2017年上海市松江区高考一模数学及答案解析.docx

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1、2017年 上 海 市 松 江 区 高 考 一 模 数 学一 .填 空 题 (本 大 题 满 分 56分 )本 大 题 共 有 12 题 ， 考 生 必 须 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接填 写 结 果 ， 第 1 6 题 每 个 空 格 填 对 得 4 分 ， 第 7 12 题 每 个 空 格 填 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得零 分 .1.设 集 合 M=x|x2=x， N=x|lgx 0， 则 M N=_.解 析 ： 集 合 M=x|x2=x=0， 1，N=x|lgx 0 x|0 x 1， M N=1.答 案 ： 1.2.已 知 a， b R， i 是 虚

2、 数 单 位 .若 a+i=2-bi， 则 (a+bi) 2=_.解 析 ： 由 已 知 等 式 结 合 复 数 相 等 的 条 件 求 得 a， b的 值 ， 则 复 数 a+bi 可 求 ， 然 后 利 用 复 数 代数 形 式 的 乘 法 运 算 得 答 案 .答 案 ： 3-4i.3.已 知 函 数 f(x)=ax-1的 图 象 经 过 (1， 1)点 ， 则 f-1(3)=_.解 析 ： 根 据 反 函 数 的 与 原 函 数 的 关 系 ， 原 函 数 的 定 义 域 是 反 函 数 的 值 域 可 得 答 案 .答 案 ： 2.4.不 等 式 x|x-1| 0的 解 集 为 _.

3、解 析 ： x|x-1| 0， x 0， |x-1| 0， 故 x-1 0 或 x-1 0，解 得 ： x 1或 0 x 1，故 不 等 式 的 解 集 是 (0， 1) (1， + )，答 案 ： (0， 1) (1， + ).5.已 知 向 量 a =(sinx， cosx)， b =(sinx， sinx)， 则 函 数 f(x)=a b 的 最 小 正 周 期 为 _.解 析 ： 由 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 可 得 f(x)， 再 由 辅 助 角 公 式 化 积 ， 利 用 周 期 公 式 求 得 周 期 .答 案 ： .6.里 约 奥 运 会 游 泳 小 组 赛 采 用

4、抽 签 方 法 决 定 运 动 员 比 赛 的 泳 道 .在 由 2 名 中 国 运 动 员 和 6 名外 国 运 动 员 组 成 的 小 组 中 ， 2名 中 国 运 动 员 恰 好 抽 在 相 邻 泳 道 的 概 率 为 _. 解 析 ： 先 求 出 基 本 事 件 总 数 n= 88A ， 再 求 出 2 名 中 国 运 动 员 恰 好 抽 在 相 邻 泳 道 的 概 率 为m= 2 72 7A A ， 由 此 能 求 出 2 名 中 国 运 动 员 恰 好 抽 在 相 邻 泳 道 的 概 率 .答 案 ： 14 .7.按 如 图 所 示 的 程 序 框 图 运 算 ： 若 输 入 x=

5、17， 则 输 出 的 x值 是 _. 解 析 ： 模 拟 程 序 的 运 行 ， 可 得x=17， k=0执 行 循 环 体 ， x=35， k=1不 满 足 条 件 x 115， 执 行 循 环 体 ， x=71， k=2不 满 足 条 件 x 115， 执 行 循 环 体 ， x=143， k=3满 足 条 件 x 115， 退 出 循 环 ， 输 出 x 的 值 为 143.答 案 ： 143.8.设 (1+x) n=a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn， 若 23 13aa ， 则 n=_.解 析 ： 利 用 二 项 式 定 理 展 开 可 得 ： (1+x)n=1+ 1

6、2 2 3 3n n nx x x 痧 + = a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，比 较 系 数 即 可 得 出 .答 案 ： 11.9.已 知 圆 锥 底 面 半 径 与 球 的 半 径 都 是 1cm， 如 果 圆 锥 的 体 积 与 球 的 体 积 恰 好 也 相 等 ， 那 么 这个 圆 锥 的 侧 面 积 是 _cm 2.解 析 ： 由 已 知 求 出 圆 锥 的 母 线 长 ， 代 入 圆 锥 的 侧 面 积 公 式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： 17 .10.设 P(x， y)是 曲 线 C： 2 225 9x y =1 上 的 点 ， F 1(-4， 0)，

7、F2(4， 0)， 则 |PF1|+|PF2|的 最大 值 =_.解 析 ： 先 将 曲 线 方 程 化 简 ， 再 根 据 图 形 的 对 称 性 可 知 |PF1|+|PF2|的 最 大 值 为 10.答 案 ： 10.11.已 知 函 数 f(x)= 2 4 31 32 8 3x x x xx ， ， 若 F(x)=f(x)-kx在 其 定 义 域 内 有 3 个 零 点 ，则 实 数 k _.解 析 ： 问 题 转 化 为 f(x)和 y=kx有 3个 交 点 ， 画 出 函 数 f(x)和 y=kx的 图 象 ， 求 出 临 界 值 ，从 而 求 出 k的 范 围 即 可 . 答 案

8、 ： (0， 33 ).12.已 知 数 列 an满 足 a1=1， a2=3， 若 |an+1-an|=2n(n N*)， 且 a2n-1是 递 增 数 列 、 a2n是 递 减 数 列 ， 则 2 12lim nn naa =_.解 析 ： 依 题 意 ， 可 求 得 a3-a2=22， a4-a3=-23， ， a2n-a2n-1=-22n-1， 累 加 求 和 ， 可 得 a2n= 213 1 23 3 n ，a2n-1=a2n+22n-1= 213 1 23 6 n ； 从 而 可 求 得 2 12lim nn naa 的 值 .答 案 ： - 12 .二 、 选 择 题 (本 大

9、题 满 分 20分 )本 大 题 共 有 4 题 ， 每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 考 生 必 须 在答 题 纸 相 应 编 号 上 ， 将 代 表 答 案 的 小 方 格 涂 黑 ， 选 对 得 5分 ， 否 则 一 律 得 零 分 . 13.已 知 a， b R， 则 “ ab 0“ 是 “ b aa b 2” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 也 非 必 要 条 件解 析 ： 根 据 充 分 必 要 条 件 的 定 义 判 断 即 可 .答 案 ： B.14.如 图 ， 在 棱 长 为 1 的

10、 正 方 体 ABCD-A 1B1C1D1中 ， 点 P 在 截 面 A1DB 上 ， 则 线 段 AP 的 最 小 值等 于 ( )A.13B. 12 C. 33D. 22解 析 ： 由 已 知 可 得 AC1 平 面 A1DB， 可 得 P 为 AC1与 截 面 A1DB的 垂 足 时 线 段 AP 最 小 ， 然 后 利用 等 积 法 求 解 .答 案 ： C. 15.若 矩 阵 11 1221 22a aa a 满 足 ： a11， a12， a21， a22 0， 1， 且 11 1221 22a aa a =0， 则 这 样 的 互 不 相等 的 矩 阵 共 有 ( )A.2个B.

11、6个C.8个D.10个解 析 ： 根 据 题 意 ， 分 类 讨 论 ， 考 虑 全 为 0； 全 为 1； 三 个 0， 一 个 1； 两 个 0， 两 个 1， 即 可得 出 结 论 .答 案 ： D.16.解 不 等 式 ( 12 ) x-x+ 12 0 时 ， 可 构 造 函 数 f(x)=( 12 )x-x， 由 f(x)在 x R 是 减 函 数 ， 及f(x) f(1)， 可 得 x 1.用 类 似 的 方 法 可 求 得 不 等 式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0 的 解 集 为( )A.(0， 1B.(-1， 1)C.(-1， 1D.(-1， 0)解 析 ：

12、 由 题 意 ， 构 造 函 数 g(x)=arcsinx+x 3， 在 x -1， 1上 是 增 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ，不 等 式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0可 化 为 g(x2) g(-x)， -1 -x x2 1， 0 x 1.答 案 ： A.三 .解 答 题 (本 大 题 满 分 74分 )本 大 题 共 有 5题 ， 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 规 定区 域 内 写 出 必 要 的 步 骤 .17.如 图 ， 在 正 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA=AB=a， E 是 棱 PC的 中 点 . (1)求 证

13、 ： PC BD；(2)求 直 线 BE 与 PA 所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： (1)推 导 出 PBC， PDC 都 是 等 边 三 角 形 ， 从 而 BE PC， DE PC， 由 此 能 证 明 PCBD.(2)连 接 AC， 交 BD 于 点 O， 连 OE， 则 AP OE， BOE 即 为 BE 与 PA 所 成 的 角 ， 由 此 能 求 出直 线 BE与 PA 所 成 角 的 余 弦 值 .答 案 ： (1) 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， 且 PA=AB=a， PBC， PDC都 是 等 边 三 角 形 ， E 是 棱 PC的 中 点 ， BE PC，

14、 DE PC， 又 BE DE=E， PC 平 面 BDE又 BD平 面 BDE， PC BD(2)连 接 AC， 交 BD 于 点 O， 连 OE. 四 边 形 ABCD为 正 方 形 ， O 是 AC的 中 点又 E 是 PC 的 中 点 OE 为 ACP的 中 位 线 ， AP OE BEO即 为 BE与 PA所 成 的 角在 Rt BOE中 ， BE= 32 a， EO= 12 PA= 12 a， cos BEO=OEBE = 33 . 直 线 BE 与 PA所 成 角 的 余 弦 值 为 33 . 18.已 知 函 数 F(x)= 2 12 1xxa ， (a 为 实 数 ).(1)

15、根 据 a 的 不 同 取 值 ， 讨 论 函 数 y=f(x)的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 对 任 意 的 x 1， 都 有 1 f(x) 3， 求 a 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 先 求 出 函 数 的 定 义 域 ， 易 得 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 求 出 F(-x)的 解析 式 ， 进 而 分 2 种 情 况 讨 论 ： 若 y=f(x)是 偶 函 数 ， 若 y=f(x)是 奇 函 数 ， 分 别 求 出 每 种情 况 下 a 的 值 ， 综 合 即 可 得 答 案 ；(2)根 据 题 意 ， 由 f(x)的

16、范 围 ， 分 2 种 情 况 进 行 讨 论 ： f(x) 1 以 及 f(x) 3， 分 析 求 出 每种 情 况 下 函 数 的 恒 成 立 的 条 件 ， 可 得 a的 值 ， 进 而 综 合 2种 情 况 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)函 数 F(x)= 2 12 1xxa 定 义 域 为 R， 且 F(-x)= 2 12 1xxa = 21 2xxa ， 若 y=f(x)是 偶 函 数 ， 则 对 任 意 的 x 都 有 f(x)=f(-x)，即 2 12 1xxa = 21 2xxa ， 即 2x(a+1)=a+1，解 可 得 a=-1； 若 y=f(x)是 奇 函 数

17、 ， 则 对 任 意 的 x 都 有 f(x)=-f(-x)，即 2 12 1xxa =- 21 2xxa ， 即 2 x(a-1)=1-a，解 可 得 a=1；故 当 a=-1 时 ， y=f(x)是 偶 函 数 ，当 a=1时 ， y=f(x)是 奇 函 数 ，当 a 1 时 ， y=f(x)既 非 偶 函 数 也 非 奇 函 数 ，(2)由 f(x) 1 可 得 ： 2 x+1 a 2x-1， 即 22x a-1 当 x 1 时 ， 函 数 y1= 22x 单 调 递 减 ， 其 最 大 值 为 1，则 必 有 a 2，同 理 ， 由 f(x) 3 可 得 ： a 2x-1 3 2x+3

18、， 即 a-3 42x ， 当 x 1 时 ， y 2= 42x 单 调 递 减 ， 且 无 限 趋 近 于 0，故 a 3，综 合 可 得 ： 2 a 3.19.上 海 市 松 江 区 天 马 山 上 的 “ 护 珠 塔 ” 因 其 倾 斜 度 超 过 意 大 利 的 比 萨 斜 塔 而 号 称 “ 世 界 第一 斜 塔 ” .兴 趣 小 组 同 学 实 施 如 下 方 案 来 测 量 塔 的 倾 斜 度 和 塔 高 ： 如 图 ， 记 O 点 为 塔 基 、 P点 为 塔 尖 、 点 P在 地 面 上 的 射 影 为 点 H.在 塔 身 OP射 影 所 在 直 线 上 选 点 A， 使 仰

19、 角 k HAP=45 ，过 O 点 与 OA成 120 的 地 面 上 选 B 点 ， 使 仰 角 HPB=45 (点 A、 B、 O 都 在 同 一 水 平 面 上 )，此 时 测 得 OAB=27 ， A与 B之 间 距 离 为 33.6米 .试 求 ： (1)塔 高 (即 线 段 PH 的 长 ， 精 确 到 0.1 米 )；(2)塔 身 的 倾 斜 度 (即 PO 与 PH的 夹 角 ， 精 确 到 0.1 ).解 析 ： (1)由 题 意 可 知 ： PAH， PBH均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AH=BH=x， HAB=27 ， AB=33.6， 即 可 求 得 x=

20、16.82cos cos27ABHAB =18.86；(2) OBH=180 -120 -2 27 =6 ， BH=18.86， 由 正 弦 定 理 可 知 ：sin sinOH BHOBH BOH ， OH= 18.86 sin6sin120 =2.28 ， 则 倾 斜 角 OPH=arctanOHPH =arctan 2.2818.86 =6.89 .答 案 ： (1)设 塔 高 PH=x， 由 题 意 知 ， HAP=45 ， HBP=45 ， PAH， PBH均 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AH=BH=x 在 AHB中 ， AH=BH=x， HAB=27 ， AB=33.6，

21、x= 16.82cos cos27ABHAB =18.86(2)在 BOH中 ， BOH=120 ， OBH=180 -120 -2 27 =6 ， BH=18.9，由 sin sinOH BHOBH BOH ，得 OH=18.86 sin6sin120 =2.28， OPH=arctanOHPH =arctan 2.2818.86 6.9 ， 塔 高 18.9米 ， 塔 的 倾 斜 度 为 6.9 . 20.已 知 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1经 过 点 (2， 3)， 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为 60 ， 直 线 l交 双 曲 线于 A、 B 两 点 .(1)求

22、 双 曲 线 C 的 方 程 ；(2)若 l 过 原 点 ， P为 双 曲 线 上 异 于 A， B的 一 点 ， 且 直 线 PA、 PB的 斜 率 kPA， kPB均 存 在 ， 求证 ： kPA kPB为 定 值 ；(3)若 l 过 双 曲 线 的 右 焦 点 F1， 是 否 存 在 x 轴 上 的 点 M(m， 0)， 使 得 直 线 l 绕 点 F1无 论 怎 样转 动 ， 都 有 MA MB =0 成 立 ？ 若 存 在 ， 求 出 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： (1)利 用 双 曲 线 C： 2 22 2x ya b =1经 过 点

23、(2， 3)， 两 条 渐 近 线 的 夹 角 为 60 ， 建 立 方 程 ，即 可 求 双 曲 线 C的 方 程 ；(2)设 M(x0， y0)， 由 双 曲 线 的 对 称 性 ， 可 得 N 的 坐 标 ， 设 P(x， y)， 结 合 题 意 ， 又 由 M、 P在 双 曲 线 上 ， 可 得 y02=3x02-3， y2=3x2-3， 将 其 坐 标 代 入 kPM kPN中 ， 计 算 可 得 答 案 .(3)先 假 设 存 在 定 点 M， 使 MA MB恒 成 立 ， 设 出 M 点 坐 标 ， 根 据 数 量 级 为 0， 求 得 结 论 .答 案 ： (1)解 ： 由 题

24、 意 得 2 24 9 13a bba 解 得 a=1， b= 3 双 曲 线 C的 方 程 为 22 3yx =1； (2)证 明 ： 设 A(x0， y0)， 由 双 曲 线 的 对 称 性 ， 可 得 B(-x0， -y0).设 P(x， y)，则 kPA kPB= 2 202 0y yx x ， y02=3x02-3， y2=3x2-3， kPA kPB= 2 202 0y yx x =3(3)解 ： 由 (1)得 点 F 1为 (2， 0)当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 方 程 y=k(x-2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)将 方 程 y=k(x

25、-2)与 双 曲 线 方 程 联 立 消 去 y 得 ： (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0， x1+x2= 224 3kk ， x1x2= 224 33kk 假 设 双 曲 线 C 上 存 在 定 点 M， 使 MA MB恒 成 立 ， 设 为 M(m， n)则MA MB =(x 1-m)(x2-m)+k(x1-2)-nk(x2-2)-n=(k2+1)x1x2-(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2= 2 2 2 2 224 5 12 3 13m n m k nk m nk =0，故 得 ： (m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)=0 对

26、 任 意 的 k2 3恒 成 立 ， 2 22 2 4 5 012 0 1 0m n mnm n ， 解 得 m=-1， n=0 当 点 M 为 (-1， 0)时 ， MA MB恒 成 立 ；当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 由 A(2， 3)， B(2， -3)知 点 M(-1， 0)使 得 MA MB也 成 立 . 又 因 为 点 (-1， 0)是 双 曲 线 C 的 左 顶 点 ，所 以 双 曲 线 C 上 存 在 定 点 M(-1， 0)， 使 MA MB恒 成 立 .21.如 果 一 个 数 列 从 第 2 项 起 ， 每 一 项 与 它 前 一 项 的 差 都 大 于

27、 2， 则 称 这 个 数 列 为 “ H 型 数 列 ” .(1)若 数 列 an为 “ H型 数 列 ” ， 且 a1= 1m -3， a2= 1m ， a3=4， 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ；(2)是 否 存 在 首 项 为 1的 等 差 数 列 an为 “ H型 数 列 ” ， 且 其 前 n项 和 Sn满 足 Sn n2+n(n N*)？若 存 在 ， 请 求 出 a n的 通 项 公 式 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .(3)已 知 等 比 数 列 an的 每 一 项 均 为 正 整 数 ， 且 an为 “ H 型 数 列 ” ， bn= 23 an， cn

28、= 51 2n nan ，当 数 列 bn不 是 “ H 型 数 列 ” 时 ， 试 判 断 数 列 cn是 否 为 “ H 型 数 列 ” ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)由 题 意 得 ， a2-a1=3 2， a3-a2=4- 1m 2， 即 2- 1m = 2 1mm 0， 解 得 m 范 围 即 可得 出 .(2)假 设 存 在 等 差 数 列 a n为 “ H 型 数 列 ” ， 设 公 差 为 d， 则 d 2， 由 a1=1， 可 得 ： Sn=n+ 12n nd， 由 题 意 可 得 ： n+ 12n n d n2+n 对 n N*都 成 立 ， 即 d 2 1n

29、n 都 成 立 .解 出 即 可 判 断 出结 论 .(3)设 等 比 数 列 an的 公 比 为 q， 则 an=a1qn-1， 且 每 一 项 均 为 正 整 数 ， 且 an+1-an=an(q-1) 2 0，可 得 a n+1-an=an(q-1) an-an-1， 即 在 数 列 an-an-1(n 2)中 ， “ a2-a1” 为 最 小 项 .同 理 在 数 列bn-bn-1(n 2)中 ， “ b2-b1” 为 最 小 项 .由 an为 “ H 型 数 列 ” ， 可 知 只 需 a2-a1 2， 即 a1(q-1) 2， 又 因 为 bn不 是 “ H 型 数 列 ” ， 且

30、 “ b2-b1” 为 最 小 项 ， 可 得 b2-b1 2， 即 a1(q-1) 3，由 数 列 an的 每 一 项 均 为 正 整 数 ， 可 得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4或 a1=3， q=2， 通 过 分 类 讨 论即 可 判 断 出 结 论 .答 案 ： (1)由 题 意 得 ， a2-a1=3 2， a3-a2=4- 1m 2， 即 2- 1m = 2 1mm 0， 解 得 m 12 或 m 0. 实 数 m 的 取 值 范 围 时 (- ， 0) ( 12 ， + ).(2)假 设 存 在 等 差 数 列 a n为 “ H型 数 列 ” ， 设 公 差 为 d，

31、 则 d 2， 由 a1=1， 可 得 ： Sn=n+ 12n n d，由 题 意 可 得 ： n+ 12n n d n2+n 对 n N*都 成 立 ， 即 d 2 1nn 都 成 立 . 2 1nn =2+ 2 1n 2，且 2lim 1n nn =2， d 2， 与 d 2矛 盾 ， 因 此 不 存 在 等 差 数 列 an为 “ H 型 数 列 ” .(3)设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 则 an=a1qn-1， 且 每 一 项 均 为 正 整 数 ， 且 an+1-an=an(q-1) 2 0， a1 0， q 1. an+1-an=an(q-1) an-an-1，

32、即 在 数 列 an-an-1(n 2)中 ， “ a2-a1” 为 最 小 项 .同 理 在 数 列 bn-bn-1(n 2)中 ， “ b2-b1” 为 最 小 项 .由 an为 “ H 型 数 列 ” ， 可 知 只 需 a2-a1 2， 即 a1(q-1) 2， 又 因 为 bn不 是 “ H型 数 列 ” ， 且 “ b2-b1” 为 最 小 项 ， b2-b1 2， 即 a1(q-1) 3， 由 数 列 an的 每 一 项 均 为 正 整 数 ， 可 得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4 或 a1=3， q=2， 当 a1=1 ， q=4 时 ， an=4n-1 ， 则 c

33、n= 1 354 21 2 1n nnn n ， 令 dn=cn+1-cn(n N*) ， 则dn= 4 32 22 1n nn n =2n+3 1 2nn n ， 令 en=dn+1-dn(n N*) ， 则e n=2n+4 12 3nn n -2n+3 1 2nn n = 32 2nn 2 21 3n nn n 0， dn为 递 增 数 列 ，即 dn dn-1 dn-2 d1，即 cn+1-cn cn-cn-1 cn-1-cn-2 c2-c1， c2-c1= 323 -8=83 2， 所 以 ， 对 任 意 的 n N*都 有 cn+1-cn 2，即 数 列 c n为 “ H 型 数 列 ” . 当 a1=3， q=2时 ， an=3 2n-1，则 cn= 1 532 481 2 1n nn n ， 显 然 ， cn为 递 减 数 列 ， c2-c1 0 2，故 数 列 cn不 是 “ H 型 数 列 ” ；综 上 ： 当 an=4n-1时 ， 数 列 cn为 “ H型 数 列 ” ，当 an=3 2n-1时 ， 数 列 cn不 是 “ H型 数 列 ” .