2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析.docx

《2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析.docx（12页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、2018年 北 京 市 石 景 山 区 高 考 一 模 试 卷 数 学 文一 、 选 择 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40分 .在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目 要求 的 一 项 .1.设 集 合 A=x|(x+1)(x-2) 0， 集 合 B=x|1 x 3， 则 A B=( )A.x|-1 x 3B.x|-1 x 1C.x|1 x 2D.x|2 x 3解 析 ： A=x|-1 x 2， A B=x|1 x 2. 答 案 ： C2.下 列 函 数 中 既 是 奇 函 数 ， 又 在 区 间 (0， + )上 是 单 调 递 减

2、 的 函 数 为 ( )A. y xB.y=-x3C. 12logy xD. 1y x x 解 析 ： 对 于 A， y= x (x 0)是 非 奇 非 偶 的 函 数 ， 不 满 足 条 件 ；对 于 B， y=-x 3， 是 定 义 域 R 上 的 奇 函 数 ， 且 在 区 间 (0， + )上 是 单 调 减 函 数 ， 满 足 条 件 ；对 于 C， 12logy x ， 定 义 域 是 (0， + )， 是 非 奇 非 偶 的 函 数 ， 不 满 足 条 件 ；对 于 D， 1y x x ， 是 定 义 域 (- ， 0) (0， + )上 的 奇 函 数 ， 但 在 区 间 (0

3、， + )上 不 是单 调 减 函 数 ， 也 不 满 足 题 意 .答 案 ： B3.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 的 结 果 是 ( ) A.3B.11C.38D.123解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得 a=1，满 足 条 件 a 10， 执 行 循 环 体 ， a=3，满 足 条 件 a 10， 执 行 循 环 体 ， a=11，不 满 足 条 件 a 10， 退 出 循 环 ， 输 出 a的 值 为 11.答 案 ： B4.设 x， y 满 足 约 束 条 件 22 3 90 x yx yx ， ， 则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 是

4、 ( ) A.x 1B.y 1C.x-y+2 0D.x-3y-6 0解 析 ： 作 出 x， y 满 足 约 束 条 件 22 3 90 x yx yx ， ， 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： 则 A(0， 2)，易 知 x 1， y 1 不 成 立 ，直 线 z=x-y+2经 过 A时 取 得 最 小 值 为 0， 直 线 z=x-3y-6经 过 A时 取 得 最 小 值 为 ： -12，由 图 象 可 知 x-3y-6 0 不 成 立 ， 恒 成 立 的 是 x-y+2 0.答 案 ： C5.已 知 平 面 向 量 ab ， 满 足 3 2a b ， ， a 与 b 的 夹 角 为

5、 120 ， 若 a mb a ， 则 实 数m的 值 为 ( )A.1B. 32C.2 D.3解 析 ： 3 2a b ， ， a 与 b 的 夹 角 为 120 ， 1cos120 3 2 32a b a b 2 23 3 0a mb a a mb a a ma b m ， ， 解 得 m=3.答 案 ： D6.“ a b 1” 是 “ log a3 logb3” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 loga3 logb3 得 3 31 1log loga b ， 若 a b 1，

6、 则 log3a log3b 0， 则 3 31 1log loga b 成 立 ， 即 充 分 性 成 立 ，若 log3a 0， log3b 0 时 ， 满 足 条 件 ， 但 此 时 0 a 1， b 1， 则 a b 1不 成 立 ，即 “ a b 1” 是 “ loga3 logb3” 的 充 分 不 必 要 条 件 .答 案 ： A7.若 某 多 面 体 的 三 视 图 (单 位 ： cm)如 图 所 示 ， 则 此 多 面 体 的 体 积 是 ( ) A. 78 cm3B. 23 cm3C. 56 cm3D. 12 cm3解 析 ： 由 三 视 图 知 几 何 体 是 一 个 正

7、 方 体 减 去 一 个 三 棱 柱 ，正 方 体 的 棱 长 是 1， 正 方 体 的 体 积 是 1 1 1=1，三 棱 柱 的 底 面 是 腰 长 是 12 的 直 角 三 角 形 ， 高 是 1， 三 棱 柱 的 体 积 是 1 1 1 112 2 2 8 ， 几 何 体 的 体 积 是 1 71 .8 8 答 案 ： A8.如 图 ， 已 知 线 段 AB 上 有 一 动 点 D(D 异 于 A、 B)， 线 段 CD AB， 且 满 足 CD2= AD BD( 是大 于 0且 不 等 于 1 的 常 数 )， 则 点 C 的 运 动 轨 迹 为 ( ) A.圆 的 一 部 分B.椭

8、 圆 的 一 部 分C.双 曲 线 的 一 部 分D.抛 物 线 的 一 部 分解 析 ： 以 AB所 在 直 线 为 x 轴 ， 以 AB 的 垂 直 平 分 线 为 y 轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 设 AB 中 点 为 O， 设 C(x， y)， AB=2a， 则 D(x， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)， 线 段 CD AB， 且 满 足 CD2= AD BD( 是 大 于 0 且 不 等 于 1的 常 数 )， y2= (x+a)(x-a)= x2- a2， x2+y2= a2. 点 C 的 运 动 轨 迹 为 椭 圆 的 一 部 分 .答 案 ： B二

9、 、 填 空 题 共 6小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 30 分 .9.复 数 31i i .解 析 ： 3 1 1 1 1 .1 1 1 1 2 2 2i ii i i ii i i i 答 案 ： 1 12 2i 10.双 曲 线 2 2 12x y 的 焦 距 是 ， 渐 近 线 方 程 是 .解 析 ： 双 曲 线 2 2 12x y 中 ， 2 1 3a b c ， ， ， 焦 距 是 2 2 3c ， 渐 近 线 方 程 是22y x 答 案 ： 2 3 ； 22y x 11.若 圆 C 的 半 径 为 1， 其 圆 心 与 点 (1， 0)关 于 直 线 y=x对 称 ，

10、 则 圆 C 的 标 准 方 程 为 .解 析 ： 圆 心 与 点 (1， 0)关 于 直 线 y=x对 称 ， 可 得 圆 心 为 (0， 1)， 再 根 据 半 径 等 于 1，可 得 所 求 的 圆 的 方 程 为 x2+(y-1)2=1，答 案 ： x2+(y-1)2=1.12.在 ABC中 ， A=60 ， AC=4， BC=2 3 ， 则 ABC的 面 积 等 于 .解 析 ： ABC中 ， A=60 ， AC=4， BC=2 3 ，由 正 弦 定 理 得 ： 2 3 4sin sin sin 60 sinBC ACA B B ， ， 解 得 sinB=1， B=90 ， C=30

11、 ， ABC的 面 积 = 1 2 3 4 sin30 2 32 答 案 ： 2 3 .13.在 等 差 数 列 an中 a3=0， 如 果 ak是 a6与 ak+6的 等 比 中 项 ， 那 么 .解 析 ： 在 等 差 数 列 an中 ， 由 a3=0，得 a k=a3+(k-3)d=(k-3)d， a6=a3+3d=3d， ak+6=a3+(k+3)d=(k+3)d， ak是 a6与 ak+6的 等 比 中 项 ， ak2=a6 ak+6， 即 (k-3)2d2=3d (k+3)d， d 0， k2=9k， 得 k=9.答 案 ： 914.已 知 函 数 f(x)= 2 24x x x

12、mx x m ， ， 当 m=0时 ， 函 数 f(x)的 零 点 个 数 为 ； 如 果 函 数 f(x)恰 有 两 个 零 点 ， 那 么 实 数 m的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 令 -x 2-2x=0可 得 x=-2或 x=0，令 x-4=0 得 x=4. 当 m=0时 ， f(x)有 3个 零 点 . 若 m -2， 则 f(x)在 (- ， m上 无 零 点 ， 在 (m， + )上 有 1个 零 点 x=4， 不 符 合 题 意 ；若 -2 m 0， 则 f(x)在 (- ， m上 有 1 个 零 点 x=-2， 在 (m， + )上 有 1 个 零 点 x=4， 符 合题

13、 意 ；若 0 m 4， 则 f(x)在 (- ， m上 有 2 个 零 点 x=-2， x=0， 在 (m， + )上 有 1 个 零 点 x=4，不 符 合 题 意 ；若 m 4， 则 f(x)在 (- ， m上 有 2 个 零 点 x=-2， x=0， 在 (m， + )上 无 零 点 ， 符 合 题 意 ； -2 m 0或 m 4.答 案 ： 3， -2， 0) 4， + ).三 、 解 答 题 共 6小 题 ， 共 80 分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或 证 明 过 程 . 15.已 知 函 数 22cos 2 3sin cos 1f x x x x

14、( )求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 ；( )求 函 数 f(x)在 区 间 2 ， 上 的 最 小 值 和 最 大 值 .解 析 ： ( )利 用 二 倍 角 公 式 以 及 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 化 简 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 ；( )通 过 角 的 范 围 求 解 相 位 的 范 围 ， 利 用 正 弦 函 数 的 单 调 性 求 解 函 数 的 最 值 即 可 .答 案 ： ( ) 22cos 2 3sin cos 1f x x x x 1 3cos2 3sin 2 2 cos2 sin 2 2sin

15、 22 2 6x x x x x ，所 以 周 期 为 T= 22 = . ( )因 为 2 x ， 所 以 7 1326 6 6x 所 以 当 132 6 6x 时 ， 即 x= 时 ， f(x)max=1.当 32 6 2x 时 ， 即 x= 23 时 ， f(x)min=-2.16.等 差 数 列 a n中 ， a2=4， 其 前 n项 和 Sn满 足 Sn=n2+ n( R).( )求 实 数 的 值 ， 并 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；( )若 数 列 1nS +bn是 首 项 为 、 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 求 数 列 bn的 前 n 项 的 和 Tn.解

16、 析 ： (I)利 用 a2=S2-S1=4+2 -1- =4， 求 出 =1， 再 利 用 数 列 中 an与 Sn关 系 an=Sn， n=1，Sn-Sn-1， n 2， 求 通 项 公 式 .(II)求 出 数 列 1S n+bn的 通 项 公 式 ， 再 得 出 数 列 bn的 通 项 公 式 ， 最 后 根 据 通 项 公 式 形 式 选择 相 应 方 法 求 和 .答 案 ： (I)因 为 a2=S2-S1=4+2 -1- =4， 解 得 =1， Sn=n2+n，当 n 2 时 ， 则 an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，当 n=1时 ， 也 满 足 ，

17、 所 以 an=2n.(II)由 已 知 数 列 1nS +bn是 首 项 为 1、 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ，其 通 项 公 式 为 1111 1 2nnn b bS S ， 且 首 项 111 1bS ，故 1 1 1 11 111 1 1 1 1 12 2 2 22 1 1n n n nn nnb b b bS S n n n n ， ， ， 1 1( ) 1 1 1 1 11 2 2 1 2 12 2 3 1 1n nn nT n n n 17.抢 “ 微 信 红 包 ” 已 经 成 为 中 国 百 姓 欢 度 春 节 时 非 常 喜 爱 的 一 项 活 动 .小 明 收

18、集 班 内 20 名同 学 今 年 春 节 期 间 抢 到 红 包 金 额 x(元 )如 下 (四 舍 五 入 取 整 数 )：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对 这 20个 数 据 进 行 分 组 ， 各 组 的 频 数 如 下 ： ( )写 出 m， n 的 值 ， 并 回 答 这 20名 同 学 抢 到 的 红 包 金 额 的 中 位 数 落 在 哪 个 组 别 ；( )记 C组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为 v1、 s12， E组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方

19、 差 分 别 为 v2、s22， 试 分 别 比 较 v1与 v2、 s12与 s22的 大 小 ； (只 需 写 出 结 论 )( )从 A， E 两 组 所 有 数 据 中 任 取 2 个 ， 求 这 2 个 数 据 差 的 绝 对 值 大 于 100 的 概 率 .解 析 ： ( )由 题 意 求 出 m=4， n=2， 从 而 能 求 出 这 20名 同 学 抢 到 的 红 包 金 额 的 中 位 数 落 在 B组 .( )记 C组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为 v1、 s12， E组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为 v2、s 22，

20、由 此 能 比 较 v1与 v2、 s12与 s22的 大 小 .( )A组 两 个 数 据 为 22， 22， E 组 两 个 数 据 为 162， 192， 任 取 两 个 数 据 ， 利 用 列 举 法 能 求 出这 2 个 数 据 差 的 绝 对 值 大 于 100的 概 率 .答 案 ： ( )由 题 意 求 出 m=4， n=2， 这 20名 同 学 抢 到 的 红 包 金 额 的 中 位 数 落 在 B组 .( )记 C组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为 v1、 s12， E组 红 包 金 额 的 平 均 数 与 方 差 分 别 为 v2、s22， 则 v

21、1 v2， s12 s22.( )A组 两 个 数 据 为 22， 22， E 组 两 个 数 据 为 162， 192任 取 两 个 数 据 ， 可 能 的 组 合 有 6种 结 果 ， 分 别 为 ： (22， 22)， (22， 162)， (22， 192)， (22，162)， (22， 192)， (162， 192)，记 数 据 差 的 绝 对 值 大 于 100为 事 件 A， 事 件 A 包 括 4种 结 果 ， 这 2个 数 据 差 的 绝 对 值 大 于 100的 概 率 P(A)= 4 26 3 18.如 图 ， 在 三 棱 锥 D-ABC 中 ， 已 知 BCD 是

22、正 三 角 形 ， AB 平 面 BCD， AB=BC=a， E 为 BC点 ，F棱 AC上 ， 且 AF=3FC. (1)求 三 棱 锥 D-ABC 的 体 积 ；(2)求 证 ： AC 平 面 DEF；(3)若 M 为 DB 中 点 ， N 在 棱 AC上 ， 且 CN= 38 CA， 求 证 ： MN 平 面 DEF.解 析 ： (1)直 接 利 用 体 积 公 式 ， 求 三 棱 锥 D-ABC 的 体 积 ；(2)要 证 AC 平 面 DEF， 先 证 AC DE， 再 证 AC EF， 即 可 .(3)M为 BD的 中 点 ， 连 CM， 设 CM DE=O， 连 OF， 只 要

23、MN OF即 可 .答 案 ： (1) BCD是 正 三 角 形 ， AB 平 面 BCD， AB=BC=a， 三 棱 锥 D-ABC的 体 积 2 31 3 33 4 12V a a a (2)取 AC 的 中 点 H， AB=BC， BH AC. AF=3FC， F为 CH的 中 点 . E 为 BC 的 中 点 ， EF BH.则 EF AC. BCD是 正 三 角 形 ， DE BC. AB 平 面 BCD， AB DE. AB BC=B， DE 平 面 ABC. DE AC. DE EF=E， AC 平 面 DEF.(3)连 CM， 设 CM DE=O， 连 OF.由 条 件 知 ，

24、 O 为 BCD的 重 心 ， CO= 23 CM.当 CN= 38 CA 时 ， CF= 23 CN， MN OF. MN平 面 DEF， OF平 面 DEF， MN 平 面 DEF. 19. 已 知 椭 圆 E： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的 离 心 率 e= 22 ， 焦 距 为 2 2 .( )求 椭 圆 E 的 方 程 ；( )若 C， D 分 别 是 椭 圆 E 的 左 、 右 顶 点 ， 动 点 M 满 足 MD CD， 连 接 CM， 交 椭 圆 E 于 点 P.证 明 ： OM OP 为 定 值 (O为 坐 标 原 点 ).解 析 ： ( )根 据 题 意

25、， 分 析 可 得 椭 圆 中 c 的 值 ， 结 合 椭 圆 的 离 心 率 公 式 可 得 a 的 值 ， 计 算 可得 b 的 值 ， 将 a、 b 的 值 代 入 椭 圆 的 方 程 ， 即 可 得 答 案 ；( )根 据 题 意 ， 设 l CM： x=my-2， 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 用 根 与 系 数 的 关 系 分 析 ， 用 m 表示 P 的 坐 标 结 合 直 线 的 方 程 分 析 可 得 M 的 坐 标 ， 进 而 可 以 用 m 表 示 OM OP ， 分 析 可 得 答案 .答 案 ： ( )根 据 题 意 ， 椭 圆 E的 焦 距 为 2 2

26、 ， 则 2c=2 2 ， 所 以 c= 2 ，因 为 22ce a ， 所 以 a= 2 c=2，因 为 a 2=b2+c2， 所 以 b2=2， 所 以 椭 圆 方 程 为 2 2 14 2x y .( )因 为 直 线 CM不 在 x 轴 上 ， 故 可 设 lCM： x=my-2.由 2 2 14 2 2x yx my ， 得 (m2+2)y2-4my=0， 22 22 4 42 2P Pm my xm m ， ， 即 P( 22 22 4 42 2m mm m ， ).在 直 线 x=my-2 中 令 x=2， 则 4My m ， 即 M(2， 4m ). 22 24 8 16 42

27、 2mOM OP m m OM OP 为 定 值 4.20.设 函 数 f(x)=lnx+ mx ， m R.( )当 m=e(e 为 自 然 对 数 的 底 数 )时 ， 求 f(x)的 极 小 值 ；( )讨 论 函 数 g(x)=f (x)- 3x 零 点 的 个 数 ；( )若 对 任 意 b a 0， f b f ab a 1 恒 成 立 ， 求 m 的 取 值 范 围 . 解 析 ： ( )m=e时 ， f(x)=lnx+ ex ， 利 用 f (x)判 定 f(x)的 增 减 性 并 求 出 f(x)的 极 小 值 ；( )由 函 数 g(x)=f (x)- 3x ， 令 g(x

28、)=0， 求 出 m； 设 (x)=m， 求 出 (x)的 值 域 ， 讨 论 m的 取 值 ， 对 应 g(x)的 零 点 情 况 ；( )由 b a 0， f b f ab a 1恒 成 立 ， 等 价 于 f(b)-b f(a)-a恒 成 立 ；即 h(x)=f(x)-x在 (0， + )上 单 调 递 减 ； h (x) 0， 求 出 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 m=e时 ， f(x)=lnx+ ex ， f (x)= 2x ex ； 当 x (0， e)时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， e)上 是 减 函 数 ；当 x (e， + )时 ， f (x)

29、 0， f(x)在 (e， + )上 是 增 函 数 ； x=e时 ， f(x)取 得 极 小 值 为 f(e)=lne+ ee =2；( ) 函 数 g(x)=f (x)- 213 3x m xx x (x 0)，令 g(x)=0， 得 m=-13 x3+x(x 0)；设 (x)=- 13 x3+x(x 0)， (x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1)；当 x (0， 1)时 ， (x) 0， (x)在 (0， 1)上 是 增 函 数 ，当 x (1， + )时 ， (x) 0， (x)在 (1， + )上 是 减 函 数 ； x=1是 (x)的 极 值 点 ， 且 是 极 大 值 点

30、， x=1是 (x)的 最 大 值 点 ， (x)的 最 大 值 为 (1)= 23 ；又 (0)=0， 结 合 y= (x)的 图 象 ， 如 图 ； 可 知 ： 当 m 23 时 ， 函 数 g(x)无 零 点 ； 当 m= 23 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ； 当 0 m 23 时 ， 函 数 g(x)有 两 个 零 点 ； 当 m 0 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ；综 上 ， 当 m 23 时 ， 函 数 g(x)无 零 点 ；当 m= 23 或 m 0 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ；当 0 m 23 时 ， 函 数 g(x)有 两 个 零 点 ；( )对 任 意 b a 0， f b f ab a 1恒 成 立 ，等 价 于 f(b)-b f(a)-a 恒 成 立 ； 设 h(x)=f(x)-x=lnx+ mx -x(x 0)， 则 h(b) h(a). h(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ； h (x)= 21 1mx x 0在 (0， + )上 恒 成 立 ， m -x2+x=-(x- 12 )2+ 14 (x 0)， m 14 ；对 于 m= 14 ， h (x)=0 仅 在 x= 12 时 成 立 ； m 的 取 值 范 围 是 14 ， + ).