【考研类试卷】考研数学三-281及答案解析.doc
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1、考研数学三-281 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:6.00)1.微分方程 y“-4y“=2cos 2 2x 的特解可设为 A.Ax+B1cos4x+B2sin4x B.A+B1cos4x+B2sin4x C.B1cos22x+B2sin22x D.B1cos4x+B2sin4x(分数:1.00)A.B.C.D.2.下列函数 z=f(x,y)在点(0,0)处不可微的是 Af(x,y)=|xy| B C D (分数:1.00)A.B.C.D.3.下列命题中正确的是 A设正项级数 发散,则 B设 收敛,则 收敛 C设 中至少一个发散,则 发散 D
2、设 收敛,则 (分数:1.00)A.B.C.D.4.下列命题 若 收敛,则 收敛, 若 为正项级数, (n=1,2,3,),则 收敛, 若 极限 =l0,且 收敛,则 收敛, 若 w n u n v n (n=1,2,3,),又 均收敛,则 (分数:1.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.下列命题 设 有相同的收敛域(-R,R),则 的收敛域为(-R,R), 设 的收敛域分别为-1,1),(-2,2),则 的收敛域为-1,1), 若幂级数 的收敛区间(-R,R)即它的收敛域,则 的收敛域可能是-R,R, 若幂级数 的收敛域为-R,R,则幂级数 (分数:1.00)A.B.C.D.6
3、.下列级数中发散的是 A B C D正项级数 ,其中 u n 满足 (分数:1.00)A.B.C.D.二、解答题(总题数:25,分数:94.00)7.设 z=z(x,y)由方程 确定,其中 F 有连续偏导数,求 (分数:3.00)_8.设 u=f(x,z),z=z(x,y)由方程 z=x+y(z)确定,其中 f(x,z)有连续偏导数,(z)有连续导数且 1-y“(z)0,求 du (分数:3.00)_9.设 u=f(x,y,z),y=sinx,(x,e y ,z 2 )=0,其中 f, 可微,求 (分数:3.00)_10.设 y=g(x,z),而 z=z(x,y)是由方程 f(x-z,xy)=
4、0 所确定,其中函数 f,g 均有连续偏导数,求 (分数:3.00)_11.设二元函数 F(,)的两个偏导数 不同时为零,u(x,y)具有二阶连续偏导数且满足 证明: (分数:3.00)_12.设 t0 时 f(t)有二阶连续导数,z=f(xy)满足 (分数:3.00)_13.设 f(x,y)在全平面有连续偏导数,满足 (分数:4.00)_14.求函数 f(x,y)=x 2 + (分数:4.00)_15.设 ba1,数 p,q 满足条件 px+qlnx(xa,b),求使得积分 I(p,q)= (分数:4.00)_16.设生产某种产品需投入两种要素,K 和 L 分别是两种要素的投入量,两种要素的
5、单位价格分别为常数 P K 和 P L ,Q 为产品的产出量设生产函数为 (分数:4.00)_设 f(u)连续,(分数:4.00)(1).将直角坐标系 xOy 中的累次积分 (分数:2.00)_(2).求 (分数:2.00)_17.设区域 D=(x,y)|1x2,0yx,x 2 +y 2 2x,求二重积分 (分数:4.00)_18.求 I= (分数:4.00)_19.设 0 为常数,求积分 (分数:4.00)_20.求二次积分 (分数:4.00)_21.求 ,其中 D 是由直线 y=x 与 (分数:4.00)_22.设 ,试判断级数 (分数:4.00)_23.设 f(x)在|x|1 上有定义,
6、在 x=0 某邻域有一阶连续的导数且 求证:(1) 发散; (2) (分数:4.00)_24.求幂级数 (分数:4.00)_25.设 的收敛半径为 R=R 0 0,求证幂级数 (分数:4.00)_26.求 (分数:4.00)_27.求级数 (分数:4.00)_28.求幂级数 (分数:4.00)_29.设 (分数:4.00)_30.设 (分数:4.00)_考研数学三-281 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:6,分数:6.00)1.微分方程 y“-4y“=2cos 2 2x 的特解可设为 A.Ax+B1cos4x+B2sin4x B.A+B1cos4x+B2
7、sin4x C.B1cos22x+B2sin22x D.B1cos4x+B2sin4x(分数:1.00)A. B.C.D.解析:解析 原方程右端的非齐次项 f(x)=1+cos4x,原方程相应齐次方程的特征方程是 2 -4=0,特征根 1 =0, 2 =4 利用解的叠加原理:相应于非齐次项 f 1 (x)=1,有形式为 y 1 * (x)=Ax( 1 =0 为单特征根)的特解,A为待定常数;相应于非齐次项 f 2 (x)=cos4x,有形式为 y 2 * (x)=B 1 cos4x+B 2 sin4x 的特解,B 1 ,B 2 为待定常数因此,原方程的特解可设为 Ax+B 1 cos4x+B
8、2 sin4x应选 A2.下列函数 z=f(x,y)在点(0,0)处不可微的是 Af(x,y)=|xy| B C D (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 这四个函数的共同点是: 因为,对 A,B,C 都有 对于 D: 同理 在式条件下,f(x,y)在点(0,0)处可微 其中 方法 1 考察 B,由 方法 2 对于 A:由 对于 C:由于 又 ,因此 3.下列命题中正确的是 A设正项级数 发散,则 B设 收敛,则 收敛 C设 中至少一个发散,则 发散 D设 收敛,则 (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 分析一 我们容易证明其中的 C 是正确的我们用反证法若 收敛,由 |a
9、 n |a n |+|b n |,|b n |a n |+|b n | 均收敛 均收敛因此应选 C 分析二 举反例,否定 A,B 与 D 关于 A:注意 1(n1),令 ,但 发散因此 A 是错误的 关于 B: ,即(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )+是由 两两添加括号而得,前者收敛得不到后者收敛如 发散,但 (a 2n-1 +a 2n ):(1-1)+(1-1)+(1-1)+是收敛的因此B 也是错的 关于 D:如 ,则 收敛,但 4.下列命题 若 收敛,则 收敛, 若 为正项级数, (n=1,2,3,),则 收敛, 若 极限 =l0,且 收敛,则
10、收敛, 若 w n u n v n (n=1,2,3,),又 均收敛,则 (分数:1.00)A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析:解析 必须逐一考察每个命题 关于命题:考察交错级数 收敛,但 发散,即命题错误 关于命题:考察 ,但 发散命题也是错误的 关于命题:考察 ,有 收敛,但 发散 因此,命题也是错误的 命题正确因为由 w n u n v n 0u n -w n v n -w n ,又因 收敛 收敛,由正项级数的比较原理 5.下列命题 设 有相同的收敛域(-R,R),则 的收敛域为(-R,R), 设 的收敛域分别为-1,1),(-2,2),则 的收敛域为-1,1), 若幂级数
11、的收敛区间(-R,R)即它的收敛域,则 的收敛域可能是-R,R, 若幂级数 的收敛域为-R,R,则幂级数 (分数:1.00)A.B. C.D.解析:解析 由选项可知,这四个命题中有两个正确,两个错误 方法 1 命题是错误的如 的收敛域均为(-1,1),但 的收敛域为(-2,2) 命题也是不正确的,如 的收敛域为-1,1,但 的收敛域为-1,1)因此,由排除法知,应选 B 方法 2 命题是正确的,因为由级数的线性性质可知, 在-1,1)收敛,在(-2,-1)1,2)必发散,再由幂级数收敛性的特点, 在(-,-22,+)也一定发散,因此收敛域是-1,1) 命题也是正确的事实上,若取 ,则它的收敛区
12、间即收敛域为(-1,1),而 6.下列级数中发散的是 A B C D正项级数 ,其中 u n 满足 (分数:1.00)A.B.C. D.解析:解析 分析一 关于 C:考察它添加括号后的级数 记为 x1 时,因 ,因添加括号后的级数发散,所以原级数也发散 0x1 时, 这说明 是负项级数,比较判别法对它是适用的因 原级数发散 故应选 C 分析二 A、B 均为交错级数显然 为证 单调下降,考察 f(x)在(1,+)单调下降 单调下降(n2)由莱布尼兹法则知,A 收敛 关于 B由于 对 n 不单调,因此不能直接用莱布尼兹法则将其分解 由 均收敛 B 收敛 考察 D: 由于 是正项级数,由条件得 u
13、n v n -u n+1 v n+1 au n+1 ,n=1,2,n,可考察它的部分和 二、解答题(总题数:25,分数:94.00)7.设 z=z(x,y)由方程 确定,其中 F 有连续偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:分析与求解一 对方程求全微分得 两边乘 xy,得 因此 分析与求解二 将方程两边分别对 x,y 求偏导数(注意 z=z(x,y)得 由式 由式 因此 8.设 u=f(x,z),z=z(x,y)由方程 z=x+y(z)确定,其中 f(x,z)有连续偏导数,(z)有连续导数且 1-y“(z)0,求 du (分数:3.00)_正确答案:()解析:分析与求解 以下求
14、dz 由 z=x+y(z)得 dz=dx+(z)dy+y“(z)dz,即 代入得 9.设 u=f(x,y,z),y=sinx,(x,e y ,z 2 )=0,其中 f, 可微,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:解:由于 z=z(x)是由方程 (x,e sinx ,z 2 )=0 确定的隐函数,故 将 (x,e y ,z 2 )=0 两端对 x 求导,得 于是 将 10.设 y=g(x,z),而 z=z(x,y)是由方程 f(x-z,xy)=0 所确定,其中函数 f,g 均有连续偏导数,求 (分数:3.00)_正确答案:()解析:分析与求解一 这里有三个变量(x,y,z),而由两个方程
15、式可确定两个因变量按题意知 x 为自变量,y 与 z 为因变量,且由方程组 确定函数 y=y(x)与 z=z(x)将方程组中每个方程两边分别对 x 求导得 解这个二元一次方程组得 分析与求解二 将方程组 两边求全微分得 f“ 1 (dx-dz)+f“ 2 (ydx+xdy)=0, dy-g“ 1 dx-g“ 2 dz=0 由上面第二式解出 dy 代入第一式,消去 dy 得 f“ 1 (dx-dz)+f“ 2 ydx+x(g“ 1 dx+g“ 2 dz)=0, 即(f“ 1 -xf“ 2 g“ 2 )dz=(f“ 1 +yf“ 2 +xf“ 2 g“ 1 )dx 解得 11.设二元函数 F(,)
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