 选 C【 点 睛 】本 题 主 要 考 查 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调

18、 性 ， 解 题 关 键 在 于 利 用 中 间 量 大 小 比 较 同 一 区 间 的 取值 试 卷 第 9页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 第 II 卷 （ 非 选 择 题 )请 点 击 修 改 第 II卷 的 文 字 说 明评 卷 人 得 分 二 、 填 空 题13 已 知 向 量 (2,2), ( 8,6)a b ， 则 cos ,a b _.【 答 案 】 210【 解 析 】【 分 析 】 根 据 向 量 夹 角 公 式 可 求 出 结 果 .【 详 解 】 2 2 2 22 8 2 6 2cos , 102 2 ( 8) 6ab

19、a b a b 【 点 睛 】本 题 考 查 了 向 量 夹 角 的 运 算 ， 牢 记 平 面 向 量 的 夹 角 公 式 是 破 解 问 题 的 关 键 14 记 nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n项 和 ， 若 3 75, 13a a ， 则 10S _.【 答 案 】 100 【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 意 可 求 出 首 项 和 公 差 ， 进 而 求 得 结 果 .【 详 解 】3 17 1 2 5 ,6 13a a da a d 得 1 1,2ad 10 1 10 9 10 910 10 1 2 100.2 2S a d 【 点 睛 】 本 题 考 点 为 等

20、 差 数 列 的 求 和 ， 为 基 础 题 目 ， 利 用 基 本 量 思 想 解 题 即 可 ， 充 分 记 牢 等 差 数列 的 求 和 公 式 是 解 题 的 关 键 。15 设 1 2F F， 为 椭 圆 2 2: + 136 20 x yC 的 两 个 焦 点 ， M 为 C上 一 点 且 在 第 一 象 限 .若1 2MFF 为 等 腰 三 角 形 ， 则 M 的 坐 标 为 _. 试 卷 第 10页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 答 案 】 3, 15【 解 析 】【 分 析 】根 据 椭 圆 的 定 义 分 别 求 出 1 2MF

21、 MF、 ， 设 出 M 的 坐 标 ， 结 合 三 角 形 面 积 可 求 出 M 的坐 标 .【 详 解 】由 已 知 可 得 2 2 2 2 236, 20, 16, 4a b c a b c ，1 1 2 2 8MF FF c 2 4MF 设 点 M 的 坐 标 为 0 0 0 0, 0, 0 x y x y ， 则 1 2 1 2 0 01 42MFFS FF y y ，又 1 2 2 2 01 4 8 2 4 15, 4 4 152MFFS y ， 解 得 0 15y ， 220 15 136 20 x ， 解 得 0 3x （ 0 3x 舍 去 ） ，M 的 坐 标 为 3, 1

22、5 【 点 睛 】本 题 考 查 椭 圆 标 准 方 程 及 其 简 单 性 质 ， 考 查 数 形 结 合 思 想 、 转 化 与 化 归 的 能 力 ， 很 好 的落 实 了 直 观 想 象 、 逻 辑 推 理 等 数 学 素 养 16 学 生 到 工 厂 劳 动 实 践 ， 利 用 3D打 印 技 术 制 作 模 型 .如 图 ， 该 模 型 为 长 方 体1 1 1 1ABCD ABCD 挖 去 四 棱 锥 O EFGH 后 所 得 的 几 何 体 ， 其 中 O为 长 方 体 的 中 心 ，, , ,E F G H 分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ， 16cm 4cmAB=BC=

23、 , AA = ， 3D打 印 所 用 原 料 密度 为 30.9 /g cm ， 不 考 虑 打 印 损 耗 ， 制 作 该 模 型 所 需 原 料 的 质 量 为 _g. 【 答 案 】 118 8【 解 析 】【 分 析 】根 据 题 意 可 知 模 型 的 体 积 为 四 棱 锥 体 积 与 四 棱 锥 体 积 之 差 进 而 求 得 模 型 的 体 积 ， 再 求 出 试 卷 第 11页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 模 型 的 质 量 .【 详 解 】由 题 意 得 ， 214 6 4 2 3 122EFGHS cm ，四 棱 锥

24、 OEFG 的 高 3cm， 31 12 3 123O EFGHV cm 又 长 方 体 1 1 1 1ABCD ABCD 的 体 积 为 32 4 6 6 144V cm ，所 以 该 模 型 体 积 为 22 1 144 12 132V V V cm ，其 质 量 为 0.9 132 118.8g 【 点 睛 】 本 题 考 查 几 何 体 的 体 积 问 题 ， 理 解 题 中 信 息 联 系 几 何 体 的 体 积 和 质 量 关 系 ， 从 而 利 用 公式 求 解 评 卷 人 得 分 三 、 解 答 题17 为 了 解 甲 、 乙 两 种 离 子 在 小 鼠 体 内 的 残 留 程

25、 度 ， 进 行 如 下 试 验 ： 将 200 只 小 鼠 随 机分 成 ,A B两 组 ， 每 组 100只 ， 其 中 A组 小 鼠 给 服 甲 离 子 溶 液 ， B组 小 鼠 给 服 乙 离 子 溶液 .每 只 小 鼠 给 服 的 溶 液 体 积 相 同 、 摩 尔 浓 度 相 同 .经 过 一 段 时 间 后 用 某 种 科 学 方 法 测 算出 残 留 在 小 鼠 体 内 离 子 的 百 分 比 .根 据 试 验 数 据 分 别 得 到 如 下 直 方 图 ： 记 C为 事 件 ： “ 乙 离 子 残 留 在 体 内 的 百 分 比 不 低 于 5.5” ， 根 据 直 方 图

26、得 到 P C 的 估计 值 为 0.70.（ 1） 求 乙 离 子 残 留 百 分 比 直 方 图 中 ,a b的 值 ；（ 2） 分 别 估 计 甲 、 乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 （ 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值为 代 表 ） .【 答 案 】 (1) 0.35a ， 0.10b ； (2) 4.05， 6.【 解 析 】【 分 析 】 试 卷 第 12页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 (1)由 ( ) 0.70P C 及 频 率 和 为 1可 解 得 a和 b的 值 ； (2)根 据 公 式

27、 求 平 均 数 .【 详 解 】(1)由 题 得 0.20 0.15 0.70a ， 解 得 0.35a ， 由0.05 0.15 1 ( ) 1 0.70b P C ， 解 得 0.10b .(2)由 甲 离 子 的 直 方 图 可 得 ， 甲 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为0.15 2 0.20 3 0.30 4 0.20 5 0.10 6 0.05 7 4.05 ，乙 离 子 残 留 百 分 比 的 平 均 值 为0.05 3 0.10 4 0.15 5 0.35 6 0.20 7 0.15 8 6 【 点 睛 】 本 题 考 查 频 率 分 布 直 方 图 和 平 均

28、 数 ， 属 于 基 础 题 .18 ABC 的 内 角 , ,A B C的 对 边 分 别 为 , ,a b c， 已 知 sin sin2A Ca b A （ 1） 求 B；（ 2） 若 ABC 为 锐 角 三 角 形 ， 且 1c ， 求 ABC 面 积 的 取 值 范 围 【 答 案 】 (1) 3B ;(2) 3 3( , )8 2 .【 解 析 】【 分 析 】 (1)利 用 正 弦 定 理 化 简 题 中 等 式 ， 得 到 关 于 B的 三 角 方 程 ， 最 后 根 据 A,B,C均 为 三 角 形内 角 解 得 3B .(2)根 据 三 角 形 面 积 公 式 1 sin2

29、ABCS ac B ， 又 根 据 正 弦 定 理 和 1c得 到 ABCS 关 于 C的 函 数 ， 由 于 VABC是 锐 角 三 角 形 ， 所 以 利 用 三 个 内 角 都 小 于 2 来计 算 C的 定 义 域 ， 最 后 求 解 ( )ABCS C 的 值 域 .【 详 解 】(1)根 据 题 意 sin sin2A Ca b A ， 由 正 弦 定 理 得 sin sin sin sin2A CA B A ， 因 为0 A ， 故 sin 0A ， 消 去 sinA得 sin sin2A C B 。0 B ， 0 2A C 因 为 故 2A C B 或 者 2A C B ， 而

30、 根 据 题 意A B C ， 故 2A C B 不 成 立 ， 所 以 2A C B ， 又 因 为 A B C ， 代入 得 3B， 所 以 3B .(2)因 为 VABC是 锐 角 三 角 形 ， 由 （ 1） 知 3B ， A B C 得 到 23A C ， 试 卷 第 13页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 故 0 220 3 2C C ， 解 得 6 2C .又 应 用 正 弦 定 理 sin sina cA C ， 1c ，由 三 角 形 面 积 公 式 有 ： 2 2 2sin( )1 1 1 sin 3 3sin sin si

31、n2 2 2 sin 4 sinABC Ca AS ac B c B c Bc C C 2 2sin cos cos sin3 3 2 1 2 3 1 33 3 (sin cos )4 sin 4 3 tan 3 8tan 8C CC C C . 又 因 3,tan6 2 3C C ,故 3 3 1 3 38 8 tan 8 2C ，故 3 38 2ABCS .故 ABCS 的 取 值 范 围 是 3 3( , )8 2【 点 睛 】这 道 题 考 查 了 三 角 函 数 的 基 础 知 识 ， 和 正 弦 定 理 或 者 余 弦 定 理 的 使 用 （ 此 题 也 可 以 用 余弦 定 理

32、求 解 ） ， 最 后 考 查 VABC是 锐 角 三 角 形 这 个 条 件 的 利 用 。 考 查 的 很 全 面 ， 是 一 道 很 好 的 考 题 .19 图 1 是 由 矩 形 ,ADEB Rt ABC 和 菱 形 BFGC组 成 的 一 个 平 面 图 形 ， 其 中1, 2AB BE BF ， 60FBC ， 将 其 沿 ,AB BC折 起 使 得 BE与 BF 重 合 ， 连结 DG， 如 图 2.（ 1） 证 明 图 2 中 的 , , ,AC G D四 点 共 面 ， 且 平 面 ABC平 面 BCGE；（ 2） 求 图 2 中 的 四 边 形 ACGD的 面 积 . 【

33、答 案 】 (1)见 详 解 ； (2)4.【 解 析 】 试 卷 第 14页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 【 分 析 】(1)因 为 折 纸 和 粘 合 不 改 变 矩 形 ABED， Rt ABC 和 菱 形 BFGC内 部 的 夹 角 ， 所 以/AD BE， /BF CG依 然 成 立 ， 又 因 E和 F 粘 在 一 起 ， 所 以 得 证 .因 为 AB是 平 面BCGE垂 线 ， 所 以 易 证 .(2) 欲 求 四 边 形 ACGD的 面 积 ， 需 求 出 CG所 对 应 的 高 ， 然 后乘 以 CG即 可 。【 详 解 】(1)

34、证 ： /AD BE， /BF CG， 又 因 为 E和 F 粘 在 一 起 . /AD CG， A， C， G， D四 点 共 面 .又 ,AB BE AB BC .AB 平 面 BCGE， AB 平 面 ABC， 平 面 ABC平 面 BCGE， 得 证 .(2)取 CG的 中 点 M ， 连 结 ,EM DM .因 为 /AB DE， AB平 面 BCGE， 所 以 DE平面 BCGE， 故 DE CG ，由 已 知 ， 四 边 形 BCGE 是 菱 形 ， 且 60EBC 得 EM CG ， 故 CG平 面 DEM。因 此 DM CG 。在 Rt DEM 中 ， DE=1， 3EM ，

35、 故 2DM 。所 以 四 边 形 ACGD的 面 积 为 4. 【 点 睛 】很 新 颖 的 立 体 几 何 考 题 。 首 先 是 多 面 体 粘 合 问 题 ， 考 查 考 生 在 粘 合 过 程 中 哪 些 量 是 不 变的 。 再 者 粘 合 后 的 多 面 体 不 是 直 棱 柱 ， 最 后 将 求 四 边 形 ACGD的 面 积 考 查 考 生 的 空 间想 象 能 力 .20 已 知 函 数 3 2( ) 2 2f x x ax .（ 1） 讨 论 ( )f x 的 单 调 性 ；（ 2） 当 0 3a 时 ， 记 ( )f x 在 区 间 0,1 的 最 大 值 为 M ，

36、最 小 值 为 m， 求 M m 的 取值 范 围 . 【 答 案 】 (1)见 详 解 ； (2) 8 ,2)27 .【 解 析 】 试 卷 第 15页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 【 分 析 】(1)先 求 ( )f x 的 导 数 ， 再 根 据 a的 范 围 分 情 况 讨 论 函 数 单 调 性 ； (2) 讨 论 a的 范 围 ， 利 用函 数 单 调 性 进 行 最 大 值 和 最 小 值 的 判 断 ， 最 终 求 得 M m 的 取 值 范 围 .【 详 解 】(1)对 3 2( ) 2 2f x x ax 求 导 得 2

37、( ) 6 2 6 ( )3af x x ax x x .所 以 有当 0a 时 ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递 增 ， ( ,0)3a 区 间 上 单 调 递 减 ， (0, ) 区 间 上 单 调 递增 ；当 0a 时 ， ( , ) 区 间 上 单 调 递 增 ； 当 0a 时 ， ( ,0) 区 间 上 单 调 递 增 ， (0, )3a 区 间 上 单 调 递 减 ， ( , )3a 区 间 上 单 调 递增 .(2)若 0 2a ， ( )f x 在 区 间 (0, )3a 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( ,1)3a 单 调 递 增 ， 所 以 区 间 0,1上最

38、小 值 为 ( )3af .而 (0) 2, (1) 2 2 (0)f f a f ， 故 所 以 区 间 0,1上 最 大 值 为(1)f .所 以 33 2(1) ( ) (4 ) 2( ) ( ) 2 23 3 3 27a a a aM m f f a a a ， 设 函 数 3( ) 227xg x x ， 求 导 2( ) 19xg x 当 0 2x 时 ( ) 0g x 从 而 ( )g x 单 调 递 减 .而 0 2a ， 所 以 38 2 227 27a a .即 M m 的 取 值 范 围 是 8 ,2)27 .若 2 3a ， ( )f x 在 区 间 (0, )3a 单

39、 调 递 减 ， 在 区 间 ( ,1)3a 单 调 递 增 ， 所 以 区 间 0,1上最 小 值 为 ( )3af 而 (0) 2, (1) 2 2 (0)f f a f ， 故 所 以 区 间 0,1上 最 大 值 为(0)f . 所 以 33 2(0) ( ) 2 2( ) ( ) 23 3 3 27a a a aM m f f a ， 而 2 3a ， 所 以38 127 27a .即 M m 的 取 值 范 围 是 8( ,1)27 .综 上 得 M m 的 取 值 范 围 是 8 ,2)27 . 试 卷 第 16页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装

40、订 线 【 点 睛 】(1)这 是 一 道 常 规 的 函 数 导 数 不 等 式 和 综 合 题 ， 题 目 难 度 比 往 年 降 低 了 不 少 .考 查 的 函 数单 调 性 ， 最 大 值 最 小 值 这 种 基 本 概 念 的 计 算 .思 考 量 不 大 ， 由 计 算 量 补 充 .21 已 知 曲 线 2: ,2xC y D ， 为 直 线 12y 上 的 动 点 ， 过 D作 C的 两 条 切 线 ， 切 点 分别 为 ,A B.（ 1） 证 明 ： 直 线 AB过 定 点 ：（ 2） 若 以 50,2E 为 圆 心 的 圆 与 直 线 AB相 切 ， 且 切 点 为 线

41、段 AB的 中 点 ， 求 该 圆 的方 程 . 【 答 案 】 (1)见 详 解 ； (2) 2 25( ) 42x y 或 2 25( ) 22x y .【 解 析 】【 分 析 】（ 1） 可 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1( , )2Dt 然 后 求 出 A， B两 点 处 的 切 线 方 程 ， 比 如 AD：1 1 11 ( )2y x x t ， 又 因 为 BD也 有 类 似 的 形 式 ， 从 而 求 出 带 参 数 直 线 AB方 程 ， 最 后求 出 它 所 过 的 定 点 . （ 2） 由 (1)得 带 参 数 的 直 线 AB方

42、 程 和 抛 物 线 方 程 联 立 ， 再 通 过 M 为 线 段 AB的 中 点 ，EM AB 得 出 t的 值 ， 从 而 求 出 M 坐 标 和 EM的 值 ， 最 后 求 出 圆 的 方 程 .【 详 解 】(1)证 明 ： 设 1( , )2Dt , 1 1( , )A x y ,则 21 112y x 。 又 因 为 212y x ， 所 以 y x .则 切 线DA的 斜 率 为 1x ， 故 1 1 11 ( )2y x x t ， 整 理 得 1 12 2 1 0tx y .设 2 2( , )B x y ， 同 理得 1 12 2 1 0tx y . 1 1( , )A

43、x y , 2 2( , )B x y 都 满 足 直 线 方 程 2 2 1 0tx y .于 是 直 线2 2 1 0tx y 过 点 ,A B， 而 两 个 不 同 的 点 确 定 一 条 直 线 ， 所 以 直 线 AB方 程 为2 2 1 0tx y .即 2 ( 2 1) 0tx y ， 当 2 0, 2 1 0 x y 时 等 式 恒 成 立 。 所 以 直线 AB恒 过 定 点 1(0, )2 . 试 卷 第 17页 ， 总 19页外 装 订 线 学校:_姓名：_班级 ：_考号：_ 内 装 订 线 (2)由 (1)得 直 线 AB方 程 为 2 2 1 0tx y ， 和 抛

44、物 线 方 程 联 立 得 ：22 2 1 012tx yy x 化 简 得 2 2 1 0 x tx .于 是1 2 2x x t , 21 2 1 2( ) 1 2 1y y t x x t 设 M 为 线 段 AB的 中 点 ， 则 2 1( , )2M t t 由 于 EM AB ， 而 2( , 2)EM t t ,AB与 向 量 (1, )t 平 行 ， 所 以 2( 2) 0t t t ，解 得 0t 或 1t .当 0t 时 ， (0, 2)EM ， 2EM 所 求 圆 的 方 程 为 2 25( ) 42x y ; 当 1t 时 ， (1, 1)EM 或 ( 1, 1)EM

45、， 2EM 所 求 圆 的 方 程 为2 25( ) 22x y .所 以 圆 的 方 程 为 2 25( ) 42x y 或 2 25( ) 22x y .【 点 睛 】此 题 第 一 问 是 圆 锥 曲 线 中 的 定 点 问 题 和 第 二 问 是 求 面 积 类 型 ， 属 于 常 规 题 型 ， 按 部 就 班的 求 解 就 可 以 .思 路 较 为 清 晰 ， 但 计 算 量 不 小 . 22 如 图 ， 在 极 坐 标 系 Ox中 ， (2,0)A ， ( 2, )4B ， ( 2, )4C ， (2, )D ， 弧 AB，BC， CD所 在 圆 的 圆 心 分 别 是 (1,0

46、)， (1, )2 ， (1, ) ， 曲 线 1M 是 弧 AB， 曲 线 2M 是弧 BC， 曲 线 3M 是 弧 CD.（ 1） 分 别 写 出 1M ， 2M ， 3M 的 极 坐 标 方 程 ； （ 2） 曲 线 M 由 1M ， 2M ， 3M 构 成 ， 若 点 P在 M 上 ， 且 | | 3OP ， 求 P的 极 坐 标 .【 答 案 】 (1)2cos ( 0, )4 , 32sin ( , )4 4 , 32cos ( , )4 , 试 卷 第 18页 ， 总 19页 外 装 订 线 请不要在装订 线内答题 内 装 订 线 (2) ( 3, )6 ,( 3, )3 , 2( 3, )3 , 5( 3, )6 .【 解 析 】【 分 析 】(1)将 三 个 过 原 点 的 圆 方 程 列 出 ， 注 意