【考研类试卷】考研数学二-317及答案解析.doc

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1、考研数学二-317 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：47.00)1.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：2.00）2.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 （分数：1.50）3.连续函数 f(x)满足 （分数：1.50）4.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+z)-y(x)，且 （分数：1.50）5. （分数：1.50）6.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1 （分数：3.00）7.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：3.00）8.设连续函数 f

2、(x)满足 （分数：3.00）9.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：3.00）10.yy“=1+y “2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.00）11.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1 （分数：3.00）12.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：3.00）13.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：3.00）14.微分方程 （分数：3.00）15.设二阶常

3、系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （分数：3.00）16.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：3.00）17.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：3.00）18.设 f(x)可导，且 （分数：3.00）二、选择题(总题数：6，分数：18.00)19.微分方程 y“-4y=e2x+x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe

4、2x+bx2+cx D.axe2x+bx+c（分数：3.00）A.B.C.D.20.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.21.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：3.00）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)-2(x)+2(x)D.1(x)-2(x)+C2(x)22.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件

5、 y(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：3.00）A.B.C.D.23.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：3.00）A.B.C.D.24.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.三、解答题(总题数：7，分数：35.00)25.求微分方程 （分数：5.00）_26.求微分方程 （分数：5.00）_27.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解 （分数：5.00）_28.设

6、 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：5.00）_29.求微分方程 （分数：5.00）_30.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：5.00）_31.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：5.00）_考研数学二-317 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：18，分数：47.00)1.微分方程 y“+ytanx=cosx 的通解为 1 （分数：2.00）解析：(x+C)cosx 解析 通解为 y=cosxe tanxdx dx+Ce -tanxdx =(x+C)cosx2.设 f(x)在0，+)上

7、非负连续，且 （分数：1.50）解析：2x 解析 令 ，由 ，得 即 3.连续函数 f(x)满足 （分数：1.50）解析：2e 3x 解析 由 得 4.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令 y=y(x+z)-y(x)，且 （分数：1.50）解析：解析 由 ，得 ，或者 ，解得 ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 5. （分数：1.50）解析： 解析 由 得 ，则 6.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1 （分数：3.00）解析：Cx解析 令 ，代入原方程得 ，分离变量得7.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1 （分数：3.00）解析：解析 令

8、 ，则 ，代入原方程得 ，两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 8.设连续函数 f(x)满足 （分数：3.00）解析：2e 2x -e x 解析 ，则 可化为 9.微分方程(2x+3)y“=4y“的通解为 1 （分数：3.00）解析： 解析 令 y“=p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y“=C 1 (2x+3) 2 ， 于是 10.yy“=1+y “2 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=0 的解为 1 （分数：3.00）解析：x 解析 令 y“=p，则 ，即 ，解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ，则 1+p 2 =C

9、1 y 2 ，由 y(0)=1，y“(0)=0 得 ， ，由 y(0)=1 得 G 2 =0，所以特解为 11.微分方程 y“+4y=4x-8 的通解为 1 （分数：3.00）解析：C 1 cos2x+C 2 sin2x+x-2 解析 微分方程两个特征值为 1 =-2i， 2 =2i，则微分方程的通解为 y=C 1 cos2x+C 2 sin2x+x-212.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y“-6y“+9y=e 3x ，则y(x)= 1 （分数：3.00）解析： 解析 由题意得 y(0)=0，y“(0)=2，y“-6y“+9y=e

10、 3x 的特征方程为 2 -6+9=0，特征值为 1 = 2 =3， 令 y“-6y“+9y=e 2x 的特解为 y 0 (x)=ax2 e 3x ，代入得 ， 故通解为 由 y(0)=0，y“(0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 13.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1 （分数：3.00）解析： 解析 令 y“=p，则 ，则原方程化为 ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ， 由 y(-2)=1，y“(-2)=1，得 C 1 =0，所以 ，从而有 ，再由 y(-2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 14.微分方程 （分数：3.0

11、0）解析： 解析 由 ，得 ， 令 ，则 ，解得 arcsinu=ln|x|+C，则原方程通解为 15.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y“+qy=Q(x)有特解 y=3e -4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2 （分数：3.00）解析：-12x 2 -34x-19 y=C 1 e -4x +C 1 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数) 解析 显然=-4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=-12， 即特征方程为 2 +-12=0，特征值为 1 =-4， 2 =3 因为 x 2 +3x+2 为特征方程 y“+y“-12

12、y=Q(x)的一个特解，所以 Q(x)=2+2x+3-12(x 2 +3x+2)=-12x 2 -34x-19，且通解为 y=C 1 e -4x +C 1 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)16.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1 （分数：3.00）解析：y“+y“-2y=-sinx-3cosx 解析 特征值为 1 =-2， 2 =1，特征方程为 2 +-2=0， 设所求的微分方程为 y“+y“-2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y

13、“+y“-2y=-sinx-3cosx17.设 y“-3y“+ay=-5e -x 的特解形式为 Axe -x ，则其通解为 1 （分数：3.00）解析：y=C 1 e -x +C 2 e 4x +xe -x 解析 因为方程有特解 Axe -x ，所以-1 为特征值，即(-1) 2 -3(-1)+a=0 a=-4，所以特征方程为 2 -3-4=0 18.设 f(x)可导，且 （分数：3.00）解析：e -x 解析 由 得 ， 整理得 二、选择题(总题数：6，分数：18.00)19.微分方程 y“-4y=e2x+x 的特解形式为_ A.ae2x+bx+c B.ax2e2x+bx+c C.axe2x

14、+bx2+cx D.axe2x+bx+c（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为里 1 =-2， 2 =2y“-4y=e 2x 的特解形式为 y 1 =axce 2x ，y“-4y=x 的特解形式为 y 2 =bx+c，故原方程特解形式为 axe 2x +bx+c，选 D20.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e -x ，则该微分方程为_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y3=3e -x 为三阶常系

15、数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =-1，其特征方程为(-1) 2 (+1)=0，即 3 - 2 -+1=0，所 求的微分方程为 21.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为_（分数：3.00）A.C1(x)+2(x)B.C1(x)-2(x)C.C1(x)-2(x)+2(x) D.1(x)-2(x)+C2(x)解析：解析 因为 1 (x)，2 (x)为方程 y“+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)- 2 (x)为方程 y“+P(x)y=0 的一个解，于是方程 y“+

16、P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)- 2 (x)+ 2 (x)，选 C22.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 为_ A-ln3 Bln3 C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 ，积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 故 23.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为_ A.(ax+b)e-2x B.ax2e-2x C.(ax2+bx)e-2x D.x2(ax+b)e-2x（分数：

17、3.00）A.B.C. D.解析：解析 因为原方程的特征方程的特征值为 1 =-2， 2 =3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+6)e -2x ，选 C24.微分方程 y“-4y=x+2 的通解为_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 微分方程 y“-4y=0 的特征方程为 2 -4=0，特征值为-2，2，则方程 y“-4y=0 的通解为 C 1 e -2x +C 2 e 2x ，显然方程 y“-4y=x+2 有特解 三、解答题(总题数：7，分数：35.00)25.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 ，分离变量

18、得 ，两边积分得26.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 可写为 ，令 ，原方程化为 ，变量分离得 27.求微分方程 xy“+2y“=e x 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 方法一 令 y“=p，则原方程化为 解得 故 方法二 xy“+2y“=e x 两边乘以 x 得 x 2 y“+2xy“=xe x ，即(x 2 y“)“=xe x ，积分得 x 2 y“=(x-1)e x +C 1 ，即 再积分得原方程通解为 28.设 x0 时，f(x)可导，且满足： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 得 两边对 x 求导得 f(x)+xf“(x)=1+f(x)，解得， 29.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 ，得 令 ，则原方程化为 ，积分得 即 ，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 得 ，即满足初始条件的特解为 30.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得 ， 则 即原方程的通解为 31.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 令 ，则 ，解得