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2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析.docx

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2018年北京市石景山区高考一模试卷数学文及答案解析.docx

2、的函数为 ( )A. y xB.y=-x3C. 12logy xD. 1y x x 解析：对于 A， y= x (x 0)是非奇非偶的函数，不满足条件；对于 B， y=-x 3，是定义域 R 上的奇函数，且在区间 (0， + )上是单调减函数，满足条件；对于 C， 12logy x ，定义域是 (0， + )，是非奇非偶的函数，不满足条件；对于 D， 1y x x ，是定义域 (- ， 0) (0， + )上的奇函数，但在区间 (0

3、， + )上不是单调减函数，也不满足题意 .答案： B3.执行如图所示的程序框图，输出的结果是 ( ) A.3B.11C.38D.123解析：模拟程序的运行，可得 a=1，满足条件 a 10，执行循环体， a=3，满足条件 a 10，执行循环体， a=11，不满足条件 a 10，退出循环，输出 a的值为 11.答案： B4.设 x， y 满足约束条件 22 3 90 x yx yx ，，则下列不等式恒成立的是

4、 ( ) A.x 1B.y 1C.x-y+2 0D.x-3y-6 0解析：作出 x， y 满足约束条件 22 3 90 x yx yx ，，对应的平面区域如图：则 A(0， 2)，易知 x 1， y 1 不成立，直线 z=x-y+2经过 A时取得最小值为 0，直线 z=x-3y-6经过 A时取得最小值为： -12，由图象可知 x-3y-6 0 不成立，恒成立的是 x-y+2 0.答案： C5.已知平面向量 ab ，满足 3 2a b ，， a 与 b 的夹角为

5、 120 ，若 a mb a ，则实数m的值为 ( )A.1B. 32C.2 D.3解析： 3 2a b ，， a 与 b 的夹角为 120 ， 1cos120 3 2 32a b a b 2 23 3 0a mb a a mb a a ma b m ，，解得 m=3.答案： D6.“ a b 1” 是 “ log a3 logb3” 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由 loga3 logb3 得 3 31 1log loga b ，若 a b 1，

6、则 log3a log3b 0，则 3 31 1log loga b 成立，即充分性成立，若 log3a 0， log3b 0 时，满足条件，但此时 0 a 1， b 1，则 a b 1不成立，即 “ a b 1” 是 “ loga3 logb3” 的充分不必要条件 .答案： A7.若某多面体的三视图 (单位： cm)如图所示，则此多面体的体积是 ( ) A. 78 cm3B. 23 cm3C. 56 cm3D. 12 cm3解析：由三视图知几何体是一个正

7、方体减去一个三棱柱，正方体的棱长是 1，正方体的体积是 1 1 1=1，三棱柱的底面是腰长是 12 的直角三角形，高是 1，三棱柱的体积是 1 1 1 112 2 2 8 ，几何体的体积是 1 71 .8 8 答案： A8.如图，已知线段 AB 上有一动点 D(D 异于 A、 B)，线段 CD AB，且满足 CD2= AD BD( 是大于 0且不等于 1 的常数 )，则点 C 的运动轨迹为 ( ) A.圆的一部分B.椭

8、圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分解析：以 AB所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，设 AB 中点为 O，设 C(x， y)， AB=2a，则 D(x， 0)， A(-a， 0)， B(a， 0)，线段 CD AB，且满足 CD2= AD BD( 是大于 0 且不等于 1的常数 )， y2= (x+a)(x-a)= x2- a2， x2+y2= a2. 点 C 的运动轨迹为椭圆的一部分 .答案： B二

9、、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分 .9.复数 31i i .解析： 3 1 1 1 1 .1 1 1 1 2 2 2i ii i i ii i i i 答案： 1 12 2i 10.双曲线 2 2 12x y 的焦距是，渐近线方程是 .解析：双曲线 2 2 12x y 中， 2 1 3a b c ，，，焦距是 2 2 3c ，渐近线方程是22y x 答案： 2 3 ； 22y x 11.若圆 C 的半径为 1，其圆心与点 (1， 0)关于直线 y=x对称，

10、则圆 C 的标准方程为 .解析：圆心与点 (1， 0)关于直线 y=x对称，可得圆心为 (0， 1)，再根据半径等于 1，可得所求的圆的方程为 x2+(y-1)2=1，答案： x2+(y-1)2=1.12.在 ABC中， A=60 ， AC=4， BC=2 3 ，则 ABC的面积等于 .解析： ABC中， A=60 ， AC=4， BC=2 3 ，由正弦定理得： 2 3 4sin sin sin 60 sinBC ACA B B ，，解得 sinB=1， B=90 ， C=30

11、， ABC的面积 = 1 2 3 4 sin30 2 32 答案： 2 3 .13.在等差数列 an中 a3=0，如果 ak是 a6与 ak+6的等比中项，那么 .解析：在等差数列 an中，由 a3=0，得 a k=a3+(k-3)d=(k-3)d， a6=a3+3d=3d， ak+6=a3+(k+3)d=(k+3)d， ak是 a6与 ak+6的等比中项， ak2=a6 ak+6，即 (k-3)2d2=3d (k+3)d， d 0， k2=9k，得 k=9.答案： 914.已知函数 f(x)= 2 24x x x

12、mx x m ，，当 m=0时，函数 f(x)的零点个数为；如果函数 f(x)恰有两个零点，那么实数 m的取值范围为 .解析：令 -x 2-2x=0可得 x=-2或 x=0，令 x-4=0 得 x=4. 当 m=0时， f(x)有 3个零点 . 若 m -2，则 f(x)在 (- ， m上无零点，在 (m， + )上有 1个零点 x=4，不符合题意；若 -2 m 0，则 f(x)在 (- ， m上有 1 个零点 x=-2，在 (m， + )上有 1 个零点 x=4，符合题

13、意；若 0 m 4，则 f(x)在 (- ， m上有 2 个零点 x=-2， x=0，在 (m， + )上有 1 个零点 x=4，不符合题意；若 m 4，则 f(x)在 (- ， m上有 2 个零点 x=-2， x=0，在 (m， + )上无零点，符合题意； -2 m 0或 m 4.答案： 3， -2， 0) 4， + ).三、解答题共 6小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 . 15.已知函数 22cos 2 3sin cos 1f x x x x

14、( )求函数 f(x)的最小正周期；( )求函数 f(x)在区间 2 ，上的最小值和最大值 .解析： ( )利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求函数 f(x)的最小正周期；( )通过角的范围求解相位的范围，利用正弦函数的单调性求解函数的最值即可 .答案： ( ) 22cos 2 3sin cos 1f x x x x 1 3cos2 3sin 2 2 cos2 sin 2 2sin

15、 22 2 6x x x x x ，所以周期为 T= 22 = . ( )因为 2 x ，所以 7 1326 6 6x 所以当 132 6 6x 时，即 x= 时， f(x)max=1.当 32 6 2x 时，即 x= 23 时， f(x)min=-2.16.等差数列 a n中， a2=4，其前 n项和 Sn满足 Sn=n2+ n( R).( )求实数的值，并求数列 an的通项公式；( )若数列 1nS +bn是首项为、公比为 2 的等比数列，求数列 bn的前 n 项的和 Tn.解

16、析： (I)利用 a2=S2-S1=4+2 -1- =4，求出 =1，再利用数列中 an与 Sn关系 an=Sn， n=1，Sn-Sn-1， n 2，求通项公式 .(II)求出数列 1S n+bn的通项公式，再得出数列 bn的通项公式，最后根据通项公式形式选择相应方法求和 .答案： (I)因为 a2=S2-S1=4+2 -1- =4，解得 =1， Sn=n2+n，当 n 2 时，则 an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n，当 n=1时，也满足，

17、所以 an=2n.(II)由已知数列 1nS +bn是首项为 1、公比为 2 的等比数列，其通项公式为 1111 1 2nnn b bS S ，且首项 111 1bS ，故 1 1 1 11 111 1 1 1 1 12 2 2 22 1 1n n n nn nnb b b bS S n n n n ，，， 1 1( ) 1 1 1 1 11 2 2 1 2 12 2 3 1 1n nn nT n n n 17.抢 “ 微信红包 ” 已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动 .小明收

18、集班内 20 名同学今年春节期间抢到红包金额 x(元 )如下 (四舍五入取整数 )：102 52 41 121 72162 50 22 158 4643 136 95 192 5999 22 68 98 79对这 20个数据进行分组，各组的频数如下： ( )写出 m， n 的值，并回答这 20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；( )记 C组红包金额的平均数与方差分别为 v1、 s12， E组红包金额的平均数与方

19、差分别为 v2、s22，试分别比较 v1与 v2、 s12与 s22的大小； (只需写出结论 )( )从 A， E 两组所有数据中任取 2 个，求这 2 个数据差的绝对值大于 100 的概率 .解析： ( )由题意求出 m=4， n=2，从而能求出这 20名同学抢到的红包金额的中位数落在 B组 .( )记 C组红包金额的平均数与方差分别为 v1、 s12， E组红包金额的平均数与方差分别为 v2、s 22，

20、由此能比较 v1与 v2、 s12与 s22的大小 .( )A组两个数据为 22， 22， E 组两个数据为 162， 192，任取两个数据，利用列举法能求出这 2 个数据差的绝对值大于 100的概率 .答案： ( )由题意求出 m=4， n=2，这 20名同学抢到的红包金额的中位数落在 B组 .( )记 C组红包金额的平均数与方差分别为 v1、 s12， E组红包金额的平均数与方差分别为 v2、s22，则 v

21、1 v2， s12 s22.( )A组两个数据为 22， 22， E 组两个数据为 162， 192任取两个数据，可能的组合有 6种结果，分别为： (22， 22)， (22， 162)， (22， 192)， (22，162)， (22， 192)， (162， 192)，记数据差的绝对值大于 100为事件 A，事件 A 包括 4种结果，这 2个数据差的绝对值大于 100的概率 P(A)= 4 26 3 18.如图，在三棱锥 D-ABC 中，已知 BCD 是

22、正三角形， AB 平面 BCD， AB=BC=a， E 为 BC点，F棱 AC上，且 AF=3FC. (1)求三棱锥 D-ABC 的体积；(2)求证： AC 平面 DEF；(3)若 M 为 DB 中点， N 在棱 AC上，且 CN= 38 CA，求证： MN 平面 DEF.解析： (1)直接利用体积公式，求三棱锥 D-ABC 的体积；(2)要证 AC 平面 DEF，先证 AC DE，再证 AC EF，即可 .(3)M为 BD的中点，连 CM，设 CM DE=O，连 OF，只要

23、MN OF即可 .答案： (1) BCD是正三角形， AB 平面 BCD， AB=BC=a，三棱锥 D-ABC的体积 2 31 3 33 4 12V a a a (2)取 AC 的中点 H， AB=BC， BH AC. AF=3FC， F为 CH的中点 . E 为 BC 的中点， EF BH.则 EF AC. BCD是正三角形， DE BC. AB 平面 BCD， AB DE. AB BC=B， DE 平面 ABC. DE AC. DE EF=E， AC 平面 DEF.(3)连 CM，设 CM DE=O，连 OF.由条件知，

24、 O 为 BCD的重心， CO= 23 CM.当 CN= 38 CA 时， CF= 23 CN， MN OF. MN平面 DEF， OF平面 DEF， MN 平面 DEF. 19. 已知椭圆 E： 2 22 2 1x ya b (a b 0)的离心率 e= 22 ，焦距为 2 2 .( )求椭圆 E 的方程；( )若 C， D 分别是椭圆 E 的左、右顶点，动点 M 满足 MD CD，连接 CM，交椭圆 E 于点 P.证明： OM OP 为定值 (O为坐标原点 ).解析： ( )根据题意

25、，分析可得椭圆中 c 的值，结合椭圆的离心率公式可得 a 的值，计算可得 b 的值，将 a、 b 的值代入椭圆的方程，即可得答案；( )根据题意，设 l CM： x=my-2，联立直线与椭圆的方程，用根与系数的关系分析，用 m 表示 P 的坐标结合直线的方程分析可得 M 的坐标，进而可以用 m 表示 OM OP ，分析可得答案 .答案： ( )根据题意，椭圆 E的焦距为 2 2

26、，则 2c=2 2 ，所以 c= 2 ，因为 22ce a ，所以 a= 2 c=2，因为 a 2=b2+c2，所以 b2=2，所以椭圆方程为 2 2 14 2x y .( )因为直线 CM不在 x 轴上，故可设 lCM： x=my-2.由 2 2 14 2 2x yx my ，得 (m2+2)y2-4my=0， 22 22 4 42 2P Pm my xm m ，，即 P( 22 22 4 42 2m mm m ， ).在直线 x=my-2 中令 x=2，则 4My m ，即 M(2， 4m ). 22 24 8 16 42

27、 2mOM OP m m OM OP 为定值 4.20.设函数 f(x)=lnx+ mx ， m R.( )当 m=e(e 为自然对数的底数 )时，求 f(x)的极小值；( )讨论函数 g(x)=f (x)- 3x 零点的个数；( )若对任意 b a 0， f b f ab a 1 恒成立，求 m 的取值范围 . 解析： ( )m=e时， f(x)=lnx+ ex ，利用 f (x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值；( )由函数 g(x)=f (x)- 3x ，令 g(x

28、)=0，求出 m；设 (x)=m，求出 (x)的值域，讨论 m的取值，对应 g(x)的零点情况；( )由 b a 0， f b f ab a 1恒成立，等价于 f(b)-b f(a)-a恒成立；即 h(x)=f(x)-x在 (0， + )上单调递减； h (x) 0，求出 m 的取值范围 .答案： ( )当 m=e时， f(x)=lnx+ ex ， f (x)= 2x ex ；当 x (0， e)时， f (x) 0， f(x)在 (0， e)上是减函数；当 x (e， + )时， f (x)

29、 0， f(x)在 (e， + )上是增函数； x=e时， f(x)取得极小值为 f(e)=lne+ ee =2；( ) 函数 g(x)=f (x)- 213 3x m xx x (x 0)，令 g(x)=0，得 m=-13 x3+x(x 0)；设 (x)=- 13 x3+x(x 0)， (x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1)；当 x (0， 1)时， (x) 0， (x)在 (0， 1)上是增函数，当 x (1， + )时， (x) 0， (x)在 (1， + )上是减函数； x=1是 (x)的极值点，且是极大值点

30、， x=1是 (x)的最大值点， (x)的最大值为 (1)= 23 ；又 (0)=0，结合 y= (x)的图象，如图；可知：当 m 23 时，函数 g(x)无零点；当 m= 23 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0 m 23 时，函数 g(x)有两个零点；当 m 0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；综上，当 m 23 时，函数 g(x)无零点；当 m= 23 或 m 0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0 m 23 时，函数 g(x)有两个零点；( )对任意 b a 0， f b f ab a 1恒成立，等价于 f(b)-b f(a)-a 恒成立；设 h(x)=f(x)-x=lnx+ mx -x(x 0)，则 h(b) h(a). h(x)在 (0， + )上单调递减； h (x)= 21 1mx x 0在 (0， + )上恒成立， m -x2+x=-(x- 12 )2+ 14 (x 0)， m 14 ；对于 m= 14 ， h (x)=0 仅在 x= 12 时成立； m 的取值范围是 14 ， + ).

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