2014年山东省中考模拟数学及答案解析.docx

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1、2014年 山 东 省 中 考 模 拟 数 学一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 小 题 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 ， 请 把 正确 的 选 项 选 出 来 ， 每 小 题 选 对 得 3 分 ， 选 错 、 不 选 或 选 出 的 答 案 超 过 一 个 ， 均 记 零 分 ）1.（ 3分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A. = 2B.C.D. | 2|=2解 析 ： A、 根 据 算 术 平 方 根 的 定 义 即 可 判 定 ； B、 根 据 负 整 数 指 数 幂 的 法 则 即 可 判 定 ；C、 根

2、 据 立 方 根 的 定 义 即 可 判 定 ；D、 根 据 绝 对 值 的 定 义 即 可 判 定 .答 案 ： C.2.（ 3分 ） 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）A. a3+a3=3a6B.（ a） 3（ a） 5= a8C.（ 2a2b） 34a= 24a6b3D.（ a 4b） （ a 4b） =16b2 a2解 析 ： 根 据 合 并 同 类 项 ， 只 把 系 数 相 加 减 ， 字 母 与 字 母 的 次 数 不 变 ； 同 底 数 幂 相 乘 ， 底 数不 变 指 数 相 加 ； 积 的 乘 方 ， 等 于 把 积 的 每 一 个 因 式 分 别 乘 方 ， 再 把

3、所 得 的 幂 相 乘 ， 单 项 式 的乘 法 法 则 ； 平 方 差 公 式 ， 对 各 选 项 解 析 判 断 后 利 用 排 除 法 求 解 .答 案 ： D.3.（ 3 分 ） 若 一 个 圆 锥 的 母 线 长 是 它 底 面 半 径 的 3 倍 ， 则 它 的 侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 等 于 （ ）A. 120B. 135 C. 150D. 180解 析 ： 根 据 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 扇 形 的 弧 长 等 于 圆 锥 底 面 周 长 可 得 .设 底 面 半 径 为 r， 则 母 线 为 3r，则 2 r= ，解 得 n=120.答 案 ： A.4.（

4、 3分 ） 将 y=（ 2x 1） （ x+2） +1化 成 y=a（ x+m） 2+n的 形 式 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 化 为 一 般 式 后 ， 利 用 配 方 法 先 提 出 二 次 项 系 数 ， 再 加 上 一 次 项 系 数 的 一 半 的 平 方 来凑 完 全 平 方 式 ， 把 一 般 式 转 化 为 顶 点 式 .y=（ 2x 1） （ x+2） +1=2x 2+3x 1=2（ x2+ x+ ） 1=2（ x+ ） 2 .答 案 ： C.5.（ 3分 ） 计 算 的 结 果 为 （ ）A.B. C.D.解 析 ： 先 计 算 括 号 里 的 ， 再 相 乘

5、.= = .答 案 ： A.6.（ 3 分 ） 如 图 ， 在 ABC中 ， ACB=90 ， CD AB于 D， 若 AC=2 ， AB=3 ， 则 tanBCD的 值 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 证 明 BCD= A， 求 tanA即 可 .根 据 三 角 函 数 的 定 义 求 解 .由 勾 股 定 理 知 ， c 2=a2+b2 BC= = .根 据 同 角 的 余 角 相 等 ， BCD= A. tan BCD=tan A= = .答 案 ： B.7.（ 3分 ） 如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， E是 BC的 中 点 ， F 是 CD上 一 点 ， 且 CF=

6、 CD， 下 列 结论 ： BAE=30 ， ABE AEF， AE EF， ADF ECF.其 中 正 确 的 个 数 为 （ ） A. 1B. 2C. 3D. 4解 析 ： 本 题 主 要 掌 握 相 似 三 角 形 的 定 义 ， 根 据 已 知 条 件 判 定 相 似 的 三 角 形 . 在 正 方 形 ABCD中 ， E 是 BC的 中 点 ， F 是 CD 上 一 点 ， 且 CF= CD， B= C=90 ， AB： EC=BE： CF=2： 1. ABE ECF. AB： EC=AE： EF， AEB= EFC. BE=CE， FEC+ EFC=90 ， AB： AE=BE：

7、EF， AEB+ FEC=90 . AEF= B=90 . ABE AEF， AE EF. 正 确 .答 案 ： B.8.（ 3分 ） 如 图 ， ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ACB=90度 .曲 线 CDEF 叫 做 “ 等 腰 直 角 三角 形 的 渐 开 线 ” ， 其 中 ， ， ， 的 圆 心 依 次 按 A， B， C 循 环 .如 果 AC=1， 那 么 曲 线CDEF和 线 段 CF围 成 图 形 的 面 积 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 曲 线 CDEF 和 线 段 CF围 成 图 形 的 面 积 为 半 径 分 别 为 1， +1， +2， 圆

8、 心 角 分 别为 135 ， 135 ， 90 的 扇 形 以 及 ABC组 成 的 ， 代 入 扇 形 面 积 公 式 相 加 即 可 .曲 线 CDEF 和 线 段 CF围 成 图 形 的 面 积 是 由 三 个 圆 心 不 同 ， 半 径 不 同 的 扇 形 以 及 ABC组 成 ，所 以 根 据 面 积 公 式 可 得 ： +1 1 2= .答 案 ： C.9.（ 3 分 ） 已 知 三 点 P1（ x1， y1） ， P2（ x2， y2） ， P3（ 1， 2） 都 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ，若 x1 0， x2 0， 则 下 列 式 子 正 确 的 是 （ ）A

9、. y 1 y2 0B. y1 0 y2C. y1 y2 0D. y1 0 y2解 析 ： 根 据 k=xy 即 横 纵 坐 标 相 乘 得 比 例 系 数 k， 再 由 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 即可 解 答 . 点 P 3（ 1， 2） 都 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ， k=1 （ 2） = 2 0，函 数 图 象 在 二 ， 四 象 限 ，又 x1 0， x2 0， P1在 第 二 象 限 ， P2在 第 四 象 限 ， y1 0， y2 0， y1 0 y2.答 案 ： D.10.（ 3分 ） （ 2007泰 安 ） 半 径 分 别 为 13

10、和 15 的 两 圆 相 交 ， 且 公 共 弦 长 为 24， 则 两 圆 的 圆心 距 为 （ ）A. 或 14 B. 或 4C. 14D. 4或 14解 析 ： 利 用 了 连 心 线 垂 直 平 分 公 共 弦 ， 勾 股 定 理 求 解 ， 注 意 两 圆 相 交 的 情 况 有 两 种 情 况 .如 图 ， 圆 A与 圆 B 相 交 于 点 C， D， CD 与 AB交 于 点 E， AC=15， BC=13，由 于 连 心 线 AB 垂 直 平 分 CD， 有 CE=12， ACE， BCE是 直 角 三 角 形 ，由 勾 股 定 理 得 ， AE=9， BE=5， 而 两 圆

11、相 交 的 情 况 有 两 种 ， 当 为 左 图 时 ， AB=AE BE=9 5=4，当 为 右 图 时 ， AB=AE+BE=14.答 案 ： D.11.（ 3分 ） 若 x1， x2是 方 程 x2 2x 4=0的 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 代 数 式 2x12 2x1+x22+3的 值 是 （ ）A. 19B. 15C. 11D.3解 析 ： 欲 求 2x 12 2x1+x22+3的 值 ， 先 把 此 代 数 式 变 形 为 两 根 之 积 或 两 根 之 和 的 形 式 ， 代 入数 值 计 算 即 可 . x1， x2是 方 程 x2 2x 4=0的 两 个

12、不 相 等 的 实 数 根 . x12 2x1=4， x1x2= 4， x1+x2=2. 2x12 2x1+x22+3=x12 2x1+x12+x22+3=x12 2x1+（ x1+x2） 2 2x1x2+3=4+4+8+3=19.答 案 ： A. 12.（ 3分 ） （ 2007泰 安 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 边 长 为 2cm的 正 方 形 ， 动 点 P 在 ABCD的 边上 沿 A B C D 的 路 径 以 1cm/s 的 速 度 运 动 （ 点 P 不 与 A， D重 合 ） .在 这 个 运 动 过 程 中 ， APD的 面 积 S（ cm） 2随 时 间 t（

13、s） 的 变 化 关 系 用 图 象 表 示 ， 正 确 的 为 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 本 题 考 查 动 点 函 数 图 象 的 问 题 .点 P 在 AB 上 运 动 时 ， APD的 面 积 S 将 随 着 时 间 的 增 多 而 不 断 增 大 ， 排 除 C.点 P 在 BC 上 运 动 时 ， APD的 面 积 S 将 随 着 时 间 的 增 多 而 不 再 变 化 ， 应 排 除 A， D.答 案 ： B.二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 满 分 21分 .只 要 求 填 写 最 后 结 果 ， 每 小 题 填 对 得 3分 ）13.（ 3分

14、 ） 方 程 （ x+2） （ x+3） =20的 解 是 .解 析 ： 此 题 很 容 易 出 错 ， 解 题 时 要 注 意 方 程 右 边 为 0才 可 用 因 式 分 解 法 ， 因 此 解 此 题 时 先要 变 形 ： （ x+2） （ x+3） 20=0， 再 化 简 得 ： x 2+5x 14=0， 用 因 式 分 解 法 即 可 求 得 . （ x+2） （ x+3） =20， （ x+2） （ x+3） 20=0， x2+5x 14=0，即 （ x 2） （ x+7） =0解 得 x1=2， x2= 7.答 案 ： 2或 714.（ 3分 ） 如 图 ， ABE和 ACD是

15、ABC分 别 沿 着 AB， AC边 翻 折 180 形 成 的 ， 若 BAC=150 ，则 的 度 数 是 度 . 解 析 ： 解 题 关 键 是 把 所 求 的 角 转 移 成 与 已 知 角 有 关 的 角 .根 据 对 顶 角 相 等 ， 翻 折 得 到 的 E= ACB可 得 到 = EAC， ABE和 ACD是 ABC分 别 沿 着 AB， AC边 翻 折 180 形 成 的 ， BAC=150 ， DAC= BAE= BAC=150 . DAE= DAC+ BAE+ BAC 360 =150 +150 +150 360 =90 . = EAC= DAC DAE=60 .答 案

16、： 60.15.（ 3分 ） 若 关 于 x的 不 等 式 组 有 解 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .权 所 有解 析 ： 解 出 不 等 式 组 的 解 集 ， 根 据 已 知 不 等 式 组 有 解 比 较 ， 可 求 出 a的 取 值 范 围 .由 （ 1） 得 x 2，由 （ 2） 得 x ， 不 等 式 组 有 解 ， 解 集 应 是 2 x ， 则 2，即 a 4实 数 a的 取 值 范 围 是 a 4.答 案 ： a 4. 16.（ 3分 ） 如 图 所 示 ， M 与 x 轴 相 交 于 点 A（ 2， 0） ， B（ 8， 0） ， 与 y 轴 相 切 于 点

17、 C， 则 圆心 M 的 坐 标 是 . 解 析 ： 连 接 AM， 作 MN x 轴 于 点 N， 则 根 据 垂 径 定 理 即 可 求 得 AN 的 长 ， 从 而 球 儿 ON 的 长 ，即 圆 的 半 径 ， 然 后 在 直 角 AMN中 ， 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 得 MN的 长 ， 则 M 的 坐 标 即 可 求 出 .连 接 AM， 作 MN x 轴 于 点 N.则 AN=BN. 点 A（ 2， 0） ， B（ 8， 0） ， OA=2， OB=8， AB=OB OA=6. AN=BN=3. ON=OA+AN=2+3=5， 则 M的 横 坐 标 是 5， 圆 的 半

18、 径 是 5.在 直 角 AMN中 ， MN= = =4，则 M 的 纵 坐 标 是 4.故 M 的 坐 标 是 （ 5， 4） . 答 案 ： （ 5， 4）17.（ 3分 ） 如 图 ， 图 1， 图 2， 图 3， 是 用 围 棋 棋 子 摆 成 的 一 列 具 有 一 定 规 律 的 “ 山 ” 字 .则 第 n个 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 .解 析 ： 由 题 目 得 ， 第 1 个 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 7； 第 2个 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 12；第 3 个 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 17； 第 4 个

19、 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 22； 进 一 步 发 现 规 律 ：第 n 个 “ 山 ” 字 中 的 棋 子 个 数 是 5n+2.答 案 ： 5n+2. 18.（ 3分 ） 如 图 ， 一 游 人 由 山 脚 A 沿 坡 角 为 30 的 山 坡 AB行 走 600m， 到 达 一 个 景 点 B， 再由 B 沿 山 破 BC 行 走 200m到 达 山 顶 C， 若 在 山 顶 C 处 观 测 到 景 点 B的 俯 角 为 45 ， 则 山 高CD等 于 m.（ 结 果 用 根 号 表 示 ） 版 权 所 有解 析 ： 解 此 题 时 需 两 次 用 到 三 角 函 数

20、， 即 求 出 ED 和 CE后 相 加 即 可 .过 B 作 BF AD 于 F， BE CD 于 E， 如 图 ， 在 山 顶 C处 观 测 到 景 点 B 的 俯 角 为 45 ， BEC为 等 腰 直 角 三 角 形 ，而 BC=200m， CE= BC=100 m； A=30 ， AB=600m， BF= AB=300m， CD=CE+ED=（ 100 +300） m. 答 案 ： (300+100 ） .19.（ 3分 ） 为 确 保 信 息 安 全 ， 信 息 需 加 密 传 输 ， 发 送 方 由 明 文 密 文 （ 加 密 ） ， 接 收 方 由 密文 明 文 （ 解 密 ）

21、 .已 知 加 密 规 则 为 ： 明 文 x， y， z 对 应 密 文 2x+3y， 3x+4y， 3z.例 如 ： 明文 1， 2， 3 对 应 密 文 8， 11， 9.当 接 收 方 收 到 密 文 12， 17， 27 时 ， 则 解 密 得 到 的 明 文 为 .解 析 ： 建 立 关 于 x， y， z 的 三 元 一 次 方 程 组 ， 求 解 即 可 .根 据 题 意 列 方 程 组 得 ： ，解 得 . 答 案 ： 3， 2， 9. 三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 7 小 题 ， 满 分 63分 .解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明 、 证 明 过 程

22、 或 推 演步 骤 ）20.（ 6分 ） 灌 云 县 实 验 中 学 为 了 解 毕 业 年 级 800名 学 生 每 学 期 参 加 社 会 实 践 活 动 的 时 间 ，随 机 对 该 年 级 60名 学 生 每 学 期 参 加 社 会 实 践 活 动 的 时 间 进 行 了 统 计 ， 结 果 如 下 表 ：（ 1） 补 全 右 面 的 频 率 分 布 表 ； （ 2） 请 你 估 算 这 所 学 校 该 年 级 的 学 生 中 ， 每 学 期 参 加 社 会 实 践 活 动 的 时 间 大 于 7 天 的 约 有多 少 人 ？解 析 ： 由 统 计 表 可 以 看 出 ： 7.5 9.

23、5的 频 数 为 8+13=21， 频 率 为 21 60=0.35； 9.5 11.5的 频 数 为 8+7=15， 频 率 为 15 60=0.25； 所 学 校 该 年 级 的 学 生 中 ， 每 学 期 参 加 社 会 实 践 活 动的 时 间 大 于 7 天 的 约 有 800 =560.答 案 ： （ 1） 补 全 频 数 分 布 表 ： （ 2） 每 学 期 参 加 社 会 实 践 活 动 的 时 间 大 于 7天 的 人 数 =800 =560人 .21.（ 8分 ） 如 图 ， 在 梯 形 ABCD中 ， AD BC， 对 角 线 BD平 分 ABC， BAD的 平 分 线

24、AE交BC于 E， F， G 分 别 是 AB， AD 的 中 点 .（ 1） 求 证 ： EF=EG；（ 2） 当 AB与 EC满 足 怎 样 的 数 量 关 系 时 ， EG CD？ 并 说 明 理 由 . 解 析 ： 1、 易 证 得 ABD是 等 腰 三 角 形 ， 再 由 SAS证 得 AFE AGEEF=EG.2、 若 EG CD， 则 四 边 形 GDCE为 平 行 四 边 形 ， 则 应 有 CE=GD= AD= AB.答 案 ： （ 1） 证 明 ： AD BC， DBC= ADB.又 ABD= DBC， ABD= ADB. AB=AD.又 AF= AB， AG= AD， A

25、F=AG.又 BAE= DAE， AE=AE， AFE AGE. EF=EG.（ 2） 解 ： 当 AB=2EC时 ， EG CD，证 明 ： AB=2EC， AD=2EC. GD= AD=EC.又 GD EC， 四 边 形 GECD 是 平 行 四 边 形 . EG CD.22.（ 9分 ） 某 书 店 老 板 去 图 书 批 发 市 场 购 买 某 种 图 书 .第 一 次 用 1200元 购 书 若 干 本 ， 并 按该 书 定 价 7元 出 售 ， 很 快 售 完 .由 于 该 书 畅 销 ， 第 二 次 购 书 时 ， 每 本 书 的 批 发 价 已 比 第 一 次 提 高 了 20

26、%， 他 用 1500元 所 购 该 书 数 量 比 第 一 次 多 10本 .当 按 定 价 售 出 200本 时 ， 出 现 滞销 ， 便 以 定 价 的 4折 售 完 剩 余 的 书 .试 问 该 老 板 这 两 次 售 书 总 体 上 是 赔 钱 了 ， 还 是 赚 钱 了 （ 不考 虑 其 它 因 素 ） ？ 若 赔 钱 ， 赔 多 少 ？ 若 赚 钱 ， 赚 多 少 ？解 析 ： 先 考 虑 购 书 的 情 况 ， 设 第 一 次 购 书 的 单 价 为 x元 ， 则 第 二 次 购 书 的 单 价 为 1.2x 元 ，第 一 次 购 书 款 1200元 ， 第 二 次 购 书 款

27、 1500元 ， 第 一 次 购 书 数 目 ， 第 二 次 购 书 数 目 ，第 二 次 购 书 数 目 多 10本 .关 系 式 是 ： 第 一 次 购 书 数 目 +10=第 二 次 购 书 数 目 .再 计 算 两 次 购 书 数 目 ， 赚 钱 情 况 ： 卖 书 数 目 （ 实 际 售 价 当 次 进 价 ） ， 两 次 合 计 ， 就 可 以回 答 问 题 了 .答 案 ： 解 ： 设 第 一 次 购 书 的 单 价 为 x元 ， 第 二 次 每 本 书 的 批 发 价 已 比 第 一 次 提 高 了 20%， 第 二 次 购 书 的 单 价 为 1.2x 元 . 根 据 题 意

28、 得 ： .（ 4 分 ）解 得 ： x=5.经 检 验 ， x=5是 原 方 程 的 解 .（ 6 分 ） 所 以 第 一 次 购 书 为 1200 5=240（ 本 ） .第 二 次 购 书 为 240+10=250（ 本 ） .第 一 次 赚 钱 为 240 （ 7 5） =480（ 元 ） .第 二 次 赚 钱 为 200 （ 7 5 1.2） +50 （ 7 0.4 5 1.2） =40（ 元 ） .所 以 两 次 共 赚 钱 480+40=520（ 元 ） （ 8 分 ） .答 ： 该 老 板 两 次 售 书 总 体 上 是 赚 钱 了 ， 共 赚 了 520元 .（ 9分 ）23

29、.（ 9分 ） 如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC， 以 AB 为 直 径 的 圆 O 交 BC 于 点 D， 交 AC于 点 E， 过点 D 作 DF AC， 垂 足 为 F.（ 1） 求 证 ： DF为 O 的 切 线 ；（ 2） 若 过 A 点 且 与 BC平 行 的 直 线 交 BE 的 延 长 线 于 G 点 ， 连 接 CG.当 ABC 是 等 边 三 角 形 时 ，求 AGC的 度 数 . 解 析 ： （ 1） 连 接 AD， OD， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 平 行 线 的 性 质 ， 可 得 DF OD， 故 得 到证 明 ；（ 2） 根 据 题 意

30、， ABC 是 等 边 三 角 形 ， 可 得 BG 是 AC 的 垂 直 平 分 线 ， 再 根 据 平 行 线 的 性 质 ，可 得 ACG是 等 边 三 角 形 ， 故 AGC=60 .答 案 ： （ 1） 证 明 ： 连 接 AD， OD， AB 是 O的 直 径 ， AD BC.（ 2 分 ） ABC是 等 腰 三 角 形 ， BD=DC，又 AO=BO， OD 是 ABC的 中 位 线 ， OD AC. DF AC， （ 4 分 ） DF OD， DF 是 O的 切 线 .（ 5 分 ）（ 2） 解 ： AB是 O 的 直 径 ， BG AC. ABC是 等 边 三 角 形 ， B

31、G 是 AC的 垂 直 平 分 线 ， GA=GC.（ 7 分 ）又 AG BC， ACB=60 ， CAG= ACB=60 . ACG是 等 边 三 角 形 . AGC=60 .（ 9 分 ） 24.（ 9分 ） 市 园 林 处 为 了 对 一 段 公 路 进 行 绿 化 ， 计 划 购 买 A， B 两 种 风 景 树 共 900棵 .A， B两 种 树 的 相 关 信 息 如 下 表 ：若 购 买 A 种 树 x棵 ， 购 树 所 需 的 总 费 用 为 y元 .（ 1） 求 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 ；（ 2） 若 购 树 的 总 费 用 不 超 过 82 000元

32、， 则 购 A种 树 不 少 于 多 少 棵 ？（ 3） 若 希 望 这 批 树 的 成 活 率 不 低 于 94%， 且 使 购 树 的 总 费 用 最 低 ， 应 选 购 A， B 两 种 树 各 多少 棵 ？ 此 时 最 低 费 用 为 多 少 ？解 析 ： （ 1） 根 据 购 树 的 总 费 用 =买 A 种 树 的 费 用 +买 B种 树 的 费 用 ， 化 简 后 便 可 得 出 y与 x的 函 数 关 系 式 ； （ 2） 根 据 （ 1） 得 到 的 关 系 式 ， 然 后 将 所 求 的 条 件 代 入 其 中 ， 然 后 判 断 出 购 买 A 种 树 的 数 量 ；（

33、3） 先 用 A 种 树 的 成 活 的 数 量 +B种 树 的 成 活 的 数 量 树 的 总 量 平 均 成 活 率 来 判 断 出 x 的取 值 ， 然 后 根 据 函 数 的 性 质 判 断 出 最 佳 的 方 案 .答 案 ： 解 ： （ 1） y=80 x+100（ 900 x）= 20 x+90000（ 0 x 900且 为 整 数 ） ；（ 2） 由 题 意 得 ： 20 x+90000 82000，解 得 ： x 400，又 因 为 计 划 购 买 A， B 两 种 风 景 树 共 900棵 ，所 以 x 900，即 购 A种 树 为 ： 400 x 900且 为 整 数 .

34、（ 3） 92%x+98%（ 900 x） 94% 900 92x+98 900 98x 94 900 6x 4 900 x 600 y= 20 x+90000 随 x 的 增 大 而 减 小 . 当 x=600时 ， 购 树 费 用 最 低 为 y= 20 600+90000=78000（ 元 ） .当 x=600 时 ， 900 x=300， 此 时 应 购 A 种 树 600棵 ， B 种 树 300棵 .25.（ 10分 ） 如 图 ， 在 OAB 中 ， B=90 ， BOA=30 ， OA=4， 将 OAB绕 点 O按 逆 时 针方 向 旋 转 至 OA B ， C点 的 坐 标

35、为 （ 0， 4） .（ 1） 求 A 点 的 坐 标 ； （ 2） 求 过 C， A ， A 三 点 的 抛 物 线 y=ax2+bx+c的 解 析 式 ；（ 3） 在 （ 2） 中 的 抛 物 线 上 是 否 存 在 点 P， 使 以 O， A， P 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 直 角 三 角 形 ？若 存 在 ， 求 出 所 有 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 由 题 意 可 知 ， A OA 的 度 数 和 旋 转 角 的 度 数 相 同 ， 可 过 A 作 x轴 的 垂 线 ，在 构 建 的 直 角 三 角 形 中

36、 可 根 据 OA 的 长 和 A OA 的 度 数 求 出 A 的 坐 标 ；（ 2） 已 知 了 C， A ， A 三 点 的 坐 标 ， 可 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 3） 本 题 要 分 三 种 情 况 进 行 讨 论 ： 以 O为 直 角 顶 点 ， OA=OP=4， 而 OC=4， 那 么 此 时 C点 和 P 点 重 合 ， 因 此 P点 的 坐 标 即 为 C点 的 坐 标 . 以 A为 直 角 顶 点 ， 那 么 P 点 的 坐 标 必 为 （ 4， 4） 或 （ 4， 4） .可 将 这 两 个 坐 标 代 入 抛 物线 的 解 析

37、式 中 判 定 其 是 否 在 抛 物 线 上 即 可 . 以 P 为 直 角 顶 点 ， 那 么 P点 在 OA 的 垂 直 平 分 线 上 ， 且 P 点 的 坐 标 为 （ 2， 2） 或 （ 2， 2）然 后 按 的 方 法 进 行 求 解 即 可 .答 案 ： 解 ： （ 1） 过 点 A 作 A D垂 直 于 x轴 ， 垂 足 为 D， 则 四 边 形 OB A D 为 矩 形 .在 A DO中 ， A D=OA sin A OD=4 sin60 =2 ，OD=A B =AB=2， 点 A 的 坐 标 为 （ 2， 2 ） ；（ 2） C（ 0， 4） 在 抛 物 线 上 ， c=

38、4， y=ax2+bx+4， A（ 4， 0） ， A （ 2， 2 ） ， 在 抛 物 线 y=ax2+bx+4 上 ， ，解 之 得 ， 所 求 解 析 式 为 y= +（ 2 3） x+4；（ 3） 若 以 点 O为 直 角 顶 点 ， 由 于 OC=OA=4， 点 C 在 抛 物 线 上 ， 则 点 P（ 0， 4） 为 满 足 条 件的 点 . 若 以 点 A为 直 角 顶 点 ， 则 使 PAO为 等 腰 直 角 三 角 形 的 点 P的 坐 标 应 为 （ 4， 4） 或 （ 4， 4） ， 代 入 抛 物 线 解 析 式 中 知 此 两 点 不 在 抛 物 线 上 . 若 以

39、点 P为 直 角 顶 点 ， 则 使 PAO为 等 腰 直 角 三 角 形 的 点 P的 坐 标 应 为 （ 2， 2） 或 （ 2， 2） ， 代 入 抛 物 线 解 析 式 中 知 此 两 点 不 在 抛 物 线 上 .综 上 述 在 抛 物 线 上 只 有 一 点 P（ 0， 4） 使 OAP 为 等 腰 直 角 三 角 形 . 26.（ 12分 ） 如 图 ， 在 ABC 中 ， BAC=90 ， AD是 BC 边 上 的 高 ， E 是 BC 边 上 的 一 个 动 点（ 不 与 B， C 重 合 ） ， EF AB， EG AC， 垂 足 分 别 为 F， G.（ 1） 求 证 ：

40、 ；（ 2） FD与 DG 是 否 垂 直 ？ 若 垂 直 ， 请 给 出 证 明 ； 若 不 垂 直 ， 请 说 明 理 由 ；（ 3） 当 AB=AC 时 ， FDG为 等 腰 直 角 三 角 形 吗 ？ 并 说 明 理 由 . 解 析 ： （ 1） 由 比 例 线 段 可 知 ， 我 们 需 要 证 明 ADC EGC， 由 两 个 角 对 应 相 等 即 可 证 得 ；（ 2） 由 矩 形 的 判 定 定 理 可 知 ， 四 边 形 AFEG为 矩 形 ， 根 据 矩 形 的 性 质 及 相 似 三 角 形 的 判 定 可得 到 AFD CGD， 从 而 不 难 得 到 结 论 ；（

41、3） 是 ， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 即 可 求 得 .答 案 ： （ 1） 证 明 ： 在 ADC和 EGC中 ， ADC= EGC， C= C， ADC EGC. .（ 3分 ）（ 2） 解 ： FD与 DG 垂 直 .（ 4 分 ）证 明 如 下 ：在 四 边 形 AFEG 中 ， FAG= AFE= AGE=90 ， 四 边 形 AFEG 为 矩 形 . AF=EG. ， .（ 6分 ）又 ABC为 直 角 三 角 形 ， AD BC， FAD= C=90 DAC， AFD CGD. ADF= CDG.（ 8分 ） CDG+ ADG=90 ， ADF+ ADG=90 .即 FDG=90 . FD DG.（ 10分 ） （ 3） 解 ： 当 AB=AC 时 ， FDG为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 理 由 如 下 ： AB=AC， BAC=90 ， AD=DC. AFD CGD， . FD=DG. FDG=90 ， FDG为 等 腰 直 角 三 角 形 .（ 12 分 ）