2014年江苏省无锡市中考真题数学.docx

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1、2014 年江苏省无锡市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的 ) 1.(3 分 )-3 的相反数是 ( ) A. 3 B. -3 C. 3 D. 解析： -3 的相反数是 -(-3)=3. 答案： A. 2.(3 分 )函数 y= 中自变量 x 的取值范围是 ( ) A. x 2 B. x2 C. x2 D. x2 解析： 依题意，得 2-x0 ，解得 x2. 答案： C. 3.(3 分 )分式 可变形为 ( ) A. B. - C. D. - 解析： 分式 的分子分母都乘以 -1，得 - ， 答案： ；

2、D. 4.(3 分 )已知 A 样本的数据如下： 72， 73， 76， 76， 77， 78， 78， 78， B 样本的数据恰好是A 样本数据每个都加 2，则 A， B 两个样本的下列统计量对应相同的是 ( ) A. 平均数 B. 标准差 C. 中位数 D. 众数 解析： 设样本 A 中的数据为 xi，则样本 B 中的数据为 yi=xi+2， 则样本数据 B 中的众数和平均数以及中位数和 A 中的众数，平均数，中位数相差 2， 只有标准差没有发生变化， 答案： B 5.(3 分 )某文具店一支铅笔的售价为 1.2 元，一支圆珠笔的售价为 2 元 .该店在 “61 儿童节 ”举行文具优惠售卖

3、活动，铅笔按原价打 8 折出售，圆珠笔按原价打 9 折出售，结果两种笔共卖出 60 支，卖得金额 87 元 .若设铅笔卖出 x 支，则依题意可列得的一元一次方程为 ( ) A. 1.20.8x+20.9(60+x)=87 B. 1.20.8x+20.9(60 -x)=87 C. 20.9x+1.20.8(60+x)=87 D. 20.9x+1.20.8(60 -x)=87 解析： 设铅笔卖出 x 支，由题意，得 1.20.8x+20.9(60 -x)=87. 答案： B. 6.(3 分 )已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则这个圆锥的侧面积是 ( ) A. 20cm 2 B. 2

4、0cm2 C. 40cm 2 D. 40cm2 解析： 圆锥的侧面积 =2452=20. 答案： A. 7.(3 分 )如图， ABCD ，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是 ( ) A. 1=3 B. 2+3=180 C. 2+4 180 D. 3+5=180 解析： A、 OC 与 OD 不平行， 1=3 不成立，故本选项错误； B、 OC 与 OD 不平行， 2+3=180 不成立，故本选项错误； C、 ABCD ， 2+4=180 ，故本选项错误； D、 ABCD ， 3+5=180 ，故本选项正确 . 答案： D. 8.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径， CD 是 O 的

5、切线，切点为 D， CD与 AB 的延长线交于点 C，A=30 ，给出下面 3 个结论： AD=CD ； BD=BC ； AB=2BC ，其中正确结论的个数是 ( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析： 如图，连接 OD， CD 是 O 的切线， CDOD ， ODC=90 ， 又 A=30 ， ABD=60 ， OBD 是等边三角形， DOB=ABD=60 ， AB=2OB=2OD=2BD.C=BDC=30 ， BD=BC ， 成立； AB=2BC ， 成立； A=C ， DA=DC ， 成立； 综上所述， 均成立， 答案： A. 9.(3 分 )在直角坐标系中，一直线 a 向下

6、平移 3 个单位后所得直线 b 经过点 A(0， 3)，将直线 b绕点 A顺时针旋转 60 后所得直线经过点 B(- ， 0)，则直线 a的函数关系式为 ( ) A. y=- x B. y=- x C. y=- x+6 D. y=- x+6 解析： 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b， A(0 ， 3)， B(- ， 0)， ，解得 ， 直线 AB 的解析式为 y= x+3. 由题意，知直线 y= x+3 绕点 A 逆时针旋转 60 后得到直线 b，则直线 b经过 A(0， 3)，( ， 0)，易求直线 b 的解析式为 y=- x+3， 将直线 b向上平移 3个单位后得直线 a，所以直线

7、a的解析式为 y=- x+3+3，即 y=- x+6. 答案： C. 10.(3 分 )已知 ABC 的三条边长分别为 3， 4， 6，在 ABC 所在平面内画一条直线，将 ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 ( ) A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条 解析： 如图所示： 当 BC1=AC1， AC=CC2， AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形 . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 8 小题，每小题 2分，共 16分 ) 11.(2 分 )分解因式： x3-

8、4x= . 解析： x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2). 答案： x(x+2)(x-2) 12.(2分 )据国网江苏电力公司分析，我省预计今夏统调最高用电负荷将达到 86000000千瓦，这个数据用科学记数法可表示为 千瓦 . 解析： 将 86000000 用科学记数法表示为： 8.610 7. 答案： 8.610 7. 13.(2 分 )方程 的解是 . 解析： 方程的两边同乘 x(x+2)，得 2x=x+2，解得 x=2. 检验：把 x=2 代入 x(x+2)=80. 原方程的解为： x=2. 答案： x=2. 14.(2 分 )已知双曲线 y= 经过点 (-2， 1)，则

9、 k 的值等于 . 解析： 双曲线 y= 经过点 (-2， 1)， 1= ，解得 k=-1. 答案： -1. 15.(2 分 )如图， ABC 中， CDAB 于 D， E 是 AC 的中点 .若 AD=6， DE=5，则 CD 的长等于 . 解析： 如图， ABC 中， CDAB 于 D， E 是 AC 的中点， DE=5， DE= AC=5， AC=10. 在直角 ACD 中， ADC=90 ， AD=6， AC=10，则根据勾股定理， 得 CD= = =8. 答案： 8. 16.(2 分 )如图， ABCD 中， AEBD 于 E， EAC=30 ， AE=3，则 AC 的长等于 . 解

10、析： 在直角 AOE 中， cosEAC= ， OA= = =2 ， 又 四边形 ABCD 是平行四边形， AC=2OA=4 . 答案： 4 . 17.(2 分 )如图，已知点 P 是半径为 1 的 A 上一点，延长 AP到 C，使 PC=AP，以 AC为对角线作 ABCD.若 AB= ，则 ABCD 面积的最大值为 . 解析： 由已知条件可知，当 ABAC 时 ABCD 的面积最大， AB= ， AC=2， S ABC = = ， S ABCD=2SABC =2 ， ABCD 面积的最大值为 2 . 答案： 2 . 18.(2 分 )如图，菱形 ABCD 中， A=60 ， AB=3， A

11、、 B 的半径分别为 2 和 1， P、 E、 F分别是边 CD、 A 和 B 上的动点，则 PE+PF 的最小值是 . 解析： 由题意可得出：当 P 与 D 重合时， E 点在 AD 上， F在 BD上，此时 PE+PF最小， 连接 BD， 菱形 ABCD 中， A=60 ， AB=AD ，则 ABD 是等边三角形， BD=AB=AD=3 ， A 、 B 的半径分别为 2 和 1， PE=1 ， DF=2， PE+PF 的最小值是 3. 答案： 3. 三、解答题 (本大题共 10 小题，共 84 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 19.(8 分 )(

12、1) -|-2|+(-2)0； (2)(x+1)(x-1)-(x-2)2. 解析： (1)原式第一项利用平方根定义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果； (2)原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果 . 答案： (1)原式 =3-2+1=2； (2)原式 =x2-1-x2+4x-4=4x-5. 20.(8 分 )(1)解方程： x2-5x-6=0； (2)解不等式组： . 解析： (1)方程左边分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解； (2)分别求出不等式组中两

13、不等式的解集，找出解集的公共部分即可 . 答案： (1)方程变形得： (x-6)(x+1)=0，解得： x1=6， x2=-1； (2) ， 由 得： x3 ； 由 得： x 5， 则不等式组的解集为 x 5. 21.(6 分 )如图，已知： ABC 中， AB=AC， M 是 BC 的中点， D、 E 分别是 AB、 AC边上的点，且 BD=CE.求证： MD=ME. 解析： 根据等腰三角形的性质可证 DBM=ECM ，可证 BDMCEM ，可得 MD=ME，即可解题 . 答案： 证明： ABC 中， AB=AC ， DBM=ECM ， M 是 BC 的中点， BM=CM ， 在 BDM 和

14、 CEM 中， ， BDMCEM(SAS) ， MD=ME. 22.(8 分 )如图， AB 是半圆 O 的直径， C、 D 是半圆 O 上的两点，且 ODBC ， OD与 AC 交于点E. (1)若 B=70 ，求 CAD 的度数； (2)若 AB=4， AC=3，求 DE 的长 . 解析： (1)根据圆周角定理可得 ACB=90 ，则 CAB 的度数即可求得，在等腰 AOD 中，根据等边对等角求得 DAO 的度数，则 CAD 即可求得； (2)易证 OE 是 ABC 的中位线，利用中位线定理求得 OE 的长，则 DE 即可求得 . 答案： (1)AB 是半圆 O 的直径， ACB=90 ，

15、 又 ODBC ， AEO=90 ，即 OEAC ， CAB=90 -B=90 -70=20 ， AOD=B=70. OA=OD ， DAO=ADO= = =55 CAD=DAO -CAB=55 -20=35 ； (2)在直角 ABC 中， BC= = = . OEAC ， AE=EC ， 又 OA=OB ， OE= BC= . 又 OD= AB=2， DE=OD -OE=2- . 23.(6 分 )为了解 “ 数学思想作文对学习数学帮助有多大？ ” 一研究员随机抽取了一定数量的高校大一学生进行了问卷调查，并将调查得到的数据用下面的扇形图和表来表示 (图、表都没制作完成 ). 根据图、表提供的

16、信息 . (1)请问：这次共有多少名学生参与了问卷调查？ (2)算出表中 a、 b 的值 . (注：计算中涉及到的 “ 人数 ” 均精确到 1) 解析： (1)用 “ 帮助较大 ” 的人数除以所占的百分比计算即可得解； (2)用参与问卷调查的学生人数乘以 “ 帮助很大 ” 所占的百分比计算即可求出 a，然后根据总人数列式计算即可求出 b. 答案： (1)参与问卷调查的学生人数 =54343.65%1244 ； (2)a=124425.40%=316 ， b=1244-316-543-269=1244-1128=116. 24.(10 分 )三个小球分别标有 -2， 0， 1 三个数，这三个球除

17、了标的数不同外，其余均相同，将小球放入一个不透明的布袋中搅匀 . (1)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，再记下小球上所标之数，求两次记下之数的和大于 0 的概率 .(请用 “ 画树状图 ” 或 “ 列表 ” 等方法给出分析过程，并求出结果 ) (2)从布袋中任意摸出一个小球，将小球上所标之数记下，然后将小球放回袋中，搅匀后再任意摸出一个小球，将小球上所标之数再记下， ，这样一共摸了 13 次 .若记下的 13 个数之和等于 -4，平方和等于 14.求：这 13 次摸球中，摸到球上所标之数是 0 的次数 . 解析： (1)根据题意画出

18、树状图，然后根据概率公式列式计算即 可得解； (2)设摸出 -2、 0、 1 的次数分别为 x、 y、 z，根据摸出的次数、 13 个是的和、平方和列出三元一次方程组，然后求解即可 . 答案： (1)根据题意画出树状图如下： 所有等可能的情况数有 9 种，其中两次记下之数的和大于 0 的情况有 3 种，则 P= = ； (2)设摸出 -2、 0、 1 的次数分别为 x、 y、 z， 由题意得， ， - 得， 6x=18，解得 x=3， 把 x=3 代入 得， -23+z= -4，解得 z=2， 把 x=3， z=2 代入 得， y=8， 所以 方程组的解是 ， 故摸到球上所标之数是 0 的次数

19、为 8. 25.(8 分 )(1)如图 1， RtABC 中， B=90 ， AB=2BC，现以 C 为圆心、 CB 长为半径画弧交边 AC 于 D，再以 A 为圆心、 AD 为半径画弧交边 AB 于 E.求证： = .(这个比值叫做 AE 与 AB 的黄金比 .) (2)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形 .请你以图 2 中的线段 AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形 ABC. (注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注 ) 解析： (1)利用位置数表示出 AB， AC， BC 的长，进而得出

20、AE 的长，进而得出答案； (2)根据底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，画图即可 . 答案： (1)RtABC 中， B=90 ， AB=2BC， 设 AB=2x， BC=x，则 AC= x， AD=AE=( -1)x， = = . (2)底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如图： . 26.(10 分 )如图，二次函数 y=ax2+bx(a 0)的图象过坐标原点 O，与 x 轴的负半轴交于点 A，过 A 点的直线与 y 轴交于 B，与二次函数的图象交于另一点 C，且 C点的横坐标为 -1， AC：BC=3： 1. (1)求点 A 的坐标； (2)设二次函数图象的顶点为 F，其对称轴与直线 AB

21、 及 x 轴分别交于点 D 和点 E，若 FCD与 AED 相似，求此二次函数的关系式 . 解析： (1)过点 C 作 CMOA 交 y 轴于 M，则 BCMBAO ，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，即 OA=4CM=4，由此得出点 A 的坐标为 (-4， 0)； (2)先将 A(-4， 0)代入 y=ax2+bx，化简得出 b=4a，即 y=ax2+4ax，则顶点 F(-2， -4a)，设直线 AB 的解析式为 y=kx+n，将 A(-4， 0)代入，化简得 n=4k，即直线 AB 的解析式为 y=kx+4k，则 B 点 (0， 4k)， D(-2， 2k)， C(-1， 3k).

22、由 C(-1， 3k)在抛物线 y=ax2+4ax 上，得出 3k=a-4a，化简得到 k=-a.再由 FCD 与直角 AED 相似，则 FCD 是直角三角形，又 FDC=ADE 90 ，CFD 90 ，得出 FCD=90 ， FCDAED. 再根据两点之间的距离公式得出 FC2=CD2=1+a2，得出 FCD 是等腰直角三角 形，则 AED 也是等腰直角三角形，所以 DAE=45 ，由三角形内角和定理求出 OBA=45 ，那么 OB=OA=4，即 4k=4，求出 k=1， a=-1，进而得到此二次函数的关系式为 y=-x2-4x. 答案： (1)如图，过点 C 作 CMOA 交 y 轴于 M

23、. AC ： BC=3： 1， = . CMOA ， BCMBAO ， = = = ， OA=4CM=4 ， 点 A 的坐标为 (-4， 0)； (2) 二次函数 y=ax2+bx(a 0)的图象过 A 点 (-4， 0)， 16a -4b=0， b=4a ， y=ax 2+4ax，对称轴为直线 x=-2， F 点坐标为 (-2， -4a). 设直线 AB 的解析式为 y=kx+n，将 A(-4， 0)代入，得 -4k+n=0， n=4k ， 直线 AB 的解析式为 y=kx+4k， B 点坐标为 (0， 4k)， D 点坐标为 (-2， 2k)， C 点坐标为 (-1， 3k). C( -1

24、， 3k)在抛物线 y=ax2+4ax 上， 3k=a -4a， k= -a. AED 中， AED=90 ， 若 FCD 与 AED 相似，则 FCD 是直角三角形， FDC=ADE 90 ， CFD 90 ， FCD=90 ， F CDAED. F( -2， -4a)， C(-1， 3k)， D(-2， 2k)， k=-a， FC 2=(-1+2)2+(3k+4a)2=1+a2， CD2=(-2+1)2+(2k-3k)2=1+a2， FC=CD ， FCD 是等腰直角三角形， AED 是等腰直角三角形， DAE=45 ， OBA=45 ， OB=OA=4 ， 4k=4 ， k=1 ， a=

25、 -1， 此二次函数的关系式为 y=-x2-4x. 27.(10 分 )某发电厂共有 6 台发电机发电，每台的发电量为 300 万千瓦 /月 .该厂计划从今年7 月开始到年底，对 6 台发电机各进行一次改造升级 .每月改造升级 1 台，这台发电机当月停机，并于次月再投入发电，每台发电机改造升级后，每月的发电量将比原来提高 20%.已知每台发电机改造升级的费用为 20 万元 .将今年 7 月份作为第 1 个月开始往后算，该厂第x(x 是正整数 )个月的发电量设为 y(万千瓦 ). (1)求该厂第 2 个月的发电量及今年下半年的总发电量； (2)求 y 关于 x 的函数关系式； (3)如果每发 1

26、 千瓦电可以盈利 0.04 元，那么从第 1 个月开始，至少要到第几个月，这期间该厂的发电盈利扣除发电机改造升级费用 后的盈利总额 1(万元 )，将超过同样时间内发电机不作改造升级时的发电盈利总额 2(万元 )？ 解析： (1)由题意可以知道第 1 个月的发电量是 3005 千瓦，第 2 个月的发电量为3004+300(1+20%) ，第 3 个月的发电量为 3003+3002(1+20%) ，第 4 个月的发电量为3002+3003(1+20%) ，第 5 个月的发电量为 3001+3004(1+20%) ，第 6 个月的发电量为 3005(1+20%) ，将 6 个月的总电量加起来就可以求

27、出总电量 . (2)由总发电量 =各台机器的发电量之和根据 (1)的结论设 y与 x之间的关系式为 y=kx+b建立方程组求出其解即可； (3)由总利润 =发电盈利 -发电机改造升级费用，分别表示出 1， 2，再根据条件建立不等式求出其解即可 . 答案： (1)由题意，得第 2 个月的发电量为： 3004+300(1+20%)=1560 千瓦， 今年下半年的总发电量为：3005+1560+3003+3002(1+20%)+3002+3003(1+20%)+3001+3004(1+20%)+3005(1+20%) ， =1500+1560+1620+1680+1740+1800， =9900.

28、答：该厂第 2 个月的发电量为 1560 千瓦；今年下半年的总发电量为 9900 千瓦； (2)设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b，由题意，得 ，解得： ， y=60x+1440(1x6). (3)设到第 n 个月时 1 2， 当 n=6 时， 1=99000.04 -206=276 ， 2=300660.04=432 ， 1 2不符合 . n 6. 1=9900+3606(n -6)0.04 -206=86.4n -242.4， 2=3006n0.04=72n. 当 1 2时， 86.4n-242.4 72n，解得 n 16.8， n=17. 答：至少要到第 17 个月 1超过 2

29、. 28.(10 分 )如图 1，已知点 A(2， 0)， B(0， 4)， AOB 的平分线交 AB于 C，一动点 P从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度，沿 y 轴向点 B 作匀速运动，过点 P且平行于 AB的直线交 x 轴于 Q，作 P、 Q 关于直线 OC 的对称点 M、 N.设 P运动的时间为 t(0 t 2)秒 . (1)求 C 点的坐标，并直接写出点 M、 N 的坐标 (用含 t 的代数式表示 )； (2)设 MNC 与 OAB 重叠部分的面积为 S. 试求 S 关于 t 的函数关系式； 在图 2 的直角坐标系中，画出 S 关于 t 的函数图象，并回答： S 是否有最大值

30、？若有，写出 S 的最大值；若没有，请说明理由 . 解析： (1)如答图 1，作辅助线，由比例式求出点 D 的坐标； (2) 所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论 . 答图 2-1，答图 2-2 表示出运动过程中重叠部分 (阴影 )的变化，分别求解； 画出函数图象，由两段抛物线构成 .观察图象，可知当 t=1 时， S 有最大值 . 答案： (1)如答图 1，过点 C 作 CFx 轴于点 F， CEy 轴于点 E， 由题意，易知四边形 OECF 为正方形 ，设正方形边长为 x. CEx 轴， ，即 ，解得 x= .C 点坐标为 ( ， )； PQAB ， ，即 ， OP=2OQ. P(0 ，

31、 2t)， Q(t ， 0). 对称轴 OC 为第一象限的角平分线， 对称点坐标为： M(2t， 0)， N(0， t). (2) 当 0 t1 时，如答图 2-1 所示，点 M 在线段 OA上，重叠部分面积为 SCMN . SCMN =S 四边形 CMON-SOMN =(SCOM +SCON )-SOMN =( 2t + t )- 2t t=-t2+2t； 当 1 t 2 时，如答图 2-2 所示，点 M 在 OA的延长线上，设 MN与 AB交于点 D，则重叠部分面积为 SCDN . 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b，将 M(2t， 0)、 N(0， t)代入得 ，解得 ， y= - x+t； 同理求得直线 AB 的解析式为： y=-2x+4. 联立 y=- x+t 与 y=-2x+4，求得点 D 的横坐标为 . SCDN =SBDN -SBCN = (4-t) - (4-t) = t2-2t+ . 综上所述， S= . 画出函数图象，如答图 2-3 所示： 观察图象，可知当 t=1 时， S 有最大值，最大值为 1.