2013年湖北省武汉市中考真题数学.docx

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1、2013 年湖北省武汉市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 )下列各题中均有四个备选答案中，其中有且只有一个是正确的。 1.(3 分 )下列各数中，最大的是 ( ) A. -3 B. 0 C. 1 D. 2 解析 ： 表示 -3、 0、 1、 2 的数在数轴上的位置如图所示 . 由图示知，这四个数中，最大的是 2. 答案： D. 2.(3 分 )式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x 1 B. x1 C. x -1 D. x 1 解析 ： 根据题意得： x-10 ，即 x1 时，二次根式有意义 . 答案： B. 3.(3 分 )不

2、等式组 的解集是 ( ) A. -2x1 B. -2 x 1 C. x -1 D. x2 解析 ： ， 由 得， x -2； 由 得， x1 ； 故不等式组的解集为 -2x1 . 答案： A. 4.(3 分 )袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球，下列事件是必然事件的是 ( ) A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球 C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球 解析 ： A、是必然事件； B、是随机事件，选项错误； C、是随机事件，选项错

3、误； D、是随机事件，选项错误 . 答案： A. 5.(3 分 )若 x1， x2是一元二次方程 x2-2x-3=0 的两个根，则 x1 x2的值是 ( ) A. 3 B. -3 C. 2 D. -2 解析 ： x 1， x2是一元二次方程 x2-2x-3=0 的两个根， x 1 x2= =-3. 答案： B 6.(3 分 )如图， ABC 中， AB=AC， A=36 ， BD 是 AC 边上的高，则 DBC 的度数是 ( ) A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 解析 ： AB=AC ， A=36 ， ABC=ACB=72 BD 是 AC 边上的高， BDAC ， DBC=90

4、-72=18 . 答案： A. 7.(3 分 )如图是由四个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从正面看，下面一行是横放 3 个正方体，上面一行最右边是一个正方体 . 答案： C. 8.(3分 )两条直线最多有 1个交点，三条直线最多有 3个交点，四条直线最多有 6个交点， ，那么六条直线最多有 ( ) A. 21 个交点 B. 18 个交点 C. 15 个交点 D. 10 个交点 解析 ： 两条直线最多有 1 个交点， 三条直线最多有 3 个交点， 1+2=3， 四条直线最多有 6 个交点， 1+2+3=6， n 条直线最多的交点个数为 1

5、+2+3+4+n -1， 当 n=6 时， 6 条直线最多的交点个数为 1+2+3+4+5=15. 答案： C. 9.(3 分 )为了了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级随机抽取部分学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜好的书籍，如果没有喜好的书籍，则作 “ 其它 ” 类统计 .图 (1)与图(2)是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图 .以下结论不正确的是 ( )A. 由这两个统计图可知喜好 “ 科普常识 ” 的学生有 90 人 B. 若该年级共有 1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱 “ 科普常识 ” 的学生约有 360人 C. 这两个统计图不能确定喜好 “ 小说 ” 的人数 D

6、. 在扇形统计图中， “ 漫画 ” 所在扇形的圆心角为 72 解析 ： A、 喜欢 “ 其它 ” 类的人数为： 30 人，扇形图中所占比例为： 10%， 样本总数为： 3010%=300 (人 )， 喜好 “ 科普常识 ” 的学生有： 30030%=90 (人 )，故此选项不符合题意； B、若该年级共有 1200 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱 “ 科普常识 ” 的学生约有：90=360 (人 )，故此选项不符合题意； C、喜好 “ 小说 ” 的人数为： 300-90-60-30=120(人 )，故此选项错误符合题意； D、 “ 漫画 ” 所在扇形的圆心角为： 360=72 ，故此选项不符

7、合题意 . 答案： C. 10.(3分 )如图， A 与 B 外切于点 D， PC， PD， PE分别是圆的切线， C， D， E是切点 .若 CDE=x ，ECD=y ， B 的半径为 R，则 的长度是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据题意，由切线长定理可知： PC=PD=PE， 即点 C、 D、 E 在以 P 为圆心， PC 长为半径的 P 上，由圆周角定理得： DPE=2ECD=2y . 如图，连接 BD、 BE，则 BDP=BEP=90 ， 在四边形 BDPE 中， B+BDP+DPE+BEP=360 ， 即： B+90+2y+90=360 ，解得： B=180 -2y

8、. 的长度是： = . 答案： B. 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18分 ) 11.(3 分 )计算： cos45= . 解析 ： 根据特殊角的三角函数值可知： cos45= . 答案： . 12.(3 分 )在 2013 年的体育中考中，某校 6 名学生的分数分别是 27、 28、 29、 28、 26、 28，这组数据的众数是 . 解析 ： 27、 28、 29、 28、 26、 28 中， 28 出现的次数最多， 故这组数据的众数是 28. 答案： 28. 13.(3 分 )太阳的半径约为 696 000 千米，用科学记数法表示数 696 000 为 . 解析 ：

9、696 000=6.9610 5， 答案： 6.9610 5. 14.(3 分 )设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回 .设 x秒后两车间的距离为 y 米， y 关于 x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米 /秒 . 解析 ： 设甲车的速度是 a 米 /秒，乙车的速度为 b 米 /秒， 由题意，得 ，解得： . 答案： 20. 15.(3 分 )如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， BC=2AB.A， B 两点的坐标分别是 (-1， 0)，(0， 2)， C， D 两点在反比例

10、函数 y= (k 0)的图象上，则 k 等于 . 解析 ： 设点 C 坐标为 (a， )， (a 0)，点 D 的坐标为 (x， y)， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 的中点坐标相同， ( ， )=( ， )， 则 x=a-1， y= ，代入 y= ，可得： k=2a-2a2 ； 在 RtAOB 中， AB= = ， BC=2AB=2 ，故 BC2=(0-a)2+( -2)2=(2 )2， 整理得： a4+k2-4ka=16a2， 将 k=2a -2a2，代入后化简可得： a2=4， a 0， a= -2， k= -4-8=-12. 答案： -12. 16.(3 分 )如图

11、， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 AE=DF.连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H.若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值是 . 解析 ： 在正方形 ABCD 中， AB=AD=CD， BAD=CDA ， ADG=CDG ， 在 ABE 和 DCF 中， ， ABEDCF (SAS)， 1=2 ， 在 ADG 和 CDG 中， ， ADGCDG (SAS)， 2=3 ， 1=3 ， BAH+3=BAD=90 ， 1+BAH=90 ， AHB=180 -90=90 ， 取 AB 的中点 O，连接 OH、 OD，则 OH=AO= AB

12、=1， 在 RtAOD 中， OD= = = ， 根据三角形的三边关系， OH+DH OD， 当 O、 D、 H 三点共线时， DH 的长度最小，最小值 =OD-OH= -1. 答案： -1. 三、解答题 (共 9 小题，共 72 分 ) 17.(6 分 )解方程： . 解析 ： 观察可得最简公分母是 x(x-3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 . 答案： 方程两边同乘以 x(x-3)，得 2x=3(x-3).解这个方程，得 x=9. 检验：将 x=9 代入 x(x-3)知， x(x-3)0 .所以 x=9 是原方程的根 . 18.(6 分 )直线 y=2x+b 经过

13、点 (3， 5)，求关于 x 的不等式 2x+b0 的解集 . 解析 ： 先把点 (3， 5)代入直线 y=2x+b，求出 b 的值，再根据 2x+b0 即可得出 x 的取值范围 . 答案： 直线 y=2x+b 经过点 (3， 5)， 5=23+b ，解得 b=-1， 2x+b0 ， 2x -10 ，解得 x . 19.(6 分 )如图，点 E、 F 在 BC 上， BE=FC， AB=DC， B=C .求证： A=D . 解析 ： 可通过证 ABFDCE ，来得出 A=D 的结论 . 答案： BE=FC ， BE+EF=CF+EF ，即 BF=CE； 又 AB=DC ， B=C ， ABFD

14、CE ； (SAS)A=D . 20.(7 分 )有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁 .现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁 . (1)请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果； (2)求一次打开锁的概率 . 解析 ： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； (2)由 (1)中的树状图，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (1)分别用 A 与 B 表示锁，用 A、 B、 C、 D 表示钥匙，画树状图得： 则可得共有 8 种等可能的结果； (2) 一次打开锁的有 2 种

15、情况， 一次打开锁的概率为： = . 21.(7 分 )如图，在平面直角坐标系中， RtABC 的三个顶点分别是 A(-3， 2)， B(0， 4)， C(0，2). (1)将 ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180 ，画出旋转后对应的 A 1B1C；平移 ABC ，若点 A的对应点 A2的坐标为 (0， -4)，画出平移后对应的 A 2B2C2； (2)若将 A 1B1C 绕某一点旋转可以得到 A 2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标； (3)在 x 轴上有一点 P，使得 PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 . 解析 ： (1)延长 AC到 A1，使得 AC=A1C，延长 BC

16、 到 B1，使得 BC=B1C，利用点 A 的对应点 A2的坐标为 (0， -4)，得出图象平移单位，即可得出 A 2B2C2； (2)根据 A 1B1C 绕某一点旋转可以得到 A 2B2C2进而得出，旋转中心即可； (3)根据 B 点关于 x 轴对称点为 A2，连接 AA2，交 x 轴于点 P，再利用相似三角形的性质求出P 点坐标即可 . 答案： (1)如图所示： (2)如图所示：旋转中心的坐标为： ( ， -1)； (3)POAC ， = ， = ， OP=2 ， 点 P 的坐标为 (-2， 0). 22.(8 分 )如图，已知 ABC 是 O 的内接三角形， AB=AC，点 P 是 的中

17、点，连接 PA， PB，PC. (1)如图 ，若 BPC=60 .求证： AC= AP； (2)如图 ，若 sinBPC= ，求 tanPAB 的值 . 解析 ： (1)根据圆周角定理得 BPC=BAC=60 ，可判断 ABC 为等边三角形，ACB=ABC=60 ，再利用圆周角定理得到 APC=ABC=60 ，而点 P 是 的中点，则ACP= ACB=30 ，于是 PAC=90 ，然后根据 30 度的正切可计算出 AC= AP； (2)过 A 点作 ADBC 交 BC 于 D，连结 OP交 AB 于 E，根据垂径定理的推论得到点 O在 AD 上，连结 OB，根据圆周角定理得 BOD=BAC ，

18、 BPC=BAC ，所以 sinBOD=sinBPC= = ，设 OB=25x，则 BD=24x，在 RtOBD 中可计算出 OD=7x，再在 RtABD 计算出 AB=40x，由于点 P 是 的中点，根据垂径定理的推论 OP 垂直平分 AB，则 AE= AB=20x， 在 RtAEO 中，根据勾股定理计算出 OE=15x，所以 PE=OP-OE=25x-15x=10x，最后在 RtAPE中，利用正切的定义求解 . 答案： (1)BPC=60 ， BAC=60 ， AB=AC ， ABC 为等边三角形， ACB=ABC=60 ， APC=ABC=60 ， 而点 P 是 的中点， ACP= AC

19、B=30 ， PAC=90 ， ta nPCA= =tan30= ， AC= PA； (2)过 A 点作 ADBC 交 BC 于 D，连结 OP 交 AB 于 E，如图， AB=AC ， AD 平分 BC， 点 O 在 AD 上，连结 OB，则 BOD=BAC ， BPC=BAC ， sinBOD=sinBPC= = ， 设 OB=25x，则 BD=24x， OD= =7x， 在 RtABD 中， AD=25x+7x=32x， BD=24x， AB= =40x， 点 P 是 的中点， OP 垂直平分 AB， AE= AB=20x， AEP=AEO=90 ， 在 RtAEO 中， OE= =15

20、x， PE=OP -OE=25x-15x=10x， 在 RtAPE 中， tanPAE= = = ，即 tanPAB 的值为 . 23.(10 分 )科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况 (如下表 )： 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度 x 的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种 . (1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由； (2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ (3)如果实验室温度保持不变，在 10 天

21、内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度 x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果 . 解析 ： (1)选择二次函数，设 y=ax2+bx+c(a0 )，然后选择 x=-2、 0、 2 三组数据，利用待定系数法求二次函数解析式即可，再根据反比例函数的自变量 x 不能为 0，一次函数的特点排除另两种函数； (2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答； (3)求出平均每天的高度增长量为 25mm，然后根据 y=25 求出 x 的值，再根据二次函数的性质写出 x 的取值范围 . 答案： (1)选择二次函数，设 y=ax2+bx+c(a0 )， x= -

22、2 时， y=49， x=0 时， y=49， x=2 时， y=41， ，解得 ，所以， y 关于 x 的函数关系式为 y=-x2-2x+49； 不选另外两个函数的理由： 点 (0， 49)不可能在反比例函数图象上， y 不是 x 的反比例函数； 点 (-4， 41)， (-2， 49)， (2， 41)不在同一直线上， y 不是 x 的一次函数； (2)由 (1)得， y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50， a= -1 0， 当 x=-1 时， y 有最大值为 50， 即当温度为 -1 时，这种作物每天高度增长量最大； (3)10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，

23、平均每天该植物高度增长量超过 25mm， 当 y=25 时， -x2-2x+49=25，整理得， x2+2x-24=0，解得 x1=-6， x2=4， 在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，实验室的温度应保持在 -6 x4 . 24.(10 分 )已知四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD 边上的点， DE 与 CF 交于点 G. (1)如图 ，若四边形 ABCD 是矩形，且 DECF .求证： ； (2)如图 ，若四边形 ABCD 是平行四边形 .试探究：当 B 与 EGC 满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论； (3)如图 ，若 BA=BC=6， D

24、A=DC=8， BAD=90 ， DECF .请直接写出 的值 . 解析 ： (1)根据矩形性质得出 A=FDC=90 ，求出 CFD=AED ，证出 AEDDFC 即可； (2)当 B+EGC=180 时， = 成立，证 DFGDEA ，得出 = ，证 CGDCDF ，得出 = ，即可得出答案； (3)过 C 作 CNAD 于 N， CMAB 交 AB 延长线于 M，连接 BD，设 CN=x， BADBCD ，推出BCD=A=90 ，证 BCMDCN ，求出 CM= x，在 RtCMB 中，由勾股定理得出 BM2+CM2=BC2，代入得出方程 (x-6)2+( x)2=62，求出 CN= ，

25、证出 AEDNFC ，即可得出答案 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， A=FDC=90 ， CFDE ， DGF=90 ， ADE+CFD=90 ， ADE+AED=90 ， CFD=AED ， A=CDF ， AEDDFC ， = ； (2)当 B+EGC=180 时， = 成立 . 证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， B=ADC ， ADBC ， B+A=180 ， B+EGC=180 ， A=EGC=FGD ， FDG=EDA ， DFGDEA ， = ， B=ADC ， B+EGC=180 ， EGC+DGC=180 ， CGD= CDF， GCD=DCF ， CG

26、DCDF ， = ， = ， = ， 即当 B+EGC=180 时， = 成立 . (3) = .理由是：过 C 作 CNAD 于 N， CMAB 交 AB延长线于 M，连接 BD，设 CN=x， BAD=90 ，即 ABAD ， A=M=CNA=90 ， 四边形 AMCN 是矩形， AM=CN ， AN=CM， 在 BAD 和 BCD 中 ， ， BADBCD (SSS)， BCD=A=90 ， ABC+ADC=180 ， ABC+CBM=180 ， MBC=ADC ， CND=M=90 ， BCMDCN ， = ， = ， CM= x， 在 RtCMB 中， CM= x， BM=AM-AB

27、=x-6，由勾股定理得： BM2+CM2=BC2， (x-6)2+( x)2=62， x=0(舍去 )， x= ， CN= ， A=FGD=90 ， AED+AFG=180 ， AFG+NFC=180 ， AED=CFN ， A=CNF=90 ， AEDNFC ， = = = . 点评： 本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的 25.(12 分 )如图，点 P 是直线 l： y=-2x-2 上的点，过点 P 的另一条直线 m 交抛物线 y=x2于A、 B 两点 . (1)若直线 m 的解析式为 y=- x+ ，求 A， B 两点的坐标； (2) 若点 P 的坐

28、标为 (-2， t).当 PA=AB 时，请直接写出点 A 的坐标； 试证明：对于直线 l 上任意给定的一点 P，在抛物线上能找到点 A，使得 PA=AB 成立 . (3)设直线 l 交 y 轴于点 C，若 AOB 的外心在边 AB上，且 BPC=OCP ，求点 P的坐标 . 解析 ： (1)联立抛物线 y=x2与直线 y=- x+ 的解析式，求出点 A、 B 的坐标 . (2) 如答图 1 所示，求出点 P 坐标 (-2， 2)，设 A(m， m2).作辅助线，构造直角梯形 PGFB，AE 为中位线，求出点 B 的坐标 (用含 m 的代数式表示 )，然后代入抛物线的解析式求出 m 的值； 与

29、 解题思路一致 .设 P(a， -2a-2)， A(m， m2).作辅助线，构造直角梯形 PGFB， AE 为中位线，求出点 B 的坐标 (用含 a、 m 的代数式表示 )，然后代入抛物线的解析式得到关于 m 的一元二次方程，根据其判别式大于 0，可证明题中结论成立 . (3)AO B 的外心在边 AB 上，则 AB 为 AOB 外接圆的直径， AOB=90 .设 A(m， m2)， B(n，n2).作辅助线，证明 AEOOFB ，得到 mn=-1.再联立直线 m： y=kx+b 与抛物线 y=x2的解析式，由根与系数关系得到： mn=-b，所以 b=1；由此得到 OD、 CD 的长度，从而得

30、到 PD 的长度；作辅助线，构造 RtPDG ，由勾股定理求出点 P 的坐标 . 答案： (1) 点 A、 B 是抛物线 y=x2与直线 y=- x+ 的交点， x 2=- x+ ，解得 x=1 或 x=- . 当 x=1 时， y=1；当 x=- 时， y= ， A (- ， )， B(1， 1). (2) 点 P(-2， t)在直线 y=-2x-2 上， t=2 ， P (-2， 2). 设 A(m， m2)，如答图 1 所示，分别过点 P、 A、 B 作 x轴的垂线，垂足分别为点 G、 E、 F. PA=AB ， AE 是梯形 PGFB 的中位线， GE=EF ， AE= (PG+BF)

31、. OF=|EF -OE|， GE=EF， OF=|GE -EO|， GE=GO -EO=2+m， EO=-m， OF=|2+m -(-m)|=|2+2m|OF=2m+2 ， AE= (PG+BF)， BF=2AE -PG=2m2-2.B (2+2m， 2m2-2). 点 B 在抛物线 y=x2上， 2m 2-2=(2+2m)2解得： m=-1 或 -3， 当 m=-1 时， m2=1；当 m=-3 时， m2=9， 点 A的坐标为 (-1， 1)或 (-3， 9). 设 P(a， -2a-2)， A(m， m2). 如答图 1 所示，分别过点 P、 A、 B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点

32、G、 E、 F. 与 同理可求得： B(2m-a， 2m2+2a+2). 点 B 在抛物线 y=x2上， 2m 2+2a+2=(2m-a)2整理得： 2m2-4am+a2-2a-2=0. =16a 2-8(a2-2a-2)=8a2+16a+16=8(a+1)2+8 0， 无论 a 为何值时，关于 m 的方程总有两个不相等的实数根 .即对于任意给定的点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A，使得 PA=AB 成立 . (3)AOB 的外心在边 AB 上， AB 为 AOB 外接圆的直径， AOB=90 . 设 A(m， m2)， B(n， n2)， 如答图 2 所示，过点 A、 B 分别作

33、x 轴的垂线，垂足为 E、 F，则易证 AEOOFB . ，即 ，整理得： mn(mn+1)=0， mn0 ， mn+1=0 ，即 mn=-1. 设直线 m 的解析式为 y=kx+b，联立 ，得： x2-kx-b=0. m ， n 是方程的两个根， mn= -b.b=1 . 设直线 m 与 y 轴交于点 D，则 OD=1. 易知 C(0， -2)， OC=2， CD=OC+OD=3 . BPC=OCP ， PD=CD=3 . 设 P(a， -2a-2)，过点 P 作 PGy 轴于点 G，则 PG=-a， GD=OG-OD=-2a-3. 在 RtPDG 中，由勾股定理得： PG2+GD2=PD2， 即： (-a)2+(-2a-3)2=32，整理得： 5a2+12a=0，解得 a=0(舍去 )或 a=- ， 当 a=- 时， -2a-2= ， P (- ， ).