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2017年上海市松江区高考一模数学及答案解析.docx

资源ID：1512751 资源大小：225.37KB 全文页数：10页
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2017年上海市松江区高考一模数学及答案解析.docx

2、数单位 .若 a+i=2-bi，则 (a+bi) 2=_.解析：由已知等式结合复数相等的条件求得 a， b的值，则复数 a+bi 可求，然后利用复数代数形式的乘法运算得答案 .答案： 3-4i.3.已知函数 f(x)=ax-1的图象经过 (1， 1)点，则 f-1(3)=_.解析：根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域可得答案 .答案： 2.4.不等式 x|x-1| 0的解集为 _.

3、解析： x|x-1| 0， x 0， |x-1| 0，故 x-1 0 或 x-1 0，解得： x 1或 0 x 1，故不等式的解集是 (0， 1) (1， + )，答案： (0， 1) (1， + ).5.已知向量 a =(sinx， cosx)， b =(sinx， sinx)，则函数 f(x)=a b 的最小正周期为 _.解析：由平面向量的坐标运算可得 f(x)，再由辅助角公式化积，利用周期公式求得周期 .答案： .6.里约奥运会游泳小组赛采用

4、抽签方法决定运动员比赛的泳道 .在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中， 2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 _. 解析：先求出基本事件总数 n= 88A ，再求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为m= 2 72 7A A ，由此能求出 2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率 .答案： 14 .7.按如图所示的程序框图运算：若输入 x=

5、17，则输出的 x值是 _. 解析：模拟程序的运行，可得x=17， k=0执行循环体， x=35， k=1不满足条件 x 115，执行循环体， x=71， k=2不满足条件 x 115，执行循环体， x=143， k=3满足条件 x 115，退出循环，输出 x 的值为 143.答案： 143.8.设 (1+x) n=a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，若 23 13aa ，则 n=_.解析：利用二项式定理展开可得： (1+x)n=1+ 1

6、2 2 3 3n n nx x x 痧 + = a0+a1x+a2x2+a3x3+ +anxn，比较系数即可得出 .答案： 11.9.已知圆锥底面半径与球的半径都是 1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 _cm 2.解析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案 .答案： 17 .10.设 P(x， y)是曲线 C： 2 225 9x y =1 上的点， F 1(-4， 0)，

7、F2(4， 0)，则 |PF1|+|PF2|的最大值 =_.解析：先将曲线方程化简，再根据图形的对称性可知 |PF1|+|PF2|的最大值为 10.答案： 10.11.已知函数 f(x)= 2 4 31 32 8 3x x x xx ，，若 F(x)=f(x)-kx在其定义域内有 3 个零点，则实数 k _.解析：问题转化为 f(x)和 y=kx有 3个交点，画出函数 f(x)和 y=kx的图象，求出临界值，从而求出 k的范围即可 . 答案

8、： (0， 33 ).12.已知数列 an满足 a1=1， a2=3，若 |an+1-an|=2n(n N*)，且 a2n-1是递增数列、 a2n是递减数列，则 2 12lim nn naa =_.解析：依题意，可求得 a3-a2=22， a4-a3=-23，， a2n-a2n-1=-22n-1，累加求和，可得 a2n= 213 1 23 3 n ，a2n-1=a2n+22n-1= 213 1 23 6 n ；从而可求得 2 12lim nn naa 的值 .答案： - 12 .二、选择题 (本大

9、题满分 20分 )本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分 . 13.已知 a， b R，则 “ ab 0“ 是 “ b aa b 2” 的 ( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：根据充分必要条件的定义判断即可 .答案： B.14.如图，在棱长为 1 的

10、正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，点 P 在截面 A1DB 上，则线段 AP 的最小值等于 ( )A.13B. 12 C. 33D. 22解析：由已知可得 AC1 平面 A1DB，可得 P 为 AC1与截面 A1DB的垂足时线段 AP 最小，然后利用等积法求解 .答案： C. 15.若矩阵 11 1221 22a aa a 满足： a11， a12， a21， a22 0， 1，且 11 1221 22a aa a =0，则这样的互不相等的矩阵共有 ( )A.2个B.

11、6个C.8个D.10个解析：根据题意，分类讨论，考虑全为 0；全为 1；三个 0，一个 1；两个 0，两个 1，即可得出结论 .答案： D.16.解不等式 ( 12 ) x-x+ 12 0 时，可构造函数 f(x)=( 12 )x-x，由 f(x)在 x R 是减函数，及f(x) f(1)，可得 x 1.用类似的方法可求得不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0 的解集为( )A.(0， 1B.(-1， 1)C.(-1， 1D.(-1， 0)解析：

12、由题意，构造函数 g(x)=arcsinx+x 3，在 x -1， 1上是增函数，且是奇函数，不等式 arcsinx2+arcsinx+x6+x3 0可化为 g(x2) g(-x)， -1 -x x2 1， 0 x 1.答案： A.三 .解答题 (本大题满分 74分 )本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .17.如图，在正四棱锥 P-ABCD中， PA=AB=a， E 是棱 PC的中点 . (1)求证

13、： PC BD；(2)求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值 .解析： (1)推导出 PBC， PDC 都是等边三角形，从而 BE PC， DE PC，由此能证明 PCBD.(2)连接 AC，交 BD 于点 O，连 OE，则 AP OE， BOE 即为 BE 与 PA 所成的角，由此能求出直线 BE与 PA 所成角的余弦值 .答案： (1) 四边形 ABCD为正方形，且 PA=AB=a， PBC， PDC都是等边三角形， E 是棱 PC的中点， BE PC，

14、 DE PC，又 BE DE=E， PC 平面 BDE又 BD平面 BDE， PC BD(2)连接 AC，交 BD 于点 O，连 OE. 四边形 ABCD为正方形， O 是 AC的中点又 E 是 PC 的中点 OE 为 ACP的中位线， AP OE BEO即为 BE与 PA所成的角在 Rt BOE中， BE= 32 a， EO= 12 PA= 12 a， cos BEO=OEBE = 33 . 直线 BE 与 PA所成角的余弦值为 33 . 18.已知函数 F(x)= 2 12 1xxa ， (a 为实数 ).(1)

15、根据 a 的不同取值，讨论函数 y=f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若对任意的 x 1，都有 1 f(x) 3，求 a 的取值范围 .解析： (1)根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出 F(-x)的解析式，进而分 2 种情况讨论：若 y=f(x)是偶函数，若 y=f(x)是奇函数，分别求出每种情况下 a 的值，综合即可得答案；(2)根据题意，由 f(x)的

16、范围，分 2 种情况进行讨论： f(x) 1 以及 f(x) 3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得 a的值，进而综合 2种情况，可得答案 .答案： (1)函数 F(x)= 2 12 1xxa 定义域为 R，且 F(-x)= 2 12 1xxa = 21 2xxa ，若 y=f(x)是偶函数，则对任意的 x 都有 f(x)=f(-x)，即 2 12 1xxa = 21 2xxa ，即 2x(a+1)=a+1，解可得 a=-1；若 y=f(x)是奇函数

17、，则对任意的 x 都有 f(x)=-f(-x)，即 2 12 1xxa =- 21 2xxa ，即 2 x(a-1)=1-a，解可得 a=1；故当 a=-1 时， y=f(x)是偶函数，当 a=1时， y=f(x)是奇函数，当 a 1 时， y=f(x)既非偶函数也非奇函数，(2)由 f(x) 1 可得： 2 x+1 a 2x-1，即 22x a-1 当 x 1 时，函数 y1= 22x 单调递减，其最大值为 1，则必有 a 2，同理，由 f(x) 3 可得： a 2x-1 3 2x+3

18、，即 a-3 42x ，当 x 1 时， y 2= 42x 单调递减，且无限趋近于 0，故 a 3，综合可得： 2 a 3.19.上海市松江区天马山上的 “ 护珠塔 ” 因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称 “ 世界第一斜塔 ” .兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、 P点为塔尖、点 P在地面上的射影为点 H.在塔身 OP射影所在直线上选点 A，使仰

19、角 k HAP=45 ，过 O 点与 OA成 120 的地面上选 B 点，使仰角 HPB=45 (点 A、 B、 O 都在同一水平面上 )，此时测得 OAB=27 ， A与 B之间距离为 33.6米 .试求： (1)塔高 (即线段 PH 的长，精确到 0.1 米 )；(2)塔身的倾斜度 (即 PO 与 PH的夹角，精确到 0.1 ).解析： (1)由题意可知： PAH， PBH均为等腰直角三角形， AH=BH=x， HAB=27 ， AB=33.6，即可求得 x=

20、16.82cos cos27ABHAB =18.86；(2) OBH=180 -120 -2 27 =6 ， BH=18.86，由正弦定理可知：sin sinOH BHOBH BOH ， OH= 18.86 sin6sin120 =2.28 ，则倾斜角 OPH=arctanOHPH =arctan 2.2818.86 =6.89 .答案： (1)设塔高 PH=x，由题意知， HAP=45 ， HBP=45 ， PAH， PBH均为等腰直角三角形， AH=BH=x 在 AHB中， AH=BH=x， HAB=27 ， AB=33.6，

21、x= 16.82cos cos27ABHAB =18.86(2)在 BOH中， BOH=120 ， OBH=180 -120 -2 27 =6 ， BH=18.9，由 sin sinOH BHOBH BOH ，得 OH=18.86 sin6sin120 =2.28， OPH=arctanOHPH =arctan 2.2818.86 6.9 ，塔高 18.9米，塔的倾斜度为 6.9 . 20.已知双曲线 C： 2 22 2x ya b =1经过点 (2， 3)，两条渐近线的夹角为 60 ，直线 l交双曲线于 A、 B 两点 .(1)求

22、双曲线 C 的方程；(2)若 l 过原点， P为双曲线上异于 A， B的一点，且直线 PA、 PB的斜率 kPA， kPB均存在，求证： kPA kPB为定值；(3)若 l 过双曲线的右焦点 F1，是否存在 x 轴上的点 M(m， 0)，使得直线 l 绕点 F1无论怎样转动，都有 MA MB =0 成立？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用双曲线 C： 2 22 2x ya b =1经过点

23、(2， 3)，两条渐近线的夹角为 60 ，建立方程，即可求双曲线 C的方程；(2)设 M(x0， y0)，由双曲线的对称性，可得 N 的坐标，设 P(x， y)，结合题意，又由 M、 P在双曲线上，可得 y02=3x02-3， y2=3x2-3，将其坐标代入 kPM kPN中，计算可得答案 .(3)先假设存在定点 M，使 MA MB恒成立，设出 M 点坐标，根据数量级为 0，求得结论 .答案： (1)解：由题

24、意得 2 24 9 13a bba 解得 a=1， b= 3 双曲线 C的方程为 22 3yx =1； (2)证明：设 A(x0， y0)，由双曲线的对称性，可得 B(-x0， -y0).设 P(x， y)，则 kPA kPB= 2 202 0y yx x ， y02=3x02-3， y2=3x2-3， kPA kPB= 2 202 0y yx x =3(3)解：由 (1)得点 F 1为 (2， 0)当直线 l 的斜率存在时，设直线方程 y=k(x-2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)将方程 y=k(x

25、-2)与双曲线方程联立消去 y 得： (k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0， x1+x2= 224 3kk ， x1x2= 224 33kk 假设双曲线 C 上存在定点 M，使 MA MB恒成立，设为 M(m， n)则MA MB =(x 1-m)(x2-m)+k(x1-2)-nk(x2-2)-n=(k2+1)x1x2-(2k2+kn+m)(x1+x2)+m2+4k2+4kn+n2= 2 2 2 2 224 5 12 3 13m n m k nk m nk =0，故得： (m2+n2-4m-5)k2-12nk-3(m2+n2-1)=0 对

26、任意的 k2 3恒成立， 2 22 2 4 5 012 0 1 0m n mnm n ，解得 m=-1， n=0 当点 M 为 (-1， 0)时， MA MB恒成立；当直线 l 的斜率不存在时，由 A(2， 3)， B(2， -3)知点 M(-1， 0)使得 MA MB也成立 . 又因为点 (-1， 0)是双曲线 C 的左顶点，所以双曲线 C 上存在定点 M(-1， 0)，使 MA MB恒成立 .21.如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于

27、 2，则称这个数列为 “ H 型数列 ” .(1)若数列 an为 “ H型数列 ” ，且 a1= 1m -3， a2= 1m ， a3=4，求实数 m 的取值范围；(2)是否存在首项为 1的等差数列 an为 “ H型数列 ” ，且其前 n项和 Sn满足 Sn n2+n(n N*)？若存在，请求出 a n的通项公式；若不存在，请说明理由 .(3)已知等比数列 an的每一项均为正整数，且 an为 “ H 型数列 ” ， bn= 23 an， cn

28、= 51 2n nan ，当数列 bn不是 “ H 型数列 ” 时，试判断数列 cn是否为 “ H 型数列 ” ，并说明理由 .解析： (1)由题意得， a2-a1=3 2， a3-a2=4- 1m 2，即 2- 1m = 2 1mm 0，解得 m 范围即可得出 .(2)假设存在等差数列 a n为 “ H 型数列 ” ，设公差为 d，则 d 2，由 a1=1，可得： Sn=n+ 12n nd，由题意可得： n+ 12n n d n2+n 对 n N*都成立，即 d 2 1n

29、n 都成立 .解出即可判断出结论 .(3)设等比数列 an的公比为 q，则 an=a1qn-1，且每一项均为正整数，且 an+1-an=an(q-1) 2 0，可得 a n+1-an=an(q-1) an-an-1，即在数列 an-an-1(n 2)中， “ a2-a1” 为最小项 .同理在数列bn-bn-1(n 2)中， “ b2-b1” 为最小项 .由 an为 “ H 型数列 ” ，可知只需 a2-a1 2，即 a1(q-1) 2，又因为 bn不是 “ H 型数列 ” ，且

30、 “ b2-b1” 为最小项，可得 b2-b1 2，即 a1(q-1) 3，由数列 an的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4或 a1=3， q=2，通过分类讨论即可判断出结论 .答案： (1)由题意得， a2-a1=3 2， a3-a2=4- 1m 2，即 2- 1m = 2 1mm 0，解得 m 12 或 m 0. 实数 m 的取值范围时 (- ， 0) ( 12 ， + ).(2)假设存在等差数列 a n为 “ H型数列 ” ，设公差为 d，

31、则 d 2，由 a1=1，可得： Sn=n+ 12n n d，由题意可得： n+ 12n n d n2+n 对 n N*都成立，即 d 2 1nn 都成立 . 2 1nn =2+ 2 1n 2，且 2lim 1n nn =2， d 2，与 d 2矛盾，因此不存在等差数列 an为 “ H 型数列 ” .(3)设等比数列 a n的公比为 q，则 an=a1qn-1，且每一项均为正整数，且 an+1-an=an(q-1) 2 0， a1 0， q 1. an+1-an=an(q-1) an-an-1，

32、即在数列 an-an-1(n 2)中， “ a2-a1” 为最小项 .同理在数列 bn-bn-1(n 2)中， “ b2-b1” 为最小项 .由 an为 “ H 型数列 ” ，可知只需 a2-a1 2，即 a1(q-1) 2，又因为 bn不是 “ H型数列 ” ，且 “ b2-b1” 为最小项， b2-b1 2，即 a1(q-1) 3，由数列 an的每一项均为正整数，可得 a1(q-1)=3， a1=1， q=4 或 a1=3， q=2，当 a1=1 ， q=4 时， an=4n-1 ，则 c

33、n= 1 354 21 2 1n nnn n ，令 dn=cn+1-cn(n N*) ，则dn= 4 32 22 1n nn n =2n+3 1 2nn n ，令 en=dn+1-dn(n N*) ，则e n=2n+4 12 3nn n -2n+3 1 2nn n = 32 2nn 2 21 3n nn n 0， dn为递增数列，即 dn dn-1 dn-2 d1，即 cn+1-cn cn-cn-1 cn-1-cn-2 c2-c1， c2-c1= 323 -8=83 2，所以，对任意的 n N*都有 cn+1-cn 2，即数列 c n为 “ H 型数列 ” . 当 a1=3， q=2时， an=3 2n-1，则 cn= 1 532 481 2 1n nn n ，显然， cn为递减数列， c2-c1 0 2，故数列 cn不是 “ H 型数列 ” ；综上：当 an=4n-1时，数列 cn为 “ H型数列 ” ，当 an=3 2n-1时，数列 cn不是 “ H型数列 ” .

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