【考研类试卷】考研数学二-线性代数1及答案解析.doc

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1、考研数学二-线性代数 1 及答案解析(总分：105.03，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.设 1， 2， n是 n 维列向量，又 A=( 1， 2， n)，B=( n， 1， n-1)，若|A|=3，则|A+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_2.已知 1=(1，0，1) T， 2=(0，4，-1) T， 3=(-1，2，0) T，且 A 1=(2，1，1) T，A 2=(-3，0，4)T，A 3=(1，-1，1) T，则 A=_（分数：4.00）填空项 1:_3.设 i(i=1，2，s)是线性方程组*的 s 个不同的解，s4，则向量组 j- i|ij；

2、j=1，s，s-1；j=2，3，s 的秩等于_（分数：4.00）填空项 1:_4.已知 A 是 3 阶非零矩阵，用矩阵 A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=0，其中 B=*，则齐次方程组 Ax=0的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_5.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在 x0=(1，1，1) T的值f(x1，x 2，x 3)=*=_（分数：4.00）填空项 1:_二、选择题(总题数：10，分数：40.00)6.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A0，|B|0，|C|0，D0，且满足 ABCD=0，若

3、r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是 (A) r10 (B) 10r12 (C) 12r16 (D) r16（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 55 矩阵 A 的列向量依次为 1， 2， 3， 4， 5，即 A=( 1， 2， 3， 4， 5)，若 A 经过若干次初等行变换后化为 * 则下列结论成立的是 (A) 1， 2， 3， 4线性无关 (B) 4能由 1， 2， 3线性表出 (C) 5能由 1， 2， 3线性表出，且表示法唯一 (D) 5能由 1， 2， 3线性表出，且表示法无穷多（分数：4.00）A.B.C.D.8.设*为可逆矩阵，*，又 * 则 B-

4、1= (A) P2A-1P4 (B) A -1P2P3 (C) P1P3A-1 (D) P 4P1A-1（分数：4.00）A.B.C.D.9.设向量组()：*；向量组()：*，记 A=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，则 *（分数：4.00）A.B.C.D.10.设 A=( 1， 2， n)是 mn 矩阵，b 是 m 维列向量，则下列命题正确的是 (A) 如果非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，则 m=n 且|A|0 (B) 如果齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解 (C) 如果 1， 2， n线性无关，则 Ax=b 有唯一解 (D) 如果对任何 b，方

5、程组 Ax=b 恒有解，则 A 的行向量组线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.11.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列不能用正交变换化为对角矩阵的是 (A) AB-BA (B) A T(B+BT)A (C) BAB (D) ABA（分数：4.00）A.B.C.D.12.已知*，A 1= 1，A 2= 2，A 3=0，其中 1， 2， 3均为 3 维非零的列向 (A) (- 1，5 2， 3) (B) ( 2， 1， 3) (C) ( 1+ 2， 2， 3) (D) ( 1， 2， 2+ 3)（分数：4.00）A.B.C.D.13.设 A 是三阶实对称矩阵， 1，

6、 2， 3是三个非零特征值，且满足 a 1 2 3b，若 kA+E 是正定矩阵，则参数 k 应满足 *（分数：4.00）A.B.C.D.14.下列二次型中属于正定二次型的是 (A) f(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 (B) f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 (C) f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2 (D) f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x

7、3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D.15.设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记为 B，则下列五个关系 |A|=|B| r(A)=r(B) AB AB A*B 中正确的有 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ，（分数：4.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：9，分数：45.00)设*（分数：5.00）(1).利用初等变换消 A 中元素 a21，a 31，a 32，a 34为零；（分数：2.50）_(2).求可逆矩阵 P33，Q 44使得*（分数：2.50）_16.设 n

8、维向量组 1， 2， s线性无关，其中 s 为大于 2 的偶数以 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1，作为列向量构作矩阵 A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1， 求非齐次线性方程组()：Ax= 1+ s的通解（分数：5.00）_17.已知线性方程组 *有非零公共解，求 a 的值及其所有公共解（分数：5.00）_已知 2 维非零向量 不是 2 阶方阵 A 的特征向量（分数：5.00）(1).证明：，A 线性无关；（分数：2.50）_(2).若 ，A 满足 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并由此判定 A 能否与对角矩阵相似若能，请写出一个这样的对角矩阵（分

9、数：2.50）_设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且 A 1= 2- 3，A 2=3 1-2 2+ 3，A 3=3 1+2 2-3 3（分数：5.01）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：1.67）_(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵；（分数：1.67）_(3).求矩阵 A 的矩阵向量（分数：1.67）_设 3 阶方阵 A 满足 A 1=0，A 2=2 1+ 2，A 3=- 1+3 2- 3，其中 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，1)T， 3=(1，0，1) T（分数：5.01）(1).试证矩阵 A 能与对角矩阵 A 相似，且写出对

10、角矩阵 A；（分数：1.67）_(2).求出行列式|A 4-2A3-4A2+3A+5E|；（分数：1.67）_(3).求出矩阵 A（分数：1.67）_已知 A 是 n 阶方阵，A T是 A 的转置矩阵，（分数：5.01）(1).证明：A 和 AT有相同的特征值；（分数：1.67）_(2).举二阶矩阵的例子说明 A 和 AT的特征向量可以不相同；（分数：1.67）_(3).如果 AA，证明 ATA（分数：1.67）_18.已知 =(1，k，-2) T是二次型*矩阵 A 的特征向量，试用正交变换化二次型为标准形，并写出所用坐标变换（分数：5.00）_19.设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2，

11、3是非零的 n 维列向量，且*证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.00）_考研数学二-线性代数 1 答案解析(总分：105.03，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：5，分数：20.00)1.设 1， 2， n是 n 维列向量，又 A=( 1， 2， n)，B=( n， 1， n-1)，若|A|=3，则|A+B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：31+(-1) n+1）解析：解析 因为2.已知 1=(1，0，1) T， 2=(0，4，-1) T， 3=(-1，2，0) T，且 A 1=(2，1，1) T，A 2=(-3，0，4)T，A 3=(1，-1，1) T，则 A

12、=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 注 A 也可如下求：对 AB=C，由，即 所以3.设 i(i=1，2，s)是线性方程组*的 s 个不同的解，s4，则向量组 j- i|ij；j=1，s，s-1；j=2，3，s 的秩等于_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 对增广矩阵作初等行变换，有 因*，所以对应的导出组 Ax=0 有 n-r(A)=4-3=1 个线性无关的解向量 又向量组*为齐次线性方程组 Ax=0 的有限个解向量构成的向量组，所以它的秩1而 j- i均不是零向量，所以秩1从而该向量组的秩=14.已知 A 是 3 阶非零矩阵，用矩阵

13、A 中各行元素之和均为 0，又知 AB=0，其中 B=*，则齐次方程组 Ax=0的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：k 1 1+k2 2）解析：解析 由于矩阵 A 各行元素之和均为 0，即 *，所以 1=(1，1，1) T是齐次方程组 Ax=0 的解又因 AB=0，知矩阵 B 的列向量 2=(1，0，-3) T也是Ax=0 的解零又有 r(A)1，因此 r(A)=1故 n-r(A)=2，所以 Ax=0 的通解是 k1 1+k2 2，即k1(1，1，1) T+k2(1，0，-3) T，其中 k1，k 2为任意常数5.设 A 是 3 阶实对称矩阵，A 的每行元素的和为 5，则二

14、次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx 在 x0=(1，1，1) T的值f(x1，x 2，x 3)=*=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 A 是三阶矩阵，A 的每行元素的和为 5，故有 * (*) 记*，则在(*)两边左乘*得 *二、选择题(总题数：10，分数：40.00)6.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 A0，|B|0，|C|0，D0，且满足 ABCD=0，若 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r，则 r 的取值范围是 (A) r10 (B) 10r12 (C) 12r16 (D) r16（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析

15、因 A0，D0，故 r(A)1，r(D)1，r(A)+r(D)2又|B|0，|C|0，故 r(B)=4，r(C)=4从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)10 又由 ABCD=0，其中 B，C 可逆，则 r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4 从而有 r(A)+r(B)+r(C)+r(D)12 因此 10r12 故应选(B)7.设 55 矩阵 A 的列向量依次为 1， 2， 3， 4， 5，即 A=( 1， 2， 3， 4， 5)，若 A 经过若干次初等行变换后化为 * 则下列结论成立的是 (A) 1， 2， 3， 4线性无关 (B) 4能由 1， 2， 3线性表出 (C) 5能

16、由 1， 2， 3线性表出，且表示法唯一 (D) 5能由 1， 2， 3线性表出，且表示法无穷多（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 用初等行变换将矩阵 B 化为阶梯形矩阵 * 据此推得： *线性相关，故(A)不成立 *，所以线性方程组( 1， 2， 3)x= 4无解，即 4不能由 1， 2， 3线性表出，故(B)不成立 *，所以线性方程组( 1， 2， 3)x= 5有解，且有无穷多解，即 5能由 1， 2， 3线性表出，有表示法无穷多，故(C)不成立应选(D)8.设*为可逆矩阵，*，又 * 则 B-1= (A) P2A-1P4 (B) A -1P2P3 (C) P1P3A-1 (D

17、) P 4P1A-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 矩阵 A 经两次列变换得到矩阵 B，有 * * * 故应选(C)9.设向量组()：*；向量组()：*，记 A=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，则 *（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因 * * 故应选(A)10.设 A=( 1， 2， n)是 mn 矩阵，b 是 m 维列向量，则下列命题正确的是 (A) 如果非齐次线性方程组 Ax=b 有唯一解，则 m=n 且|A|0 (B) 如果齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解 (C) 如果 1， 2， n线性无关，则 Ax=b 有唯

18、一解 (D) 如果对任何 b，方程组 Ax=b 恒有解，则 A 的行向量组线性无关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 当 mn 时，方程组亦可能有唯一解例如 * 因为当 mn 时，Ax=b 肯定没有唯一解，mn 是有唯一解的必要条件，故(A)不对 当 Ax=0 有非零解时，Ax=b 可以无解，例如 * 当 r(A)=n 时，r(A，b)有可能为 n+1，例如 *11.设 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，则下列不能用正交变换化为对角矩阵的是 (A) AB-BA (B) A T(B+BT)A (C) BAB (D) ABA（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析

19、 对称矩阵可用正交矩阵相似对角化 (AB-BA)T=(AB)T-(BA)T=BTAT-ATBT=-BA+AB， AT(B+BT)AT=AT(B+BT)T(AT)T=AT(B+BT)A， (BAB)T=BTATBT=(-B)A(-B)=BAB， 由于 AB-BA，A T(B+BT)A，BAB 均为对称矩阵故(D)不正确，应选(D) 其实 (ABA) T=-ABA 是反对称矩阵12.已知*，A 1= 1，A 2= 2，A 3=0，其中 1， 2， 3均为 3 维非零的列向 (A) (- 1，5 2， 3) (B) ( 2， 1， 3) (C) ( 1+ 2， 2， 3) (D) ( 1， 2， 2

20、+ 3)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将可逆矩阵 P 按列向量分块，记为*，则 * * *为 A 的属于特征值 =1 的线性无关的特征向量， 3为 A 的属于特征值 =0 的特征向量 由题设知， 1， 2是 A 的属于特征值 =1 的线性无关的特征向量， 3是 A 的属于特征值 =0 的特征向量，所以 P=( 2， 1， 3)是合适的，据此可排除(B) 据特征值的性质：“若 是 A 的属于特征值 A 的特征向量，则 k(k0)也是 A 的属于特征值 的特征向量”，可推得 P=(- 1，5 2， 3)是合适的，所以排除(A) 据特征值的性质：“若 ， 均为 A 的属于 的线性无

21、关的特征向量，则 k+t(k，t 为不全为零的常数)也是 A 的属于 的特征向量”，可推得 1+ 2也是 A 的属于 4=1 的特征向量，注意当 1， 2线性无关时， 1+ 2， 1也线性无关，所以 P=( 1+ 1， 2， 3)是合适的，据此排除(C) 据特征值的性质：“若 ， 是 A 的属于不同特征值的特征向量，则 + 就不是 A 的特征向量”知， 1+ 2就不是 A 的特征向量，故 P 不能为( 1， 2， 2+ 3)，所以应选(D)13.设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3是三个非零特征值，且满足 a 1 2 3b，若 kA+E 是正定矩阵，则参数 k 应满足 *（分数：4.00

22、）A. B.C.D.解析：解析 A 有特征值 1， 2， 3，则 kA+E 有特征值 k i+1，i=1，2，3又 kA+E 正定，则要求k i+10，即*(i=1，2，3) 因 a 1 2 3b，所以 * 当*，i=1，2，3，故*时，kA+E 是正定矩阵故应选(A)14.下列二次型中属于正定二次型的是 (A) f(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2 (B) f2(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2 (C) f3(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2

23、)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2 (D) f4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (A)存在 x=(1，1，1，1) T，使得 f1(x)=0，f 1不正定 (B)存在 x=(1，-1，1，-1) T，使得 f2(x)=0，f 2不正定 (C)存在 x=(1，1，-1，-1) T，使得 f3(x)=0，f 3不正定 由排除法，知应选(D) 分析二 对(D)，f 4(x1，x 2，x 3，x 4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x

24、4+x1)2， 其中15.设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 列与第 j 列，然后再交换第 i 行和第 j 行，得到的矩阵记为 B，则下列五个关系 |A|=|B| r(A)=r(B) AB AB A*B 中正确的有 (A) ， (B) ， (C) ， (D) ，（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 将 A 的第 i 列，第 j 列互换，再将 i 行，第 j 行互换，相当于右乘、左乘相同的互换初等阵 Eij，即则 ()|E ij|=-10，是可逆阵，|E ij|2=1，故、成立()()三、解答题(总题数：9，分数：45.00)设*（分数：5.00）(1).利用初等变换消 A

25、中元素 a21，a 31，a 32，a 34为零；（分数：2.50）_正确答案：(将 A 的第 2 行乘(-2)倍加到第 3 行消 a31，a 32为零得 B，再将 B 的第 1 行乘(-1)加到第 2 行，消 a21为零，得 C，再将 C 的第 3 列加到第 4 列，得 D，即 *)解析：(2).求可逆矩阵 P33，Q 44使得*（分数：2.50）_正确答案：(将上述初等变换过程用初等阵乘法表示，即有 E12(-1)E23(-2)AE43(1)=D， 其中 * 故 *，使得 PAQ=D)解析：16.设 n 维向量组 1， 2， s线性无关，其中 s 为大于 2 的偶数以 1+ 2， 2+ 3

26、， s-1+ s， s+ 1，作为列向量构作矩阵 A=( 1+ 2， 2+ 3， s-1+ s， s+ 1， 求非齐次线性方程组()：Ax= 1+ s的通解（分数：5.00）_正确答案：(解 由题设知，线性方程组()的系数矩阵 A 为 ns 矩阵，所以()的未知量个数为 s，下证 r(A)=s-1首先由 * (*) 知，A 的 s 个列向量线性相关 其次，设有数 k1，k 2，k s-1，使 * 即 * 由题设 1， 2， s线性无关，有 * 所以 A 的前 s-1 个列向量线性无关 综上所述得 A 的列秩为 s-1，从而 r(A)=s-1 因线性方程组()的常数项组成的 n 维向量即系数矩阵

27、的第 s 列，所以(0，0，0，1) T就是()的一个特解 由()的未知量个数为 s，r(A)=s-1，推得()所对应的导出组 Ax=0 的基础解系由 s-(s-1)=1 个非零的解向量构成，由(s)知(1，-1，1，-1) T是 Ax=0 的一个非零解，所以()的通解为： (0，0，0，1) T+t(1，-1，1，-1) T，其中 t 为任意常数)解析：17.已知线性方程组 *有非零公共解，求 a 的值及其所有公共解（分数：5.00）_正确答案：(解法一 因为方程组()、()有非零公共解，即把()、()联立所得方程组()有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有 * 方程组()有非零解*a=-1

28、求出 =(2，6，2，1) T是()的基础解系，所以()与()的所有公共解是 k 解法二 对()的系数矩阵作初等行变换，得 * 所以方程组()的基础解系是 1=(-1，2，1，0) T， 2=(4，2，0，1) T 那么，()的通解是 * 将其代入()，有 因为()，()有非零公共解，故 k1，k 2必不全为 0 因此* 那么 *，即()与()的公共解是 k(2，6，2，1) T)解析：已知 2 维非零向量 不是 2 阶方阵 A 的特征向量（分数：5.00）(1).证明：，A 线性无关；（分数：2.50）_正确答案：(方法 1设 k1+k 2A=0，则必有 k2=0(否则，由*，可推出 为 A

29、 的特征向量，这与题设矛盾)由此有 k1=0因 0，所以 k1=0从而证明了 ，A 线性无关 方法 2反证法若 ，A 线性相关，则或 =k(A)，或 A=t若 A=t，这与 不是 A 的特征向量矛盾若 =k(A)，如 k=0，则与 0 矛盾如 k0，则*，这与 不是 A 的特征向量矛盾综上所述 ，A 线性无关)解析：(2).若 ，A 满足 A2+A-6=0，求 A 的全部特征值，并由此判定 A 能否与对角矩阵相似若能，请写出一个这样的对角矩阵（分数：2.50）_正确答案：(由题设有 0=A2+A-6=(A 2+A-6E) 由()，A 线性无关可推出(A-2E)=A-20 由(A+3E)(A-2

30、E)=0 可推出 A+3E 有一个特征值为 0，从而 A 有一个特征值为-3 由(A-2E)(A+3E)=0 可推出 A-2E 有一个特征值为 0，从而 A 有一个特征值为 2 这样 A 有 2 个相异的特征值，所以 A 能与对角矩阵*相似)解析：设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3是线性无关的 3 维列向量，且 A 1= 2- 3，A 2=3 1-2 2+ 3，A 3=3 1+2 2-3 3（分数：5.01）(1).求矩阵 A 的特征值；（分数：1.67）_正确答案：(由已知条件，有 * 记*，因为 1， 2， 3是 3 维线性无关的列向量，可知矩阵 P1可逆，且*，即矩阵 A 与 B

31、相似，从而 A 和 B 有相同的特征值由 * 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值： 1=0， 2=-1， 3=-4)解析：(2).求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵；（分数：1.67）_正确答案：(对应于 1=0，解齐次线性方程组(OE-B)x=0 得基础解系 1=(4，1，-1) T， 对应于 2=-1，解齐次线性方程组(-E-B)x=0 得基础解系 2=(9，1，-4) T， 对应于 3=-4，解齐次线性方程组(-4E-B)x=0 得基础解系 3=(0，-1，1) T， 那么，令 *，有* 于是 * 从而 * 为所求的可逆矩阵)解析：(3).求矩阵 A 的矩阵向量（分数

32、：1.67）_正确答案：(因为 P-1PA=A，所以矩阵 A 属于特征值 A=0 的特征向量为 k1(4 1+ 2- 3)，k 10；矩阵 A 属于特征值 =-1 的特征向量为 k2(9 1+ 2-4 3)，k 20；矩阵 A 属于特征值 =-4 的特征向量为 k3(- 2+ 3)，k 30)解析：设 3 阶方阵 A 满足 A 1=0，A 2=2 1+ 2，A 3=- 1+3 2- 3，其中 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，1)T， 3=(1，0，1) T（分数：5.01）(1).试证矩阵 A 能与对角矩阵 A 相似，且写出对角矩阵 A；（分数：1.67）_正确答案：(以*作为列向量组

33、成一个 3 阶矩阵 P，即 P=(*)，利用题设有 * * 记 * (*) 由 *知，P 为可逆矩阵，在(*)两边左乘 P-1可得 P-1AP=B，从而 A 与 B 相似，于是有 * 这表明 3 阶方阵 A 有 3 个相异的特征值 0，1，-1，所以 A 能与对角矩阵*相似)解析：(2).求出行列式|A 4-2A3-4A2+3A+5E|；（分数：1.67）_正确答案：(记 f(x)=x4-2x3-4x2+3x+5，则 A4-2A3-4A2+3A+5E=f(A) 从而|f(A)|=f(0)f(1)f(-1)=531=15)解析：(3).求出矩阵 A（分数：1.67）_正确答案：(*)解析：已知

34、A 是 n 阶方阵，A T是 A 的转置矩阵，（分数：5.01）(1).证明：A 和 AT有相同的特征值；（分数：1.67）_正确答案：(因为|E-A T|=|(E-A) T|=|E-A|，所以 A 和 AT有相同的特征值)解析：(2).举二阶矩阵的例子说明 A 和 AT的特征向量可以不相同；（分数：1.67）_正确答案：(例如，*，则 A 对应于 =1 的特征向量是 k1(1，0) T，k 1是非。常数；A 对应于 =3 的特征向量是 k2(1，1) T，k 2为非 0 常数 而*对应于 =1 的特征向量是 t1(1，-1) T，t 1是非。常数，对应于 =3 的特征向量 是 t2(0，1)

35、 T，t 2是非 0 常数)解析：(3).如果 AA，证明 ATA（分数：1.67）_正确答案：(如 AA，则存在可逆矩阵 P1使* 那么* 令* 所以 P-1ATP=A，即 ATA)解析：18.已知 =(1，k，-2) T是二次型*矩阵 A 的特征向量，试用正交变换化二次型为标准形，并写出所用坐标变换（分数：5.00）_正确答案：(解 二次型矩阵 设 =(1，k，-2) T是矩阵 A 对应于特征值 1的特征向量，按定义有 * * 由特征多项式 得到矩阵 A 的特征值为 2，0，-1 由(2E-A)x=0 得基础解系 1=(1，1-2) T； 由(0E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-1，0) T； 由(-E-A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T 因为特征值不同特征向量 1， 2， 3已两两正交，故单位化有 * 那么经正交变换 * 有*)解析：19.设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2， 3是非零的 n 维列向量，且*证明 1， 2， 3线性无关（分数：5.00）_