【考研类试卷】考研数学二（微分方程）模拟试卷8及答案解析.doc

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1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 8 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 yy()为微分方程 2yd( 2 1)dy0 满足初始条件 y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.ln3B.ln3C.D.ln33.微分方程 yy6y(1)e 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ab)e 2B.a 2 e 2C.(a 2 b)e 2D. 2 (ab)e 24.微分方程 y4y2 的通解为( )（分数：2.00）A.(C 1 C 2 )e 2 B.

2、(C 1 C 2 )e 2 C.C 1 e 2 C 2 e 2 D.C 1 e 2 C 2 e 2 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.设连续函数 f()满足 f() 0 2 f( （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程(23)y4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.yy1y 2 满足初始条件 y(0)1，y(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y4y48 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 yy()过原点，在原点处的切线平行于直线 y21，又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3 ，则 y() 1（分数：2.00）

3、填空项 1:_10.微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_12.设二阶常系数非齐次线性微分方程 yyqyQ()有特解 y3e 4 2 32，则Q() 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_13.以 yC 1 e 2 C 2 e cos 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 y3yay5e 的特解形式为 Ae ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 f()可导，且 0 1 f()f(t)dt1，

4、则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求微分方程 y4y4y0 的通解（分数：2.00）_18.求微分方程 yy2y0 的通解（分数：2.00）_19.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 e 2 ，y 2 2e 3e 2 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_20.求微分方程 y2y3y(21)e 的通解（分数：2.00）_21.求 y2ye 2 0 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_22.求微分方程 y4y4ye a 的通解（分

5、数：2.00）_23.求微分方程 yy3cos 的通解（分数：2.00）_24.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_25.设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与 f()的几何平均数，求 f()（分数：2.00）_26.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点( （分数：2.00）_27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在

6、该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行（分数：2.00）_28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r。的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_29.设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f()（分数：2.00）_30.设 f()在(1，)内连续且 f() （分数：2.00）_31.求微分方程 y2y （分数：2.00）_32.设位于第一卦限的曲线 yf()上

7、任一点 P(，y)的切线在 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_33.求 yy 2 1 满足 y(0)y(0)0 的特解（分数：2.00）_34.求微分方程 yy2y(21)e 2 的通解（分数：2.00）_35.设 f()连续，且 f()4 0 tf(t)dte ，求 f()（分数：2.00）_考研数学二（微分方程）模拟试卷 8 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 yy()为微分方

8、程 2yd( 2 1)dy0 满足初始条件 y(0)1 的解，则 （分数：2.00）A.ln3B.ln3C.D.ln3 解析：解析：由 2yd( 2 1)dy0 得 0，积分得 ln 2 1lnylnC，从而 y ， 由 y(0)1 得 C1，于是 y ， 故 3.微分方程 yy6y(1)e 2 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ab)e 2B.a 2 e 2C.(a 2 b)e 2 D. 2 (ab)e 2解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 2， 2 3，而2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 (ab)e 2 ，选 C4.微分方程 y4y2 的通解为( )（分数：

9、2.00）A.(C 1 C 2 )e 2 B.(C 1 C 2 )e 2 C.C 1 e 2 C 2 e 2 D.C 1 e 2 C 2 e 2 解析：解析：微分方程 y4y0 的特征方程为 2 40，特征值为2，2，则方程 y4y0 的通解为 C 1 e 2 C 2 e 2 显然方程 y4y2 有特解 二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.设连续函数 f()满足 f() 0 2 f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 e ）解析：6.微分方程(23)y4y的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y ）解析：解析：令 yp，

10、则 ，两边积分得 lnpln(23) 2 lnC 1 ，或 yC 1 (23) 2 ， 于是 y 7.yy1y 2 满足初始条件 y(0)1，y(0)0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lny*）解析：解析：令 yp，则 YP 1p 2 ，即 ，解得 ln(1p 2 )lny 2 lnC 1 ， 则1p 2 C 1 y 2 ，由 y(0)1，y(0)0 得 y ， Iny C 2 ，由y(0)1 得 C 2 0，所以特解为 lny 8.微分方程 y4y48 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 cos2C 2 sin22

11、）解析：解析：微分方程两个特征值为 1 2i， 2 2i， 则微分方程的通解为 yC 1 cos2C 2 sin229.设 yy()过原点，在原点处的切线平行于直线 y21，又 yy()满足微分方程 y6y9ye 3 ，则 y() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 3 ）解析：解析：由题意得 y(0)0，y(0)2， y6y9ye 3 的特征方程为 2 690，特征值为 1 2 3， 令 y6y9ye 3 的特解为 y 0 ()a 2 e 3 ，代入得 a ， 故通解为 y(C 1 C 2 )e 3 2 e 3 由 y(0)0，y(0)2 得 C 1 0，C 2

12、2，则 y()2e 3 10.微分方程 2y3y 2 满足初始条件 y(2)1，y(2)1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：11.微分方程 y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin*lnC）解析：解析：由 y ，得 y ， 令 u，则 u ，解得arcsinulnC， 则原方程通解为 arcsin12.设二阶常系数非齐次线性微分方程 yyqyQ()有特解 y3e 4 2 32，则Q() 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Q()12 2 3419；yC 1 e 4 C 2

13、 e 3 2 32(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 4 是特征方程 2 q0 的解，故 q12， 即特征方程为 2 120，特征值为 1 4， 2 3 因为 3 32 为特征方程 yy12yQ()的一个特解， 所以 Q()22312( 2 32)12 2 3419， 且通解为 yyC 1 e 4 C 2 e 3 2 32(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)13.以 yC 1 e 2 C 2 e cos 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yy2ysin3cos）解析：解析：特征值为 1 2， 2 1，特征方

14、程为 2 20， 设所求的微分方程为 yy2yQ()，把 ycos 代入原方程，得 Q()sin3cos，所求微分方程为 yy2ysin3cos14.设 y3yay5e 的特解形式为 Ae ，则其通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：yC 1 e C 2 e 4 e ）解析：解析：因为方程有特解 Ae ，所以1 为特征值，即(1) 2 3(1)a0 a4，所以特征方程为 2 340 15.设 f()可导，且 0 1 f()f(t)dt1，则 f() 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e ）解析：解析：由 0 1 f()f(t)dt1 得 0

15、1 f()dt 0 1 f(t)d(t)1， 整理得f() 0 f(u)du1，两边对 求导得 f()f()0，解得 f()Ce ，因为 f(0)1，所以 C1，故 f()e 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求微分方程 y4y4y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 440，特征值为 1 2 2，则原方程的通解为y(C 1 C 2 )e 2 )解析：18.求微分方程 yy2y0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 20，特征值为 则原方程的通

16、解为 )解析：19.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 e 2 ，y 2 2e 3e 2 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 e 2 ，y 2 2e 3e 2 为特解，所以 e 2 ，e 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 1， 2 2，特征方程为(1)(2)0 即 2 20，所求的微分方程为 yy2y0)解析：20.求微分方程 y2y3y(21)e 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 230，特征值为 1 1， 2 3，则 y2y3y0 的通解为 yC 1 e C 1 e 3 令原方程的特解为 y 0 (a

17、b)e ，代入原方程得 ， 所以原方程的通解为 yC 1 e C 2 e 3 )解析：21.求 y2ye 2 0 满足初始条件 y(0)1，y(0)1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 y2ye 2 特征方程为 2 20，特征值为 1 0， 2 2， y2y0 的通解为 yC 1 C 2 e 2 设方程 y2ye 2 的特解为 y 0 Ae 2 ，代入原方程得 A ， 原方程的通解为 yC 1 C 2 e 2 2 由 y(0)1，y(0)1 得 解得 ， 故所求的特解为 y )解析：22.求微分方程 y4y4ye a 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特

18、征方程为 2 440，特征值为 1 2 2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 (1)当 a2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y 0 ()Ae a ，代入原方程得 A ，则原方程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 ； (2)当 a2 时，因为 a2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y 0 ()A 2 e 2 ， 代入原方程得 A ，则原方程的通解为 y(C 1 C 2 )e 2 )解析：23.求微分方程 yy3cos 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 10，特征值为 1 i， 2 i， 方程 yy0 的通解

19、为 yC 1 cosC 2 sin 对方程 yy 2 3，特解为 y 1 2 1； 对方程 yycos，特解为 sin，原方程的特解为 2 1 sin， 则原方程的通解为yC 1 cosC 2 sin 2 1 )解析：24.设单位质点在水平面内作直线运动，初速度 v t0 v 0 已知阻力与速度成正比(比例系数为 1)，问为多少时此质点的速度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻质点运动的速度为 v(t)，阻力 Fma ，则有 解此微分方程得 v(t)v 0 e t 由 v 0 e t 得 tln3，从开始到 tln3 的时间内质点所经过的路程为 S 0 ln3 v 0 e

20、 t dt )解析：25.设 f()在0，)上连续，且 f(0)0，设 f()在0，上的平均值等于 f(0)与 f()的几何平均数，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 ， 令 a ，则有 0 f(t)dta ， 两边求导得 f() ， 即 ， 令 z ，则有 解得 f() )解析：26.设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MAOA，且 L 经过点( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(，y)，则切线 MA：Yyy(X) 令 X0，则Yyy，故 A 点的坐标为(0，yy) 由

21、MAOA，得yy 即2yy y 2 ，或者 ， 则 y 2 (C)， 因为曲线经过点( )，所以 C3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 y )解析：27.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 z 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 yy()，该曲线在点 P(，y)的法线方程为 Yy (X)(y0) 令 Y0，得 Xyy，该点到 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 ，即 yy1y 2 令 yp，则 yp ，则有 yp 1p 2 ，或者 ， 两边积

22、分得 yC 1 ， 由 y(1)1，y(1)0 得 C 1 1，所以 y ， 变量分离得 d，两边积分得 ln(y )C 2 ， 由 y(1)1 得 C 2 1， 所以 ln(y )(1)，即 ， 又 ，所以 ， 两式相加得 y )解析：28.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为r。的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 2kr 2 ，V(t) r 3 ，则 ， 于是有 rktC 0 ， 由 r(0)r 0 ，r(3) ，得 C 0 r 0 ，k ， 于是 r )解析

23、：29.设 f()在0，1上连续且满足 f(0)1，f()f()a(1)yf()，0，1，y0 围成的平面区域绕 轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f()f()a(1)得 f()a(1)e 1d dCe d Ce a， 由 f(0)1 得 C1，故 f()e a 由 V(a)(2 )0得 a3，因为 V(a) )解析：30.设 f()在(1，)内连续且 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f() tf(t)dt1 得(1)f() 1 tf(t)dt1， 两边求导得 f()(1)f()f()1， 整理得 f() ，解得 由

24、f(0)1 得C3，故 f() )解析：31.求微分方程 y2y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由一阶非齐线性微分通解公式得 y ， 由 y(0)1 得 C1，故 y(1) )解析：32.设位于第一卦限的曲线 yf()上任一点 P(，y)的切线在 轴上的截距等于该点法线在 y 轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：切线为 Yyy(X)，令 Y0 得 X ； 法线为 Yy (X)，令 X0 得 Yy ， 由题意得 ，解得 令 u ，代入得u ，变量分离得 ，即积分得 ln(u 2 1)arctanulnC， 初始条件代入得C0，所

25、求曲线为 )解析：33.求 yy 2 1 满足 y(0)y(0)0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yp，则 yp ，代入得 p p 2 2y，整理得 2dy，积分得 lnP 2 12ylnC 1 ，即 p 2 1Ce 2y ， 由初始条件得 C1，即 ，变量分离得 ， 积分得 ln(e y )C 2 ， 由初始条件得 C0，从而 e y e ，解得 y )解析：34.求微分方程 yy2y(21)e 2 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 20，特征值为 1 1， 2 2， 令 yy2y(21)e (1) yy2y2 (2) 令(1)的特解为 y 1 (a 2 b)e ，代入(1)得 ； 显然(2)的一个特解为 y 2 1， 故原方程通解为 yC 1 e C 2 e 2 ( )解析：35.设 f()连续，且 f()4 0 tf(t)dte ，求 f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 tf(t)dt 0 f(u)du 0 uf(u)du，原方程两边求导得 f()4 0 (u)due ，再求导得 f()4f()e ， 解方程得 f()C 1 e 2 C 2 e 2 e ， 由 f(0)1，f(0)1 得 C 1 ，C 2 1， 故 f() )解析：