2013年湖北省荆州市中考真题数学.docx

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1、2013 年湖北省荆州市中考真题数学 一 .选择题： 1.(3 分 )下列等式成立的是 ( ) A. |-2|=2 B. ( -1)0=0 C. (- )-1=2 D. -(-2)=-2 解析： A、 |-2|=2，计算正确，故本选项正确； B、 ( -1)0=1，原式计算错误，故本选项错误； C、 (- )-1=-2，原式计算错误，故本选项错误； D、 -(-2)=2，原式计算错误，故本选项错误； 答案： A. 2.(3 分 )如图， ABCD ， ABE=60 ， D=50 ，则 E 的度数为 ( ) A. 30 B. 20 C. 10 D. 40 解析： ABCD ， CFE=ABE=6

2、0 ， D=50 ， E=CFE -D=10. 答案： C. 3.(3 分 )解分式方程 时，去分母后可得到 ( ) A. x(2+x)-2(3+x)=1 B. x(2+x)-2=2+x C. x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x) D. x-2(3+x)=3+x 解析： 方程两边都乘以 (3+x)(2+x)，则 x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x). 答案： C. 4.(3 分 )计算 的结果是 ( ) A. + B. C. D. - 解析： 原式 =4 +3 -2 = . 答案： B. 5.(3 分 )四川雅安发生地震灾害后，某中学九 (1)班学生积极捐款献爱心，如图

3、是该班 50 名学生的捐款情况统计，则他们捐款金额的众数和中位数分别是 ( ) A. 20， 10 B. 10， 20 C. 16， 15 D. 15， 16 解析： 10 出现了 16 次，出现的次数最多， 他们捐款金额的众数是 10； 共有 50 个数， 中位数是第 25、 26 个数的平均数， 中位数是 (20+20)2=20 ； 答案： B. 6.(3 分 )如图，在 ABC 中， BC AC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC， ACB 的平分线 CE交 AD 于E，点 F 是 AB 的中点，则 SAEF ： S 四边形 BDEF为 ( ) A. 3： 4 B. 1： 2 C. 2

4、： 3 D. 1： 3 解析： DC=AC ， ADC 是等腰三角形， ACB 的平分线 CE 交 AD 于 E， E 为 AD 的中点 (三线合一 )， 又 点 F 是 AB 的中点， EF 为 ABD 的中位线， EF= BD， AFEABD ， S AFE ： SABD =1： 4， S AFE ： S 四边形 BDEF=1： 3， 答案： D. 7.(3 分 )体育课上， 20 人一组进行足球比赛，每人射点球 5 次，已知某一组的进球总数为49 个，进球情况记录如下表，其中进 2 个球的有 x 人，进 3 个球的有 y 人，若 (x， y)恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式

5、是 ( ) A. y=x+9 与 y= x+ B. y=-x+9 与 y= x+ C. y=-x+9 与 y=- x+ D. y=x+9 与 y=- x+ 解析： 根据进球总数为 49 个得： 2x+3y=49-5-34 -25=22 ，整理得： y=- x+ ， 20 人一组进行足球比赛， 1+5+x+y+3+2=20 ，整理得： y=-x+9. 答案： C. 8.(3分 )如图，将含 60 角的直角三角板 ABC绕顶点 A顺时针旋转 45 度后得到 ABC ，点 B 经过的路径为弧 BB ，若 BAC=60 ， AC=1，则图中阴影部分的面积是 ( ) A. B. C. D. 解析： 如图

6、， 在 RtABC 中， ACB=90 ， BAC=60 ， AC=1， BC=ACtan60=1 = ， AB=2S ABC = ACBC= . 根据旋转的性质知 ABCABC ，则 SABC =SABC ， AB=AB. S 阴影 =S 扇形 ABB +SABC -SABC = = . 答案： A. 9.(3 分 )将一边长为 2 的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是 ( ) A. 1 B. C. D. 解析： 最小的一个面是等腰直角三角形，它的两条直角边都是 22=1 ， 112= . 故三棱锥四个面中最小的面积是 . 答案

7、： C. 10.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-3x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B两点，以AB 为边在第一象限作正方形 ABCD，点 D 在双曲线 (k0 )上 .将正方形沿 x 轴负方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在该双曲线上，则 a 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 作 CEy 轴于点 E，交双曲线于点 G.作 DFx 轴于点 F. 在 y=-3x+3 中，令 x=0，解得： y=3，即 B 的坐标是 (0， 3). 令 y=0，解得： x=1，即 A 的坐标是 (1， 0).则 OB=3， OA=1. BAD=90

8、， BAO+DAF=90 ， 又 直角 ABO 中， BAO+OBA=90 ， DAF=OBA ， 在 OAB 和 FDA 中， ， OABFDA(AAS) ， 同理， OABFDABEC ， AF=OB=EC=3 ， DF=OA=BE=1， 故 D 的坐标是 (4， 1)， C 的坐标是 (3， 4).代入 y= 得： k=4，则函数的解析式是： y= .OE=4 ， 则 C 的纵坐标是 4，把 y=4 代入 y= 得： x=1.即 G的坐标是 (1， 4)， CG=2. 答案： B. 二 .填空题 11.(3 分 )分解因式： a3-ab2= . 解析： a3-ab2=a(a2-b2)=a

9、(a+b)(a-b). 答案： a(a+b)(a-b) 12.(3 分 )如图，在高度是 21 米的小山 A 处测得建筑物 CD 顶部 C 处的仰角为 30 ，底部 D处的俯角为 45 ，则这个建筑物的高度 CD= 米 (结果可保留根号 ) 解析： 作 AECD 于点 E. 在直角 ABD 中， ADB=45 ， DE=AE=BD=AB=21( 米 )， 在直角 AEC 中， CE=AEtanCAE=21 =7 (米 ).则 CD=(21+7 )米 . 答案： 21+7 . 13.(3 分 )如图，是一个 44 的正方形网格，每个小正方形的边长为 1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通

10、过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足： 既是轴对称图形，又是以点 O 为对称中心的中心对称图形； 所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为 4. 答案： 如图所示：答案不唯一 . 14.(3 分 )如图， ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在 ABC 内作第 1 个内接正方形 A1B1D1E1(D1、 E1在 AB 上， A1、 B1分别在 AC、 BC 上 )，再在 A 1B1C 内接同样的方法作第 2个内接正方形 A2B2D2E2， 如此下去，操作 n 次，则第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长是 . 解析： A=B=45 ， AE 1=A1E=A1B1

11、=B1D1=D1B， 第一个内接正方形的边长 = AB=1； 同理可得：第二个内接正方形的边长 = A1B1= AB= ； 第三个内接正方形的边长 = A2B2= AB= ； 故可推出第 n 个小正方形 AnBnDnEn 的边长 = AB= . 答案： . 15.(3 分 )若根式 有意义，则双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第 象限 . 解析： 根据题意得， 2-2k 0， 2k -2 0， 反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限， 抛物线 y=x2+2x+2-2k 的对称轴为直线 x=- =-1， 与 y 轴的交点为 (0， 2-2k)，在 y 轴正半轴， 抛物线

12、 y=x2+2x+2-2k 的图象不经过第四象限， 双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第二象限 . 答案： 二 . 16.(3 分 )如图，在实数范围内规定新运算 “” ，其规则是： ab=2a -b.已知不等式 xk1的解集在数轴上，则 k 的值是 . 解析： 根据图示知，已知不等式的解集是 x -1.则 2x-1 -3， xk=2x -k1 ， k2x -1 -3， k= -3. 答案： k=-3. 17.(3 分 )如图， ACE 是以 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形，点 C 与点 E 关于 x 轴对称 .若 E 点的坐标是 (7， -3 )，则 D

13、点的坐标是 . 解析： 点 C 与点 E 关于 x 轴对称， E 点的坐标是 (7， -3 )， C 的坐标为 (7， 3 )， CH=3 ， CE=6 ， ACE 是以 ABCD 的对角线 AC 为边的等边三角形， AC=6 ， AH=9 ， OH=7 ， AO=DH=2 ， OD=5 ， D 点的坐标是 (5， 0)， 答案： (5， 0). 18.(3 分 )如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A 1C1D1，连结 AD1、 BC1.若 ACB=30 ， AB=1， CC1=x， ACD 与 A 1C1D1重叠部分的面积为 s，则下列结论：

14、 A 1AD1CC 1B； 当 x=1 时，四边形 ABC1D1是菱形； 当 x=2 时， BDD 1为等边三角形； s= (x-2)2 (0 x 2)； 其中正确的是 (填序号 ). 解析： 四边形 ABCD 为矩形， BC=AD ， BCAD ， DAC=ACB ， 把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A 1C1D1， A 1=DAC ， A1D1=AD， AA1=CC1， 在 A 1AD1与 CC 1B 中， ， A 1AD1CC 1B(SAS)，故 正确； ACB=30 ， CAB=60 ， AB=1 ， AC=2 ， x=1 ， AC 1=1， AC 1B 是等边三角形， AB=D

15、1C1， 又 ABBC 1， 四边形 ABC1D1是菱形，故 正确； 如图所示： 则可得 BD=DD1=BD1=2， BDD 1为等边三角形，故 正确 . 易得 AC 1FACD ， =( )2，解得： SAC1F = (x-2)2 (0 x 2)；故 正确； 综上可得正确的是 . 答案： . 三 .解答题 19.用代入消元法解方程组 . 解析： 把第一个方程整理为 y=x-2，然后利用代入消元法求解即可 . 答案： ， 由 得， y=x-2 ， 代入 得， 3x+5(x-2)=14，解得 x=3， 把 x=3 代入 得， y=3-2=1， 所以，方程组的解是 . 20.如图， ABC 与 C

16、DE 均是等腰直角三角形， ACB=DCE=90 ， D 在 AB 上，连结 BE.请找出一对全等三角形，并说明理由 . 解析： 分析 根据等角的余角相等可得出 ACD=BCE ，结合 CA=CB， CD=CE，可证明ACDBCE. 答案： ACDBCE. 证明如下 ACB=DCE=90 ， ACB -DCB=DCE -DCB ，即 ACD=BCE. ABC 与 CDE 均是等腰直角三角形， ACB=DCE=90 ， CA=CB ， CD=CE， 在 ACD 和 BCE 中， ， ACDBCE. 21.(100 分 )我市某中学为备战省运会，在校运动队的学生中进行了全能选手的选拔，并将参加选拔

17、学生的综合成绩分成四组，绘成了如下尚不完整的统计图表 . 根据图表信息，回答下列问题： (1)参加活动选拔的学生共有 人；表中 m= ， n= ； (2)若将各组的组中值视为该组的平均值，请你估算参加选拔学生的平均成绩； (3)将第一组中的 4 名学生记为 A、 B、 C、 D，由于这 4 名学生的体育综合水平相差不大，现决定随机挑选其中两名学生代表学校参赛，试通过画树形图或列表的方法求恰好选中 A 和 B的概率 . 解析： (1)根据频数分布表可知第一组有 4人，根据扇形统计图可知第一组所占百分比为 8%，由此得出参加活动选拔的学生总数，再用学生总数乘以第三组所占百分比求出 n，用学生总数减

18、去第一、三、四组的频数之和所得的差即为 m 的值； (2)利用组中值求出总数即可得出平均数； (3)根据列表法求出所有可能即可得出恰好选中 A 和 B 的概率 . 答案： (1) 第一组有 4 人，所占百分比为 8%， 学生总数为： 48%=50 ； n=5030%=15 ， m=50-4-15-21=10.故答案为 50， 10， 15； (2) = =74.4； (3)将第一组中的 4 名学生记为 A、 B、 C、 D，现随机挑选其中两名学生代表学校参赛，所有可能的结果如下表： 由上表可知，总共有 12 种结果，且每种结果出现的可能性相同 .恰好选中 A和 B 的结果有 2种，其概率为 =

19、 = . 22.已知：关于 x 的方程 kx2-(3k-1)x+2(k-1)=0 (1)求证：无论 k 为任何实数，方程总有实数根； (2)若此方程有两个实数根 x1， x2，且 |x1-x2|=2，求 k 的值 . 解析： (1)确定判别式的范围即可得出结论； (2)根据根与系数的关系表示出 x1+x2， x1x2，继而根据题意得出方程，解出即可 . 答案： (1) 当 k=0 时，方程是一元一次方程，有实数根； 当 k0 时，方程是一元二次方程， =(3k -1)2-4k2(k -1)=(k+1)20 ， 无论 k 为任何实数，方程总有实数根 . (2) 此方程有两个实数根 x1， x2，

20、 x 1+x2= ， x1x2= ， |x 1-x2|=2， (x 1-x2)2=4， (x 1+x2)2-4x1x2=4，即 -4 =4，解得： =2 ，即 k=1 或 k=- . 23.如图， AB 为 O 的直径，弦 CD 与 AB 相交于 E， DE=EC，过点 B 的切线与 AD 的延长线交于 F，过 E 作 EGBC 于 G，延长 GE交 AD于 H. (1)求证： AH=HD； (2)若 cosC= ， DF=9，求 O 的半径 . 解析： (1)由 AB 为 O 的直径， DE=EC，根据垂径定理的推论，可证得 ABCD ，又由 EGBC ，易证得 CDA=DEH ，即可得 H

21、D=EH，继而可证得 AH=EH，则可证得结论； (2)由 AB 为 O 的直径，可得 BDF=90 ，由 BF 是切线，可得 DBF=C ，然后由三角函数的性质，求得 BD 的长，继而求得答案 . 答案： (1)AB 为 O 的直径， DE=EC， ABCD ， C+CBE=90 ， EGBC ， C+CEG=90 ， CBE=CEG ， CBE=CDA ， CEG=DEH ， CDA=DEH ， HD=EH ， A+ADC=90 ， AEH+DEH=90 ， AH=EH ， AH=HD ； (2)AB 为 O 的直径， ADB=90 ， BDF=90 ， BF 是 O 的切线， DBF=C

22、 ， cosC= ， DF=9， tanDBF= ， BD= =12， A=C ， sinA= ， AB= =20， O 的半径为 10. 24.如图，某个体户购进一批时令水果， 20 天销售完毕 .他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量 y(千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系如图甲所示，销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系如图乙所示 . (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)分别求出第 10 天和第 15 天的销售金额； (3)若日销售量不低于 24 千克的时间段为 “ 最佳销售期 ” ，则此次销售

23、过程中 “ 最佳销售期 ”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？ 解析： (1)分两种情况进行讨论： 0x15 ； 15 x20 ，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解； (2)日销售金额 =日销售单价 日销售量 .由于第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20天之间，当 10x20 时，设销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数关系式为 p=mx+n，由点 (10， 10)， (20， 8)在 p=mx+n 的图象上，利用待定系数法求得 p 与 x 的函数解析式，继而求得 10 天与第 15 天的销售金额； (3)

24、日销售量不低于 24 千克，即 y24. 先解不等式 2x24 ，得 x12 ，再解不等式-6x+12024 ，得 x16 ，则求出 “ 最佳销售期 ” 共有 5天；然后根据 p=- x+12(10x20) ，利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值 . 答案： (1)分两种情况： 当 0x15 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k1x， 直线 y=k1x 过点 (15， 30)， 15k1=30，解得 k1=2， y=2x(0x15) ； 当 15 x20 时，设日销售量 y 与销售时间 x 的函数解析式为 y=k2x+b， 点 (15， 30)， (20

25、， 0)在 y=k2x+b 的图象上， ，解得： ， y= -6x+120(15 x20) ； 综上，可知 y 与 x 之间的函数关系式为： y= ； (2) 第 10 天和第 15 天在第 10 天和第 20天之间， 当 10x20 时，设销售单价 p(元 /千克 )与销售时间 x(天 )之间的函数解析式为 p=mx+n， 点 (10， 10)， (20， 8)在 p=mx+n 的图象上， ，解得： ， p= - x+12(10x20) ， 当 x=10 时， p=10， y=210=20 ，销售金额为： 1020=200( 元 )， 当 x=15 时， p=- 15+12=9 ， y=30

26、，销售金额为： 930=270( 元 ). 故第 10 天和第 15 天的销售金额分别为 200 元， 270 元； (3)若日销售量不低于 24 千克，则 y24. 当 0x15 时， y=2x，解不等式： 2x24 ，得 x12 ； 当 15 x20 时， y=-6x+120，解不等式： -6x+12024 ，得 x16 ， 12x16 ， “ 最佳销售 期 ” 共有： 16-12+1=5(天 )； p= - x+12(10x20) ， - 0， p 随 x 的增大而减小， 当 12x16 时， x 取 12 时， p 有最大值，此时 p=- 12+12=9.6( 元 /千克 ). 答：此

27、次销售过程中 “ 最佳销售期 ” 共有 5 天，在此期间销售单价最高为 9.6 元 . 25.(2013 荆州 )如图，已知：如图 ，直线 y=- x+ 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，两动点 D、 E 分别从 A、 B 两点同时出发向 O 点运动 (运动到 O 点停止 )；对称轴过点 A 且顶点为 M 的抛物线 y=a(x-k)2+h(a 0)始终经过点 E，过 E作 EGOA 交抛物线于点 G，交 AB 于点F，连结 DE、 DF、 AG、 BG.设 D、 E 的运动速度分别是 1 个单位长度 /秒和 个单位长度 /秒，运动时间为 t 秒 . (1)用含 t 代数式分别表示

28、BF、 EF、 AF 的长； (2)当 t 为何值时，四边形 ADEF 是菱形？判断此时 AFG 与 AGB 是否相似，并说明理由； (3)当 ADF 是直角三角形，且抛物线的顶点 M 恰好在 BG 上时，求抛物线的解析式 . 解析： (1)首先求出一次函数 y=- x+ 与坐标轴交点 A、 B 的坐标，然后解直角三角形求出 BF、 EF、 AF 的长； (2)由 EFAD ，且 EF=AD=t，则四边形 ADEF 为平行四边形，若 ADEF 是菱形，则 DE=AD=t.由 DE=2OD，列方程求出 t 的值； 如答图 1 所示，推出 BAG=GAF ， ABG=AGF=30 ，证明 AFG

29、与 AGB 相似 . (3)当 ADF 是直角三角形时，有两种情形，需要分类讨论： 若 ADF=90 ，如答图 2 所示 .首先求出此时 t 的值；其次求出点 G 的坐标，利用待定系数法求出直线 BG 的解析式，得到点 M 的坐标；最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式； 若 AFD=90 ，如答图 3 所示 .解 题思路与 相同 . 答案： (1)在直线解析式 y=- x+ 中，令 x=0，得 y= ；令 y=0，得 x=1. A(1 ， 0)， B(0， )， OA=1， OB= .tanOAB= ， OAB=60 ， AB=2OA=2. EGOA ， EFB=OAB=60.EF=

30、= =t， BF=2EF=2t， AF=AB -BF=2-2t. (2)EFAD ，且 EF=AD=t， 四边形 ADEF 为平行四边形 . 若 ADEF 是菱形，则 DE=AD=t. 由 DE=2OD，即： t=2(1-t)，解得 t= .t= 时，四边形 ADEF 是菱形 . 此时 AFG 与 AGB 相似 .理由如下： 如答图 1 所示，连接 AE， 四边形 ADEF 是菱形， DEF=DAF=60 ， AEF=30. 由抛物线的对称性可知， AG=AE， AGF=AEF=30. 在 RtBEG 中， BE= ， EG=2， tanEBG= = ， EBG=60 ， ABG=EBG -E

31、BF=30. 在 AFG 与 AGB 中， BAG=GAF ， ABG=AGF=30 ， AFGAGB. (3)当 ADF 是直角三角形时， 若 ADF=90 ，如答图 2 所示： 此时 AF=2DA，即 2-2t=2t，解得 t= .BE= t= ， OE=OB-BE= ， E(0 ， )， G(2， ). 设直线 BG 的解析式为 y=kx+b，将 B(0， )， G(2， )代入得： ，解得 k= ，b= ， y= x+ . 令 x=1，得 y= ， M(1 ， ). 设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+ ，点 E(0， )在抛物线上， =a+ ，解得 a= .y= (x-1)2+ = x2+ x+ . 若 AFD=90 ，如答图 3 所示： 此时 AD=2AF，即： t=2(2-2t)，解得： t= . BE= t= ， OE=OB-BE= ， E(0 ， )， G(2， ). 设直线 BG的解析式为 y=kx+b，将 B(0， )， G(2， )代入得： ，解得 k= ，b= ， y= x+ . 令 x=1，得 y= ， M(1 ， ). 设抛物线解析式为 y=a(x-1)2+ ，点 E(0， )在抛物线上， =a+ ，解得 a= .y= (x-1)2+ = x2+ x+ . 综上所述，符合条件的抛物线的解析式为： y= x2+ x+ 或 y= x2+ x+.