【考研类试卷】考研数学三（线性代数）模拟试卷93及答案解析.doc

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1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 93 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.求 （分数：2.00）_3. （分数：2.00）_4.设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_5.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=2，B=3，求A+B（分数：2.00）_6.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 2 ， 3 ， 1 )，A=a，B=b，求A+B（分数：2.00）_7.设

2、（分数：2.00）_8.计算行列式 （分数：2.00）_9.计算行列式 （分数：2.00）_10.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_11.计算 4 阶行列式 （分数：2.00）_12.计算行列式 （分数：2.00）_13.计算行列式 （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_16.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_17.证明 （分数：2.00）_18.证明 （分数：2.00）_19.证明 （分数：2.00）_20.证明 （分数：2.00）_

3、21.计算 （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_24.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 的对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 2 k ，a nn k ；f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn ) (a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_25.n 维向量 =(a，0，0，a) T

4、 ，a0，A=E T ，A=E+a -1 T ，求 a（分数：2.00）_26.A=E 一 T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 =3E 一 2A，求 T （分数：2.00）_27.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_28.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_29.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵（分数：2.00）_30.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵 （分数：2.00）_31.设 A 是一

5、个 n 阶实矩阵，使得 A T +A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_32.设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 93 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23 项 x 的次数都不超过 2，因此(x 一 3)(x 一 8)(x+1)x 中 x 3 的

6、系数一 10 就是所求)解析：解析：一般地，(x 一 a 1 )(x 一 a 2 )(x 一 a 3 )(x 一 a 4 )展开式中，x 3 的系数为一(a 1 +a 2 +a 3 +a 4 )3. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 4 个根为 x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 因为xEA是 x 的 4 次多项式，并且 x 4 的系数为 1，所以xEA=(x 一 x 1 )(x 一 x 1 )(x 一 x 3 )(x 一 x 4 )解析：解析：由例 11 的方法的启示，考察 x 3 的系数从右侧看为一(x 1 +x 2 +x 3 +x 4 )；再从左侧看，因为xEA对角线外的元

7、素都是不含 x 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(x 一 a 11 )(x 一 a 22 )(x 一 a 33 )(x 一 a 44 )这一项包含 x 3 ，并且系数为一(a 11 +a 22 +a 33 +a 44 )于是 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =a 11 +a 22 +a 33 +a 44 .4.设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第

8、m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn 次邻换于是 )解析：5.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 1 ， 2 ， 3 )，A=2，B=3，求A+B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+B=(+，2 1 ，2 2 ，2 3 )，(注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) A+B=+，2 1 ，2 2 ，2 3 =8+， 1 ， 2 ， 3 (用性质，二，三，四列都提出 2) =8(， 1 ， 2 ， 3 +， 1 ， 2 ， 3 )=8(2+3)=40)解析：6.设 4 阶矩阵 A=(， 1 ， 2 ， 3 )，B=(， 2 ， 3 ， 1 )，A=a

9、，B=b，求A+B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A+B=(+， 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 )， A+B=+， 1 + 1 ， 2 + 3 ， 3 + 1 =+，2 1 + 2 + 3 ， 2 + 3 ， 3 + 1 (把第 4 列加到第 2 列上) =+，2 1 ， 2 + 3 ， 3 + 1 (第 2 列减去第 3 列) =2+， 1 ， 2 + 3 ， 3 =2+， 1 ， 2 ， 3 =2(， 1 ， 2 ， 3 +， 1 ， 2 ， 3 ) =2(， 1 ， 2 ， 3 +， 2 ， 3 ， 1 )=2a+2bA+B=2a+2b)解析：7.设 （分数：2.

10、00）_正确答案：(正确答案：所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 依次乘一1，一 1，2，1 后的和A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 和行列式的第 3 列元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为一 1，一 1，2，1，则 A 13 ，A 23 ，A 33 ，A 43 不改变于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=一 A 13 一 A 23 +2A 33 +A 43 ! )解析：8.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行， )解析：

11、9.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先提出第 5 行的公因子 a，再把上面 4 行依次加上它的一 2a 倍，a 倍，一 a 倍和2 倍： )解析：10.已知(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这 4 个向量线性相关以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为 0 )解析：11.计算 4 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式： )解析：12.计算行列式

12、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上 2 至 4 行各减去上行： )解析：13.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算下面介绍的方法容易推广用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2 列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：)解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 列展开： A=aA 41 +aA 41 =M 11 aM 41 =1a 4 )解析：15.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先建立递推公

13、式：记此行列式为 D n 当 n3 时，对第 1 列(或行)展开，得 D n =A 11 +A 21 =D n-1 一 M 21 ，M 21 的第 1 行为(1，0，0)，它对第 1 行展开得 M 21 =D n-2 ,于是得递推公式 D n =D n-1 D n-2 ，于是用它可以从 D 1 ，D 2 的值求得 D n 事实上当 n4 时，D n =D n-1 D n-2 =D n-2 D n-3 D n-2 =一 D n-3 再由 D 1 =1，D 2 =0，D 3 =D 2 D 2 =一 1 推得 )解析：16.证明 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此行列式为

14、D n ，对第 1 行展开，得到一个递推公式 D n =(1a)D n-1 +aD n-2 下面用数学归纳法证明本题结论 (1)验证 n=1，2 时对： )解析：17.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法记此行列式为 D n ，对第 1 行展开，得递推公式 D n =2aD n-1 一 a 2 D n-2 用数列技巧计算 D n =2aD n-1 a 2 D n-2 改写为 D n 一 aD n-1 =a(D n-1 aD n-2 )，记 H n =D n 一 aD n-1 (n2)，则 n3 时 H n =aH n-1 ，即H n

15、是公比为 a 的等比数列而 H 2 =D 2 一 aD 1 =3a 2 一 2a 2 =a 2 ，得到 H n =a n ，于是得到一个新的递推公式 D n =aD n-1 +a n ，两边除以 a n ，得 D n a n =D n-1 a n-1 +1于是D n a n 是公差为1 的等差数列D 1 a=2，则 D n a n =n+1，D n =(n+1)a n )解析：18.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第 1 行展开得递推公式 D n =(a+b)D n-1 一 abD n-2 然后用数学归纳法的程序证明结论 下面用数列技巧计算 把 D n =(a+b)D n-1

16、 abD n-2 改写为 D n 一 bD n-1 =a(D n-1 bD n-2 )，则D n 一 bD n-1 是公比为 a 的等比数列D 2 一 bD 1 =a 2 ，得 D n 一 bD n-1 =a n ，于是得到一个更加简单的递推公式： D n =bD n-1 +a n ， (1) 当 a=b 时，则 D n =aD n-1 +a n ，得 D n =(n+1)a n 当 ab 时，和(1)对称地有 D n =aD n-1 +b n ， (2) a(1)一 b(2)，得(ab)D n =a n-1 一 b n-1 ， )解析：19.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本

17、题和下题在有的教材里称为“爪形行列式”，它们都可以用数学归纳法证明如本题对第 n 列展开就可得到递推公式 D n =c n D n-1 +(一 1) n-1 bbb n-1 a n 然后容易进行归纳证明 下面要说明的是对这类行列式的一个事实：只要对第 1 行展开就可以求值! 把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照： 就可看出结论也就是对每个 i，有 M 1i =b 1 b i-1 c i+1 c n 而这个等式只要写出 M 1i 就可得到： )解析：20.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只要对第 1 行展开 a 0 的代数余子式 i1 时 a i 的代数余子式 A 1i

18、+1 =(一 1) i M 1i+1 其中 于是 M 1i+1 =G i H i i =(一 1) i+1 b i c 1 c i-1 c i+1 c n )解析：21.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：各行减上行 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果每个 x i 都不是 0，各列提出公因子 x i ： )解析：23.计算 n 阶行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对第一列展开： 其中 G i 是一个对角线元素都是一 1 的 i 一 1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 ni 阶上三角矩阵，于是 M i1 =G i H

19、 i =(一 1) i-1 x n-i 代入得 )解析：24.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 的对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 2 k ，a nn k ；f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn ) (a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，C=AB，要说明 C 的对角线下的

20、元素都为 0，即ij 时，c ij =0c ij =A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，A 的第 i 个行向量的前面 i 一 1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 n 一 j 个分量都是0，而 i 一 1+n 一 j=n+(i 一 j 一 1)n，因此 c ij =0 c ii =a i1 b i1 +a ii-1 b i-1i +a ii b ii +a ii+1 b i+1i +a in b ni =a ii b ii (a i1 =a ii-1 =0，b i+1i =b ni =0)解析：25.n 维向量

21、=(a，0，0，a) T ，a0，A=E T ，A=E+a -1 T ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E 一 T )(E+a -1 T )=E E+a -1 T T 一 a -1 T T =E a -1 T T a -1 T T =0， ( T =2a 2 ) (a -1 一 12a) T =0， a -1 一 12a=0，(因为 T 不是零矩阵) 1a 一 2a 2 =0a=一 1)解析：26.A=E 一 T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 =3E 一 2A，求 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =3E 一 2A， A 2 +2A 一

22、 3E=0 (A+3E)(AE)=0， (4E 一 T )(一 T )=0， 4 T 一 T T =0，( T 是数!) (4 一 T ) T =0，(由于 ， 都是非零列向量， T 不是零矩阵) 4 一 T =0， T =4，从而 T = T =4)解析：27.证明对于任何 mn 实矩阵 A，A T A 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 A T A 是正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明 A T A 的特征值都不为负数，并且在 A 秩为 n 时 A T A 的特征值都大于 0 设 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有 A T A=，于是 T A T

23、A= T ，即 (A，A)=(，)则 =(，A)(，)0 如果 A 秩为 n，则 AX=0 没有非零解，从而 A0，(A，A0)0，因此 =(A，A)(，)0)解析：28.如果 A 正定，则 A k ，A -1 ，A * 也都正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从特征值看 设 A 的特征值为 1 ， 2 ， n i 0，i=1，2，n 则 A k 的特征值为 1 k ， 2 k ， n k i k 0，i=1，2，n 设 A -1 的特征值为 1 一 1 ， 2 一 1 ， n 一 1 i 一 1 0，i=1，2，n 设 A * 的特征值为A 1 ，A 2 ，A n A i 0，i=

24、1，2，n)解析：29.设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CC T ，则 AB=CC T B于是 C 一 1 ABC=C 一 1 CC T BC=C T BC 即 AB 相似于 CTBC而 C T BC 是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵)解析：30.设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“”先证明 AB 对称(AB) T =B T A T =BA=AB 再证明 AB 的特征值全大于0方

25、法同上题：存在可逆实矩阵 C，使得 A=CC T 则 AB=CC T B，相似于 C T BC，特征值一样，而 C T BC 是正定的，特征值全大于 0 “”AB 正定，则对称于是 BA=B T T =(AB) T =AB)解析：31.设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得 A T +A 正定，证明 A 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A T +A 正定可得A T +A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX=0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A=0，要证明 =0 T (A T +A)= T A T + T A=(A) T + T A=0 由 A T +A 的正定性得到 =0)解析：32.设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明(A+B)X=0 没有非零解 设 n 维实列向量 满足(A+B)=0，要证明 =0 注意 B 是反对称矩阵， T B=0(因为 T B=( T B) T =一 T B) T A= T A+ T B= T (A+B)=0 由 A 的正定性得到 =0)解析：