【考研类试卷】考研数学二-线性代数线性方程组及答案解析.doc

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1、考研数学二-线性代数线性方程组及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：20.00)1.对于 n 元方程组，则下列说法正确的是（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=b 有唯一解B.AX=0 有非零解的充要条件是|A|=0C.AX=b 有唯一解的充要条件是 r() =nD.若 AX=b 有两个不同的解，则 AX=0 有无穷多解2.设 A 是 n 阶方阵，r（分数：4.00）A.=n-1， 1， 2是 AX=0 的两个不同的解，k 是任意常数，则 AX=0 的通解必是(A) k 1B.k 2C.是( 1- 2)D.k( 1+ 2)3.设 A

2、 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)X=0（分数：4.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解4.设 A 是 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解，但()的解不是()的解5.设 1， 2， 3是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成（分数：4.00）A. 1

3、， 2， 3的一个等价向量组B. 1， 2， 3的一个等秩向量组C. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1D. 1- 2， 2- 3， 3- 1二、填空题(总题数：5，分数：20.00)6.已知齐次线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_7.已知线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_8.线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 1， 2， 3均是 Ax=b 的解，若 1 1+ 2 2+ 3 3也是 Ax=b 的解，则 1， 2， 3应满足 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：50.00)11.方程组是否有非零解，

4、若没有，说明理由，若有，求方程组的基础解系（分数：5.00）_12.求线性方程组 （分数：5.00）_13.求线性方程组 （分数：5.00）_14.设线性方程组（分数：5.00）_15.设线性方程组（分数：5.00）_16.线性方程组 AX= 1+k 2，其中（分数：5.00）_17.已知 3 阶矩阵 A 的第，行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：5.00）_设线性非齐次方程组（分数：5.00）(1).证明若 a1，a 2，a 3，a 4互不相等时，方程组无解（分数：2.50）_(2).设 a1=a3=k，a 2=a4=-k求方程组的通解（分数：2.50）_设 A，B 均是

5、 34 矩阵，AX=0 有基础解系 1， 2， 3，BX=0 有基础解系 1， 2（分数：5.00）(1).证明 AX=0 和 BX=0 有非零公共解（分数：2.50）_(2).若 AX=0 的基础解系为 1=1，-1，2，4 T， 2=0，3，1，2 T， 3=1，-2，2，0 TBX=0 的基础解系为 1=3，0，7，14 T， 2=2，1，5，1 0 T，求 AX=0 和 BX=0 的非零公共解（分数：2.50）_18.已知 A 是 mn 矩阵，AX=b 有唯一解，证明 ATA 是可逆阵，并求 AX-b 的唯一解（分数：5.00）_考研数学二-线性代数线性方程组答案解析(总分：90.00

6、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：20.00)1.对于 n 元方程组，则下列说法正确的是（分数：4.00）A.若 AX=0 只有零解，则 AX=b 有唯一解B.AX=0 有非零解的充要条件是|A|=0C.AX=b 有唯一解的充要条件是 r() =nD.若 AX=b 有两个不同的解，则 AX=0 有无穷多解 解析：2.设 A 是 n 阶方阵，r（分数：4.00）A.=n-1， 1， 2是 AX=0 的两个不同的解，k 是任意常数，则 AX=0 的通解必是(A) k 1B.k 2C.是( 1- 2) D.k( 1+ 2)解析： 1， 2互不相同，但 1， 2， 1+ 2可能为零

7、向量 1- 203.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)X=0（分数：4.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：A mn，B nm，AB 是 m 阶方阵，且 r(AB)r(A)nm，ABX=0 必有非零解4.设 A 是 n 阶实矩阵，A T是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()AX=0 和()A TAx=0，必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解不是()的解，()的解也不是()的解D.()的解是()的解

8、，但()的解不是()的解解析：5.设 1， 2， 3是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成（分数：4.00）A. 1， 2， 3的一个等价向量组B. 1， 2， 3的一个等秩向量组C. 1+ 2， 2+ 3， 3+ 1 D. 1- 2， 2- 3， 3- 1解析：二、填空题(总题数：5，分数：20.00)6.已知齐次线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=1 或 a=2）解析：7.已知线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=-1）解析：8.线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e+bc-ad=0）解析：9.设 （分数：

9、4.00）填空项 1:_ （正确答案：b=k 1 1+k2 2+k3 3(其中 k1，k 2，k 3是任意常数)）解析：设 A= 1， 2， 3，则 b=k1 1+k2 2+k3 3(其中 k1，k 2，k 3是任意常数)时方程组 AX=b 有解(或因|A|0，故任何 3 维列向量 AX=0 均有解)10.设 1， 2， 3均是 Ax=b 的解，若 1 1+ 2 2+ 3 3也是 Ax=b 的解，则 1， 2， 3应满足 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1+ 2+ 3=1）解析：三、解答题(总题数：10，分数：50.00)11.方程组是否有非零解，若没有，说明理由，若有，求方

10、程组的基础解系（分数：5.00）_正确答案：(方程组唯一零解，不存在基础解系)解析：12.求线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：(*，k 是任意常数)解析：13.求线性方程组 （分数：5.00）_正确答案：(k 1-2，1，0，0 T+k2-3，0，1，0，0 T+kn-1-n，0，0，1 T+1，1，1T，其中 k1，k 2，k n-1是任意常数)解析：14.设线性方程组（分数：5.00）_正确答案：(=0 或 =-3 时，方程组无解；0 且 -3 时，方程组有唯一解，其解为*)解析：15.设线性方程组（分数：5.00）_正确答案：(ab 且 a(1-n)b 时，方程组只有零解；a=b

11、 时，通解为 k1-1，1，0，0 T+k2-1，0，1，0，0 T+kn-1-1，0，0，1 T，其中，k 1，k 2，k n-1为常数；a=(1-n)b 时，通解为 k1，1，1 T)解析：16.线性方程组 AX= 1+k 2，其中（分数：5.00）_正确答案：(*时，方程组无解；*时，方程组有无穷多解，其通解为*，k 是任意常数)解析：17.已知 3 阶矩阵 A 的第，行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：5.00）_正确答案：(k9 时，r(B)=2，必有 r(A)=1，通解为 k11，2，3 T+k23，6，k T；k=9 时，r(B)=1，当r(A)=2 时，通解

12、为 k1，2，3 T；当 r(A)=1 时，通解为 k1b，-a，0 T+k2c，0，-a T)解析：设线性非齐次方程组（分数：5.00）(1).证明若 a1，a 2，a 3，a 4互不相等时，方程组无解（分数：2.50）_正确答案：(a ia j，ij=1，2，3，4因 r(A)=3r(A|b)=4，(|A|b|是范德蒙行列式)故方程组无解)解析：(2).设 a1=a3=k，a 2=a4=-k求方程组的通解（分数：2.50）_正确答案：(a 1=a3=k，a 2=a4=-k方程组为*通解为0，k 2，0 T+-k 2，0，1 T， 是任意常数)解析：设 A，B 均是 34 矩阵，AX=0 有

13、基础解系 1， 2， 3，BX=0 有基础解系 1， 2（分数：5.00）(1).证明 AX=0 和 BX=0 有非零公共解（分数：2.50）_正确答案：(由题奈件知 r(A)=1，r(B)=2，*有非零解，即 Ax=0 和 BX=0 有非零公共解或 1， 2， 3， 1， 2五个四维向量必线性相关，存在不全为零的数 k1，k 2，k 3， 1， 2使k1 1+k2 2+k3 3+ 1 1+ 2 2=0则 k1 1+k2 2+k3 3=- 1 1- 2 20故 AX=0 和 BX=0 有非零公共解 =k 1 1+k2 2+k3 3(或- 1 1- 2 2)解析：(2).若 AX=0 的基础解系为 1=1，-1，2，4 T， 2=0，3，1，2 T， 3=1，-2，2，0 TBX=0 的基础解系为 1=3，0，7，14 T， 2=2，1，5，1 0 T，求 AX=0 和 BX=0 的非零公共解（分数：2.50）_正确答案：(*因 1， 2均可由 1、 2、 3线性表出，故 1 1+ 2 2即是 AX=0 和 BX=0 的公共解)解析：18.已知 A 是 mn 矩阵，AX=b 有唯一解，证明 ATA 是可逆阵，并求 AX-b 的唯一解（分数：5.00）_正确答案：(A mnX=b 有唯一解*可逆AX=b 两端左乘 AT及(A TA)-1，得唯一解 X=(ATA)-1ATb)解析：