2014年浙江省义乌市中考真题数学及答案解析.docx

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1、2014年 浙 江 省 义 乌 市 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 )1.(3分 )在 数 1， 0， -1， -2 中 ， 最 小 的 数 是 ( )A.1B.0C.-1D.-2解 析 ： -2 -1 0 1，答 案 ： D.2.(3分 )如 图 ， 经 过 刨 平 的 木 板 上 的 两 个 点 ， 能 弹 出 一 条 笔 直 的 墨 线 ， 而 且 只 能 弹 出 一 条 墨 线 ， 能 解 释 这 一 实 际 应 用 的 数 学 知 识 是 ( )A.两 点 确 定 一 条 直 线B.两 点 之 间 线 段 最

2、短C.垂 线 段 最 短D.在 同 一 平 面 内 ， 过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 直 线 垂 直解 析 ： 经 过 刨 平 的 木 板 上 的 两 个 点 ， 能 弹 出 一 条 笔 直 的 墨 线 ， 此 操 作 的 依 据 是 两 点 确 定 一 条直 线 .答 案 ： A.3.(3分 )一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 ， 那 么 这 个 几 何 体 是 ( ) A.B.C.D. 解 析 ： 由 于 俯 视 图 为 圆 形 可 得 几 何 体 为 球 、 圆 柱 或 圆 锥 ， 再 根 据 主 视 图 和 左 视 图 可 知 几 何 体为 圆 柱

3、与 圆 锥 的 组 合 体 .答 案 ： D.4.(3分 )一 个 布 袋 里 装 有 5 个 球 ， 其 中 3 个 红 球 ， 2个 白 球 ， 每 个 球 除 颜 色 外 其 他 完 全 相 同 ，从 中 任 意 摸 出 一 个 球 ， 是 红 球 的 概 率 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 布 袋 里 装 有 5 个 球 ， 其 中 3 个 红 球 ， 2个 白 球 ， 从 中 任 意 摸 出 一 个 球 ， 则 摸 出 的 球 是 红 球 的 概 率 是 ： .答 案 ： D.5.(3分 )在 式 子 ， ， ， 中 ， x 可 以 取 2 和 3 的 是 ( )A.B. C

4、.D.解 析 ： A、 的 分 母 不 可 以 为 0， 即 x-2 0， 解 得 ： x 2， 故 A 错 误 ；B、 的 分 母 不 可 以 为 0， 即 x-3 0， 解 得 ： x 3， 故 B 错 误 ；C、 被 开 方 数 大 于 等 于 0， 即 x-2 0， 解 得 ： x 2， 则 x 可 以 取 2 和 3， 故 C正 确 ；D、 被 开 方 数 大 于 等 于 0， 即 x-3 0， 解 得 ： x 3， x不 能 取 2， 故 D 错 误 .答 案 ： C.6.(3分 )如 图 ， 点 A(t， 3)在 第 一 象 限 ， OA与 x轴 所 夹 的 锐 角 为 ， ta

5、n = ， 则 t 的 值 是 ( ) A.1B.1.5C.2D.3解 析 ： 点 A(t， 3)在 第 一 象 限 ， AB=3， OB=t，又 tan = = ， t=2.答 案 ： C. 点 评 ： 本 题 考 查 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 及 运 用 ： 在 直 角 三 角 形 中 ， 锐 角 的 正 弦 为 对 边 比 斜 边 ，7.(3分 )把 代 数 式 2x2-18分 解 因 式 ， 结 果 正 确 的 是 ( )A.2(x2-9)B.2(x-3)2C.2(x+3)(x-3)D.2(x+9)(x-9)解 析 ： 2x 2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).

6、答 案 ： C.8.(3分 )如 图 ， 将 Rt ABC 绕 直 角 顶 点 C 顺 时 针 旋 转 90 ， 得 到 A B C， 连 接 AA ， 若 1=20 ， 则 B 的 度 数 是 ( ) A.70B.65C.60 D.55解 析 ： Rt ABC绕 直 角 顶 点 C 顺 时 针 旋 转 90 得 到 A B C， AC=A C， ACA 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CAA =45 ， A B C= 1+ CAA =20 +45 =65 ，由 旋 转 的 性 质 得 B= A B C=65 .答 案 ： B.9.(3分 )如 图 是 二 次 函 数 y=-x2+2x+4

7、 的 图 象 ， 使 y 1 成 立 的 x 的 取 值 范 围 是 ( ) A.-1 x 3B.x -1C.x 1D.x -1 或 x 3解 析 ： 由 图 可 知 ， x -1或 x 3 时 ， y 1.答 案 ： D.10.(3分 )一 张 圆 心 角 为 45 的 扇 形 纸 板 和 圆 形 纸 板 按 如 图 方 式 分 别 剪 成 一 个 正 方 形 ， 边 长都 为 1， 则 扇 形 和 圆 形 纸 板 的 面 积 比 是 ( ) A.5： 4B.5： 2C. ： 2D. ：解 析 ： 如 图 1， 连 接 OD， 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 ， DCB= ABO=90

8、 ， AB=BC=CD=1， AOB=45 ， OB=AB=1， 由 勾 股 定 理 得 ： OD= = ， 扇 形 的 面 积 是 = ；如 图 2， 连 接 MB、 MC， 四 边 形 ABCD 是 M的 内 接 四 边 形 ， 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， BMC=90 ， MB=MC， MCB= MBC=45 ， BC=1， MC=MB= ， M的 面 积 是 ( )2= ， 扇 形 和 圆 形 纸 板 的 面 积 比 是 ( )= .答 案 ： A. 二 、 填 空 题 (共 6 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 满 分 24分 )11.(4分 )写 出 一 个 解 为

9、x 1的 一 元 一 次 不 等 式 .解 析 ： 解 为 x 1 的 一 元 一 次 不 等 式 有 ： x+1 2， x-1 0等 .答 案 ： x+1 2.12.(4分 )分 式 方 程 =1的 解 是 .解 析 ： 去 分 母 得 ： 2x-1=3， 解 得 ： x=2， 经 检 验 x=2 是 分 式 方 程 的 解 .答 案 ： x=2.13.(4分 )小 明 从 家 跑 步 到 学 校 ， 接 着 马 上 原 路 步 行 回 家 .如 图 是 小 明 离 家 的 路 程 y(米 )与 时间 t(分 )的 函 数 图 象 ， 则 小 明 回 家 的 速 度 是 每 分 钟 步 行

10、米 . 解 析 ： 通 过 读 图 可 知 ： 小 明 家 距 学 校 800米 ， 小 明 从 学 校 步 行 回 家 的 时 间 是 15-5=10(分 )，所 以 小 明 回 家 的 速 度 是 每 分 钟 步 行 800 10=80(米 ).答 案 ： 80.14.(4分 )小 亮 对 60名 同 学 进 行 节 水 方 法 选 择 的 问 卷 调 查 (每 人 选 择 一 项 )， 人 数 统 计 如 图 ，如 果 绘 制 成 扇 形 统 计 图 ， 那 么 表 示 “ 一 水 多 用 ” 的 扇 形 圆 心 角 的 度 数 是 . 解 析 ： 表 示 “ 一 水 多 用 ” 的 扇

11、 形 圆 心 角 的 度 数 是 360 =240 ，答 案 ： 240 .15.(4分 )如 图 ， 矩 形 ABCD中 ， AB=8， 点 E 是 AD 上 的 一 点 ， 有 AE=4， BE的 垂 直 平 分 线 交 BC 的 延 长 线 于 点 F， 连 结 EF交 CD于 点 G.若 G是 CD的 中 点 ， 则 BC 的 长 是 .解 析 ： 矩 形 ABCD 中 ， G是 CD的 中 点 ， AB=8， CG=DG= 8=4，在 DEG和 CFG中 ， ， DEG CFG(ASA)， DE=CF， EG=FG，设 DE=x， 则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2

12、x， 在 Rt DEG中 ， EG= = ， EF=2 ， FH 垂 直 平 分 BE， BF=EF， 4+2x=2 ， 解 得 x=3， AD=AE+DE=4+3=7， BC=AD=7.答 案 ： 7.16.(4分 )如 图 2是 装 有 三 个 小 轮 的 手 拉 车 在 “ 爬 ” 楼 梯 时 的 侧 面 示 意 图 ， 定 长 的 轮 架 杆 OA，OB， OC抽 象 为 线 段 ， 有 OA=OB=OC， 且 AOB=120 ， 折 线 NG-GH-HE-EF表 示 楼 梯 ， GH， EF是 水 平 线 ， NG， HE 是 铅 垂 线 ， 半 径 相 等 的 小 轮 子 A， B

13、 与 楼 梯 两 边 都 相 切 ， 且 AO GH.(1)如 图 2 ， 若 点 H在 线 段 OB时 ， 则 的 值 是 ； (2)如 果 一 级 楼 梯 的 高 度 HE=(8 +2)cm， 点 H 到 线 段 OB 的 距 离 d 满 足 条 件 d 3cm， 那 么小 轮 子 半 径 r 的 取 值 范 围 是 .解 析 ： (1)如 图 2 ， P 为 B的 切 点 ， 连 接 BP 并 延 长 ， 作 OL BP于 点 L， 交 GH于 点 M， BPH= BPL=90 ， AO GH， BL AO GH， AOB=120 ， OBL=60 ，在 RT BPH中 ， HP= BP

14、= r， ML=HP= r， OM=r， BL GH， = = = ，答 案 ： .(2)作 HD OB， P 为 切 点 ， 连 接 BP， PH的 延 长 线 交 BD延 长 线 于 点 L， LDH= LPB=90 ， LDH LPB， = ， AO PB， AOD=120 ， B=60 ， BLP=30 ， DL= DH， LH=2DH， HE=(8 +2)cm HP=8 +2-r， PL=HP+LH=8 +2-r+2DH， = ， 解 得 DH= r-4 -1， 0cm DH 3cm， 0 r-4 -1 3， 解 得 ： (11-3 )cm r 8cm.答 案 ： (11-3 )cm

15、 r 8cm. 三 、 解 答 题 (共 8 小 题 ， 满 分 66分 )17.(6分 )计 算 ： -4cos45 +( )-1+|-2|.解 析 ： 原 式 第 一 项 化 为 最 简 二 次 根 式 ， 第 二 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算 ， 第 三 项 利 用 负指 数 幂 法 则 计 算 ， 最 后 一 项 利 用 绝 对 值 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 .答 案 ： 原 式 =2 -4 +2+2=4.18.(6分 )先 化 简 ， 再 求 值 ： (x+5)(x-1)+(x-2) 2， 其 中 x=-2.解 析 ： 原 式 第 一 项 利

16、用 多 项 式 乘 以 多 项 式 法 则 计 算 ， 第 二 项 利 用 完 全 平 方 公 式 展 开 ， 去 括 号合 并 得 到 最 简 结 果 ， 将 x 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 .答 案 ： 原 式 =x2-x+5x-5+x2-4x+4=2x2-1，当 x=-2时 ，原 式 =8-1=7.19.(6分 )在 棋 盘 中 建 立 如 图 的 直 角 坐 标 系 ， 三 颗 棋 子 A， O， B的 位 置 如 图 ， 它 们 分 别 是 (-1，1)， (0， 0)和 (1， 0).(1)如 图 2， 添 加 棋 子 C， 使 A， O， B， C 四 颗 棋 子

17、 成 为 一 个 轴 对 称 图 形 ， 请 在 图 中 画 出 该 图形 的 对 称 轴 ；(2)在 其 他 格 点 位 置 添 加 一 颗 棋 子 P， 使 A， O， B， P 四 颗 棋 子 成 为 一 个 轴 对 称 图 形 ， 请 直 接 写 出 棋 子 P的 位 置 的 坐 标 .(写 出 2个 即 可 )解 析 ： (1)根 据 A， B， O， C 的 位 置 ， 结 合 轴 对 称 图 形 的 性 质 进 而 画 出 对 称 轴 即 可 ；(2)利 用 轴 对 称 图 形 的 性 质 得 出 P 点 位 置 .答 案 ： (1)如 图 2 所 示 ， C 点 的 位 置 为

18、 (-1， 2)， A， O， B， C 四 颗 棋 子 组 成 等 腰 梯 形 ， 直 线 l 为 该 图 形 的 对 称 轴 ；(2)如 图 1 所 示 ： P(0， -1)， P (-1， -1)都 符 合 题 意 . 20.(8分 )一 种 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 6人 用 餐 ， 现 把 若 干 张 这 样 的 餐 桌 按 如 图 方 式 进 行 拼接 .(1)若 把 4 张 、 8张 这 样 的 餐 桌 拼 接 起 来 ， 四 周 分 别 可 坐 多 少 人 ？(2)若 用 餐 的 人 数 有 90 人 ， 则 这 样 的 餐 桌 需 要 多 少 张 ？解 析 ：

19、(1)根 据 图 形 可 知 ， 每 张 桌 子 有 4 个 座 位 ， 然 后 再 加 两 端 的 各 一 个 ， 于 是 n 张 桌 子 就有 (4n+2)个 座 位 ； 由 此 进 一 步 求 出 问 题 即 可 ；(2)由 (1)中 的 规 律 列 方 程 解 答 即 可 .答 案 ： (1)1张 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 4+2=6 人 ，2张 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 4 2+2=10人 ， 3张 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 4 3+2=14人 ， n张 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 4n+2人 ；所 以 4张 长 方 形 餐 桌

20、的 四 周 可 坐 4 4+2=18人 ，8张 长 方 形 餐 桌 的 四 周 可 坐 4 8+2=34人 .(2)设 这 样 的 餐 桌 需 要 x 张 ， 由 题 意 得 4x+2=90， 解 得 x=22，答 ： 这 样 的 餐 桌 需 要 22张 .21.(8分 )九 (3)班 为 了 组 队 参 加 学 校 举 行 的 “ 五 水 共 治 ” 知 识 竞 赛 ， 在 班 里 选 取 了 若 干 名 学生 ， 分 成 人 数 相 同 的 甲 、 乙 两 组 ， 进 行 了 四 次 “ 五 水 共 治 ” 模 拟 竞 赛 ， 成 绩 优 秀 的 人 数 和 优秀 率 分 别 绘 制 成

21、如 图 统 计 图 . 根 据 统 计 图 ， 解 答 下 列 问 题 ： (1)第 三 次 成 绩 的 优 秀 率 是 多 少 ？ 并 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ；(2)已 求 得 甲 组 成 绩 优 秀 人 数 的 平 均 数 =7， 方 差 =1.5， 请 通 过 计 算 说 明 ， 哪 一组 成 绩 优 秀 的 人 数 较 稳 定 ？解 析 ： (1)利 用 优 秀 率 求 得 总 人 数 ， 根 据 优 秀 率 =优 秀 人 数 除 以 总 人 数 计 算 ；(2)先 根 据 方 差 的 定 义 求 得 乙 班 的 方 差 ， 再 根 据 方 差 越 小 成 绩 越 稳

22、 定 ， 进 行 判 断 .答 案 ： (1)总 人 数 ： (5+6) 55%=20(人 )，第 三 次 的 优 秀 率 ： (8+5) 20 100%=65%，第 四 次 乙 组 的 优 秀 人 数 为 ： 20 85%-8=17-8=9(人 ).补 全 条 形 统 计 图 ， 如 图 所 示 ： (2) =(6+8+5+9) 4=7，S2乙 组 = (6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(9-7)2=2.5，S2甲 组 S2乙 组 ， 所 以 甲 组 成 绩 优 秀 的 人 数 较 稳 定 .22.(10分 )【 合 作 学 习 】如 图 ， 矩 形 ABCD的 两 边 OB， OD

23、都 在 坐 标 轴 的 正 半 轴 上 ， OD=3， 另 两 边 与 反 比 例 函 数 y= (k 0)的 图 象 分 别 相 交 于 点 E， F， 且 DE=2.过 点 E作 EH x轴 于 点 H， 过 点 F作 FG EH于 点 G.回答 下 面 的 问 题 ： 该 反 比 例 函 数 的 解 析 式 是 什 么 ？ 当 四 边 形 AEGF为 正 方 形 时 ， 点 F 的 坐 标 时 多 少 ？ (1)阅 读 合 作 学 习 内 容 ， 请 解 答 其 中 的 问 题 ；(2)小 亮 进 一 步 研 究 四 边 形 AEGF的 特 征 后 提 出 问 题 ： “ 当 AE EG

24、时 ， 矩 形 AEGF与 矩 形 DOHE能 否 全 等 ？ 能 否 相 似 ？ ”针 对 小 亮 提 出 的 问 题 ， 请 你 判 断 这 两 个 矩 形 能 否 全 等 ？ 直 接 写 出 结 论 即 可 ； 这 两 个 矩 形 能 否相 似 ？ 若 能 相 似 ， 求 出 相 似 比 ； 若 不 能 相 似 ， 试 说 明 理 由 . 解 析 ： (1) 先 根 据 矩 形 的 性 质 得 到 D(2， 3)， 然 后 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 计算 出 k=6， 则 得 到 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= ； 设 正 方 形 AEGF

25、的 边 长 为 a， 则 AE=AF=6， 根 据 坐 标 与 图 形 的 关 系 得 到 B(2+a， 0)， A(2+a，3)， 所 以 F 点 坐 标 为 (2+a， 3-a)， 于 是 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 得 (2+a)(3-a)=6，然 后 解 一 元 二 次 方 程 可 确 定 a的 值 ， 从 而 得 到 F点 坐 标 ；(2)当 AE EG 时 ， 假 设 矩 形 AEGF 与 矩 形 DOHE全 等 ， 则 AE=OD=3， AF=DE=2， 则 得 到 F点 坐标 为 (3， 3)， 根 据 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的

26、 坐 标 特 征 可 判 断 点 F(3， 3)不 在 反 比 例 函 数 y= 的图 象 上 ， 由 此 得 到 矩 形 AEGF 与 矩 形 DOHE不 能 全 等 ；当 AE EG时 ， 若 矩 形 AEGF与 矩 形 DOHE相 似 ， 根 据 相 似 的 性 质 得 AE： OD=AF： DE， 即 = = ，设 AE=3t， 则 AF=2t， 得 到 F 点 坐 标 为 (2+3t， 3-2t)， 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 得 (2+3t)(3-2t)=6， 解 得 t1=0(舍 去 )， t2= ， 则 AE=3t= ，于 是 得 到 相 似

27、 比 = = .答 案 ： (1) 四 边 形 ABOD为 矩 形 ， EH x轴 ，而 OD=3， DE=2， E点 坐 标 为 (2， 3)， k=2 3=6， 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y= (x 0)； 设 正 方 形 AEGF的 边 长 为 a， 则 AE=AF=6， B点 坐 标 为 (2+a， 0)， A 点 坐 标 为 (2+a， 3)， F 点 坐 标 为 (2+a， 3-a)， 把 F(2+a， 3-a)代 入 y= 得 (2+a)(3-a)=6， 解 得 a 1=1， a2=0(舍 去 )， F 点 坐 标 为 (3， 2)；(2)当 AE EG 时 ， 矩 形

28、 AEGF 与 矩 形 DOHE不 能 全 等 .理 由 如 下 ：假 设 矩 形 AEGF 与 矩 形 DOHE全 等 ， 则 AE=OD=3， AF=DE=2， A点 坐 标 为 (5， 3)， F 点 坐 标 为 (3， 3)， 而 3 3=9 6， F 点 不 在 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 上 ， 矩 形 AEGF与 矩 形 DOHE不 能 全 等 ；当 AE EG 时 ， 矩 形 AEGF与 矩 形 DOHE 能 相 似 . 矩 形 AEGF与 矩 形 DOHE能 相 似 ， AE： OD=AF： DE， = = ，设 AE=3t， 则 AF=2t， A点 坐 标 为 (

29、2+3t， 3)， F 点 坐 标 为 (2+3t， 3-2t)，把 F(2+3t， 3-2t)代 入 y= 得 (2+3t)(3-2t)=6， 解 得 t 1=0(舍 去 )， t2= ， AE=3t= ， 相 似 比 = = = .23.(10分 )等 边 三 角 形 ABC的 边 长 为 6， 在 AC， BC 边 上 各 取 一 点 E， F， 连 接 AF， BE相 交 于点 P. (1)若 AE=CF； 求 证 ： AF=BE， 并 求 APB的 度 数 ； 若 AE=2， 试 求 AP AF的 值 ；(2)若 AF=BE， 当 点 E从 点 A 运 动 到 点 C时 ， 试 求

30、点 P经 过 的 路 径 长 .解 析 ： (1) 证 明 ABE CAF， 借 用 外 角 即 可 以 得 到 答 案 ； 利 用 勾 股 定 理 求 得 AF 的 长 度 ， 再 用 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 或 者 三 角 形 相 似 定 理 求 得 的 比 值 ， 即 可 以 得 到 答 案 .(2)当 点 F 靠 近 点 C 的 时 候 点 P 的 路 径 是 一 段 弧 ， 由 题 目 不 难 看 出 当 E 为 AC 的 中 点 的 时 候 ，点 P 经 过 弧 AB的 中 点 ， 此 时 ABP为 等 腰 三 角 形 ， 继 而 求 得 半 径 和 对 应 的

31、 圆 心 角 的 度 数 ，求 得 答 案 .点 F 靠 近 点 B 时 ， 点 P 的 路 径 就 是 过 点 B 向 AC 做 的 垂 线 段 的 长 度 ；答 案 ： (1) ABC为 等 边 三 角 形 ， AB=AC， C= CAB=60 ，又 AE=CF，在 ABE和 CAF中 ， ， ABE CAF(SAS)， AF=BE， ABE= CAF.又 APE= BPF= ABP+ BAP， APE= BAP+ CAF=60 . APB=180 - APE=120 . C= APE=60 ， PAE= CAF， APE ACF， ， 即 ， 所 以 AP AF=12. (2)若 AF=

32、BE， 有 AE=BF 或 AE=CF 两 种 情 况 . 当 AE=CF时 ， 点 P的 路 径 是 一 段 弧 ， 由 题 目 不 难 看 出 当 E 为 AC 的 中 点 的 时 候 ， 点 P 经 过弧 AB 的 中 点 ， 此 时 ABP为 等 腰 三 角 形 ， 且 ABP= ABP=30 ， AOB=120 ， 又 AB=6， OA= ， 点 P 的 路 径 是 . 当 AE=BF时 ， 点 P的 路 径 就 是 过 点 B向 AC做 的 垂 线 段 的 长 度 ； 因 为 等 边 三 角 形 ABC的 边长 为 6， 所 以 点 P 的 路 径 的 长 度 为 ： .所 以 点

33、 P 经 过 的 路 径 长 为 或 3 . 24.(12分 )如 图 ， 直 角 梯 形 ABCO的 两 边 OA， OC在 坐 标 轴 的 正 半 轴 上 ， BC x 轴 ， OA=OC=4，以 直 线 x=1为 对 称 轴 的 抛 物 线 过 A， B， C 三 点 . (1)求 该 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 ；(2)已 知 直 线 l 的 解 析 式 为 y=x+m， 它 与 x 轴 交 于 点 G， 在 梯 形 ABCO的 一 边 上 取 点 P. 当 m=0时 ， 如 图 1， 点 P 是 抛 物 线 对 称 轴 与 BC的 交 点 ， 过 点 P 作 PH 直 线 l

34、 于 点 H， 连结 OP， 试 求 OPH的 面 积 ； 当 m=-3 时 ， 过 点 P 分 别 作 x 轴 、 直 线 l 的 垂 线 ， 垂 足 为 点 E， F.是 否 存 在 这 样 的 点 P， 使以 P， E， F 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 ？ 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 .解 析 ： (1)利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；(2) 如 答 图 1， 作 辅 助 线 ， 利 用 关 系 式 S OPH=S OMH-S OMP求 解 ； 本 问 涉 及 复 杂 的

35、分 类 讨 论 ， 如 答 图 2所 示 .由 于 点 P可 能 在 OC、 BC、 BK、 AK、 OA上 ， 而 等腰 三 角 形 本 身 又 有 三 种 情 形 ， 故 讨 论 与 计 算 的 过 程 比 较 复 杂 ， 需 要 耐 心 细 致 、 考 虑 全 面 .答 案 ： (1)由 题 意 得 ： A(4， 0)， C(0， 4)， 对 称 轴 为 x=1. 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=ax2+bx+c， 则 有 ： ， 解 得 ， 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为 ： y=- x2+x+4.(2) 当 m=0时 ， 直 线 l： y=x. 抛 物 线 对 称 轴

36、 为 x=1， CP=1.如 答 图 1， 延 长 HP 交 y 轴 于 点 M， 则 OMH、 CMP均 为 等 腰 直 角 三 角 形 . CM=CP=1， OM=OC+CM=5.S OPH=S OMH-S OMP= ( OM)2- OM OP= ( 5)2- 5 1= - = ， S OPH= . 当 m=-3 时 ， 直 线 l： y=x-3.设 直 线 l 与 x 轴 、 y轴 交 于 点 G、 点 D， 则 G(3， 0)， D(-3， 0).假 设 存 在 满 足 条 件 的 点 P.a)当 点 P 在 OC 边 上 时 ， 如 答 图 2-1所 示 ， 此 时 点 E 与 点

37、O 重 合 . 设 PE=a(0 a 4)， 则 PD=3+a， PF= PD= (3+a).过 点 F作 FN y轴 于 点 N， 则 FN=PN= PF， EN=|PN-PE|=| PF-PE|.在 Rt EFN中 ， 由 勾 股 定 理 得 ： EF= = .若 PE=PF， 则 ： a= (3+a)， 解 得 a=3( +1) 4， 故 此 种 情 形 不 存 在 ； 若 PF=EF， 则 ： PF= ， 整 理 得 PE= PF， 即 a=3+a， 不 成 立 ， 故 此种 情 形 不 存 在 ；若 PE=EF， 则 ： PE= ， 整 理 得 PF= PE， 即 (3+a)= a，

38、 解 得a=3. P1(0， 3).b)当 点 P 在 BC 边 上 时 ， 如 答 图 2-2所 示 ， 此 时 PE=4. 若 PE=PF， 则 点 P为 OGD的 角 平 分 线 与 BC 的 交 点 ， 有 GE=GF， 过 点 F分 别 作 FH PE于 点 H，FK x轴 于 点 K， OGD=135 ， EPF=45 ， 即 PHF为 等 腰 直 角 三 角 形 ，设 设 GE=GF=t， 则 GK=FK=EH= t， PH=HF=EK=EG+GK=t= t， PE=PH+EH=t+ t+ t=4，解 得 t=4 -4， 则 OE=3-t=7-4 ， P2(7-4 ， 4)，c)

39、 A(4， 0)， B(2， 4)， 可 求 得 直 线 AB 解 析 式 为 ： y=-2x+8；联 立 y=-2x+8与 y=x-3， 解 得 x= ， y= .设 直 线 BC 与 直 线 l 交 于 点 K， 则 K( ， ).当 点 P在 线 段 BK上 时 ， 如 答 图 2-3所 示 . 设 P(a， 8-2a)(2 a )， 则 Q(a， a-3)， PE=8-2a， PQ=11-3a， PF= (11-3a).与 a)同 理 ， 可 求 得 ： EF= . 若 PE=PF， 则 8-2a= (11-3a)， 解 得 a=1-2 0， 故 此 种 情 形 不 存 在 ；若 PF

40、=EF， 则 PF= ， 整 理 得 PE= PF， 即 8-2a= (11-3a)，解 得 a=3， 符 合 条 件 ， 此 时 P3(3， 2)；若 PE=EF， 则 PE= ， 整 理 得 PF= PE， 即 (11-3a)= (8-2a)，解 得 a=5 ， 故 此 种 情 形 不 存 在 .d)当 点 P 在 线 段 KA 上 时 ， 如 答 图 2-4 所 示 . PE、 PF 夹 角 为 135 ， 只 可 能 是 PE=PF成 立 . 点 P 在 KGA的 平 分 线 上 .设 此 角 平 分 线 与 y 轴 交 于 点 M， 过 点 M作 MN 直 线 l于 点 N， 则 OM=MN， MD= MN，由 OD=OM+MD=3， 可 求 得 M(0， 3-3 ).又 G(3， 0)， 可 求 得 直 线 MG 的 解 析 式 为 ： y=( -1)x+3-3 .联 立 直 线 MG： y=( -1)x+3-3 与 直 线 AB： y=-2x+8， 可 求 得 ： P4(1+2 ， 6-4 ).e)当 点 P 在 OA 边 上 时 ， 此 时 PE=0， 等 腰 三 角 形 不 存 在 .综 上 所 述 ， 存 在 满 足 条 件 的 点 P， 点 P坐 标 为 ： (0， 3)、 (3， 2)、 (7-4 ， 4)、 (1+2 ，6-4 ).