1、考研数学三-281 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：6.00)1.微分方程 y“-4y“=2cos 2 2x 的特解可设为 A.Ax+B1cos4x+B2sin4x B.A+B1cos4x+B2sin4x C.B1cos22x+B2sin22x D.B1cos4x+B2sin4x（分数：1.00）A.B.C.D.2.下列函数 z=f(x，y)在点(0，0)处不可微的是 Af(x，y)=|xy| B C D （分数：1.00）A.B.C.D.3.下列命题中正确的是 A设正项级数 发散，则 B设 收敛，则 收敛 C设 中至少一个发散，则 发散 D
2、设 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C.D.4.下列命题 若 收敛，则 收敛， 若 为正项级数， (n=1，2，3，)，则 收敛， 若 极限 =l0，且 收敛，则 收敛， 若 w n u n v n (n=1，2，3，)，又 均收敛，则 （分数：1.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.下列命题 设 有相同的收敛域(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)， 设 的收敛域分别为-1,1)，(-2，2)，则 的收敛域为-1，1)， 若幂级数 的收敛区间(-R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是-R，R， 若幂级数 的收敛域为-R，R，则幂级数 （分数：1.00）A.B.C.D.6
3、.下列级数中发散的是 A B C D正项级数 ，其中 u n 满足 （分数：1.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：25，分数：94.00)7.设 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 有连续偏导数，求 （分数：3.00）_8.设 u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程 z=x+y(z)确定，其中 f(x，z)有连续偏导数，(z)有连续导数且 1-y“(z)0，求 du （分数：3.00）_9.设 u=f(x，y，z)，y=sinx，(x，e y ，z 2 )=0，其中 f， 可微，求 （分数：3.00）_10.设 y=g(x，z)，而 z=z(x，y)是由方程 f(x-z，xy)=
4、0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 （分数：3.00）_11.设二元函数 F(，)的两个偏导数 不同时为零，u(x，y)具有二阶连续偏导数且满足 证明： （分数：3.00）_12.设 t0 时 f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足 （分数：3.00）_13.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，满足 （分数：4.00）_14.求函数 f(x，y)=x 2 + （分数：4.00）_15.设 ba1，数 p，q 满足条件 px+qlnx(xa，b)，求使得积分 I(p，q)= （分数：4.00）_16.设生产某种产品需投入两种要素，K 和 L 分别是两种要素的投入量，两种要素的
5、单位价格分别为常数 P K 和 P L ，Q 为产品的产出量设生产函数为 （分数：4.00）_设 f(u)连续，（分数：4.00）(1).将直角坐标系 xOy 中的累次积分 （分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_17.设区域 D=(x，y)|1x2，0yx，x 2 +y 2 2x，求二重积分 （分数：4.00）_18.求 I= （分数：4.00）_19.设 0 为常数，求积分 （分数：4.00）_20.求二次积分 （分数：4.00）_21.求 ，其中 D 是由直线 y=x 与 （分数：4.00）_22.设 ，试判断级数 （分数：4.00）_23.设 f(x)在|x|1 上有定义，
6、在 x=0 某邻域有一阶连续的导数且 求证：(1) 发散； (2) （分数：4.00）_24.求幂级数 （分数：4.00）_25.设 的收敛半径为 R=R 0 0，求证幂级数 （分数：4.00）_26.求 （分数：4.00）_27.求级数 （分数：4.00）_28.求幂级数 （分数：4.00）_29.设 （分数：4.00）_30.设 （分数：4.00）_考研数学三-281 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：6.00)1.微分方程 y“-4y“=2cos 2 2x 的特解可设为 A.Ax+B1cos4x+B2sin4x B.A+B1cos4x+B2
7、sin4x C.B1cos22x+B2sin22x D.B1cos4x+B2sin4x（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 原方程右端的非齐次项 f(x)=1+cos4x，原方程相应齐次方程的特征方程是 2 -4=0，特征根 1 =0， 2 =4 利用解的叠加原理：相应于非齐次项 f 1 (x)=1，有形式为 y 1 * (x)=Ax( 1 =0 为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项 f 2 (x)=cos4x，有形式为 y 2 * (x)=B 1 cos4x+B 2 sin4x 的特解，B 1 ，B 2 为待定常数因此，原方程的特解可设为 Ax+B 1 cos4x+B
8、2 sin4x应选 A2.下列函数 z=f(x，y)在点(0，0)处不可微的是 Af(x，y)=|xy| B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 这四个函数的共同点是： 因为，对 A，B，C 都有 对于 D： 同理 在式条件下，f(x，y)在点(0，0)处可微 其中 方法 1 考察 B，由 方法 2 对于 A：由 对于 C：由于 又 ，因此 3.下列命题中正确的是 A设正项级数 发散，则 B设 收敛，则 收敛 C设 中至少一个发散，则 发散 D设 收敛，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 分析一 我们容易证明其中的 C 是正确的我们用反证法若 收敛，由 |a
9、 n |a n |+|b n |，|b n |a n |+|b n | 均收敛 均收敛因此应选 C 分析二 举反例，否定 A，B 与 D 关于 A：注意 1(n1)，令 ，但 发散因此 A 是错误的 关于 B： ，即(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n-1 +a 2n )+是由 两两添加括号而得，前者收敛得不到后者收敛如 发散，但 (a 2n-1 +a 2n ):(1-1)+(1-1)+(1-1)+是收敛的因此B 也是错的 关于 D：如 ，则 收敛，但 4.下列命题 若 收敛，则 收敛， 若 为正项级数， (n=1，2，3，)，则 收敛， 若 极限 =l0，且 收敛，则
10、收敛， 若 w n u n v n (n=1，2，3，)，又 均收敛，则 （分数：1.00）A.1 个 B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析 必须逐一考察每个命题 关于命题：考察交错级数 收敛，但 发散，即命题错误 关于命题：考察 ，但 发散命题也是错误的 关于命题：考察 ，有 收敛，但 发散 因此，命题也是错误的 命题正确因为由 w n u n v n 0u n -w n v n -w n ，又因 收敛 收敛，由正项级数的比较原理 5.下列命题 设 有相同的收敛域(-R，R)，则 的收敛域为(-R，R)， 设 的收敛域分别为-1,1)，(-2，2)，则 的收敛域为-1，1)， 若幂级数
11、的收敛区间(-R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是-R，R， 若幂级数 的收敛域为-R，R，则幂级数 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由选项可知，这四个命题中有两个正确，两个错误 方法 1 命题是错误的如 的收敛域均为(-1，1)，但 的收敛域为(-2，2) 命题也是不正确的，如 的收敛域为-1，1，但 的收敛域为-1，1)因此，由排除法知，应选 B 方法 2 命题是正确的，因为由级数的线性性质可知， 在-1，1)收敛，在(-2，-1)1，2)必发散，再由幂级数收敛性的特点， 在(-，-22，+)也一定发散，因此收敛域是-1，1) 命题也是正确的事实上，若取 ，则它的收敛区
12、间即收敛域为(-1，1)，而 6.下列级数中发散的是 A B C D正项级数 ，其中 u n 满足 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 分析一 关于 C：考察它添加括号后的级数 记为 x1 时，因 ，因添加括号后的级数发散，所以原级数也发散 0x1 时， 这说明 是负项级数，比较判别法对它是适用的因 原级数发散 故应选 C 分析二 A、B 均为交错级数显然 为证 单调下降，考察 f(x)在(1，+)单调下降 单调下降(n2)由莱布尼兹法则知，A 收敛 关于 B由于 对 n 不单调，因此不能直接用莱布尼兹法则将其分解 由 均收敛 B 收敛 考察 D： 由于 是正项级数，由条件得 u
13、n v n -u n+1 v n+1 au n+1 ，n=1，2，n，可考察它的部分和 二、解答题(总题数：25，分数：94.00)7.设 z=z(x，y)由方程 确定，其中 F 有连续偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：分析与求解一 对方程求全微分得 两边乘 xy，得 因此 分析与求解二 将方程两边分别对 x，y 求偏导数(注意 z=z(x，y)得 由式 由式 因此 8.设 u=f(x，z)，z=z(x，y)由方程 z=x+y(z)确定，其中 f(x，z)有连续偏导数，(z)有连续导数且 1-y“(z)0，求 du （分数：3.00）_正确答案：()解析：分析与求解 以下求
14、dz 由 z=x+y(z)得 dz=dx+(z)dy+y“(z)dz，即 代入得 9.设 u=f(x，y，z)，y=sinx，(x，e y ，z 2 )=0，其中 f， 可微，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：解：由于 z=z(x)是由方程 (x，e sinx ，z 2 )=0 确定的隐函数，故 将 (x，e y ，z 2 )=0 两端对 x 求导，得 于是 将 10.设 y=g(x，z)，而 z=z(x，y)是由方程 f(x-z，xy)=0 所确定，其中函数 f，g 均有连续偏导数，求 （分数：3.00）_正确答案：()解析：分析与求解一 这里有三个变量(x，y，z)，而由两个方程
15、式可确定两个因变量按题意知 x 为自变量，y 与 z 为因变量，且由方程组 确定函数 y=y(x)与 z=z(x)将方程组中每个方程两边分别对 x 求导得 解这个二元一次方程组得 分析与求解二 将方程组 两边求全微分得 f“ 1 (dx-dz)+f“ 2 (ydx+xdy)=0， dy-g“ 1 dx-g“ 2 dz=0 由上面第二式解出 dy 代入第一式，消去 dy 得 f“ 1 (dx-dz)+f“ 2 ydx+x(g“ 1 dx+g“ 2 dz)=0， 即(f“ 1 -xf“ 2 g“ 2 )dz=(f“ 1 +yf“ 2 +xf“ 2 g“ 1 )dx 解得 11.设二元函数 F(，)
16、的两个偏导数 不同时为零，u(x，y)具有二阶连续偏导数且满足 证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：分析与证明 由 u(x，y)具有二阶连续偏导数，可知 将 两端分别关于 x，y 求偏导数，可得 从而可得 若 皆不为零，则必有 若 由(*)及(*)式可知 从而也有 12.设 t0 时 f(t)有二阶连续导数，z=f(xy)满足 （分数：3.00）_正确答案：()解析：分析与求解 令 t=xy z=f(xy)=f(t)， 13.设 f(x，y)在全平面有连续偏导数，满足 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与证明一 即证：f(x，y)=f(0，0)( (x，y)转化为证明 t
17、 的一元函数 F(t)=f(tx，ty)对 t 恒为常数，为此利用复合函数求导法，把 F(t)对 t 的导数 F“(t)与 f(x，y)对x，y 的偏导数联系起来 于是 F“(t)=f“ 1 (tx，ty)x+f“ 2 (tx，ty)y= txf“ 1 (tx，ty)+tyf“ 2 (tX，ty)=0(t0) 又 F(t)对 t 连续 t，F(t)恒为常数， 因此 F(1)=F(0)，即 f(x，y)=f(0，0) ( (x，y) 分析与证明二 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，则 F(r，)=f(rcos，rsin) 又对 给定 0，2，F(r，)作为 r 的函数对 r0，连续 F(
18、r，)=F(0，) ( r0，0，2)， 即 f(x，y)=f(0，0) ( 14.求函数 f(x，y)=x 2 + （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：在 x 2 +2y 2 4 内，由 得唯一驻点 P 1 (0，0)在 x 2 +2y 2 =4 上，令 F(x，y)=x 2 + +2y 2 +(x 2 +2y 2 -4)，则其驻点应满足 (x，y)=(0，0)不是解，故先求，的非零解，于是系数行列式 当 时解得驻点 ； 当 时解得驻点 15.设 ba1，数 p，q 满足条件 px+qlnx(xa，b)，求使得积分 I(p，q)= （分数：4.00）_正确答案：()解析：解法一 化为
19、二元函数的条件最值问题曲线 y=lnx 上 点(t，lnt)处切线方程为 于是 p= ，q=lnt-1从而 p，q 满足：p=e -(q+1) 问题化成求 在条件 p-e -(q+1) =0 下的最小值点 现用拉格朗日乘子法令 F(p，q，)=I(p，q)+p-e -(q+1) ， 解方程组 因驻点唯一，又实际问题存在最小值，故此 p，q 即为所求 解法二 化为一元函数的最值问题如同解法一，求出 ，q=lnt-1 切线 y=px+q，曲线 y=lnx，x=a，x=b 围成区域的面积为 问题化为求 S(t)在a，b上的最小值 求导 S(t)在 取a，b上的最小值，对应的 解析 当 px+qlnx
20、(xa，b)时，定积分 I(p，q)的几何意义是如图(a)所示的图形的面积，即由直线 y=px+q，x=a，x=b 及曲线 y=lnx 所围区域的面积 当斜率 p 不变即平移直线 y=px+q 时，当此直线与 y=lnx 相切时所围区域的面积最小(如图(b)所示)问题变成在曲线 y=lnx(xa，b)的所有切线中求出一条切线使得所围区域面积最小，该切线的斜率与截距即为所求的 p 与 q 16.设生产某种产品需投入两种要素，K 和 L 分别是两种要素的投入量，两种要素的单位价格分别为常数 P K 和 P L ，Q 为产品的产出量设生产函数为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：为求导方便
21、，改变函数形式 当 0 时， 是 Q 的增函数，当 达到最大值时，Q 也达到最大值 又依题意，产品的成本函数为 C=P K K+P L L 故约束条件为 P K K+P L L=M 作拉格朗日函数 F(K，L，)=aK +bL +(P K K+P L L-M)，则 由、式可得 令 ，并将 K 代入式，有 从而 设 f(u)连续，（分数：4.00）(1).将直角坐标系 xOy 中的累次积分 （分数：2.00）_正确答案：()解析：分析与求解 将累次积分表成 由累次积分限知，D：0x2，xy ，如图(a)在极坐标变换下，x=2 的极坐标方程是 ，y=x 对应 于是 D 的极坐标表示是 于是将 I
22、化为极坐标系中的累次积分得 (2).求 （分数：2.00）_正确答案：()解析：分析与求解 积分区域 D(t)(t0)为圆域，如图(b)，即 由二重积分中值定理 (，)D(t)，使得 注意，t0+时(，)(00)于是 17.设区域 D=(x，y)|1x2，0yx，x 2 +y 2 2x，求二重积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 D 是圆周 x 2 +y 2 =2x(x-1) 2 +y 2 =1)的外部与OAB=(x，y)|1x2，0yx的公共部分，如图阴影部分所示 方法 1 在 xOy 直角坐标系中，选先对 y 后对 x 积分的顺序，D 表为： 方法 2 选用极坐标变换：
23、x=rcos，y=rsin，圆周的极坐标方程是 r=2cos，x=2 的极坐标方程是 ，D 的极坐标表示是 18.求 I= （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解一 区域 D 如图所示被积函数有奇偶性，积分区域 D 看起来没有对称性添加辅助线 y=-x 3 (x0)，将 D 分解成：D=D 1 D 2 ，其中 D 1 =(x，y)|-1x0，x 3 y-x 3 ，D 1 关于 x 轴对称， D 2 =(x，y)|-1x1，|x| 3 y1，D 2 关于 y 轴对称 又 xysin(x 2 +y 2 )对 x，y 均为奇函数，于是 因此， 分析与求解二 直接化成定积分 这里利用了奇函
24、数在对称区间上的积分性质，即 19.设 0 为常数，求积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 D 是圆域 ，见下图 方法 1 作极坐标变换 x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为 D 1 ： 00 ，0racos， 于是 方法 2 先作平移变换 u=x- ，v=y，则相应的 再作极坐标变换即得 方法 3 在直角坐标系下计算 于是 令 20.求二次积分 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 直接计算行不通，先表成 D 上的二重积分 确定积分区域 D=D 1 D 2 ： D 1 =(x，y)|0x1，1-xy2-x， D 2 =(x
25、，y)|1x2，0y2-x， 如图(a)所示 交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分，用分部积分法时遇到求导 的困难 方法 1 对内层积分作变量替换 t=x+y(对 y 积分时 x 为常量)得 为下面计算的方便，把 t 再换成 y，即得 I 可以写成在积分区或 D 0 上的二重积分 ，其中 D 0 是由 y 轴，直线 y=1，y=2 以及 y=x 所围成的梯形区域，如图(b)所示交换积分次序即得 方法 2 对式用分部积分公式 方法 3 改用极坐标变换令 x=rcos，y=rsin，D 由射线 =0， 及直线 ， 围成，于是 21.求 ，其中 D 是由直线 y=x 与 （分数：4.00）_正确
26、答案：()解析：解：积分区域 D 如图所示 设 R0，且 D R =Dx 2 +y 2 R 2 ，则 引入极坐标 x=rcos，y=rsin，则 从而 于是 22.设 ，试判断级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 直接求 a n 办不到，直接估计 a n 也行不通用分部积分法将 a n 分解 记 ，易知交错级数 条件收敛 现估计 由于 又 绝对收敛 因此 23.设 f(x)在|x|1 上有定义，在 x=0 某邻域有一阶连续的导数且 求证：(1) 发散； (2) （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与证明 首先由条件 及极限的不等式性质可知， 0，当 0x 时 f(x
27、)0 n 充分大后 ，不妨认为 ，n=1，2，3，(因为改变有限项不改变级数的敛散性)于是， 是正项级数， 是交错级数下面用有关判别法则考察它们的敛散性 (1)由函数极限与数列极限的关系 (2)为了用莱布尼兹法则证明交错级数， 收敛，需考察极限 及数列 的单调性为此，先由条件导出 f(x)在 x=0 邻域的性质由 由 f“(x)在 x=0 连续，即 再由极限的不等式性质 ，当 0x 时 f“(x)0 f(x)在(0，)单调上升 现由 又由 f(x)在(0，)单调上升 n 充分大时 单调下降 于是，由莱布尼兹判别法得到 24.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 这是缺项
28、幂级数(有无穷多项系数为 0)，若先求它的收敛半径时常犯的错误是： 由 因为若把原级数表为 时， 不是 a n 而是 a 2n ，其中 a 2n-1 =0，故 不存在 对这类幂级数，求收敛半径的方法是： 方法 1 把该级数表为 ，用根值判别法得 当 即 收敛，当 收敛半径 R= 方法 2 变量替换法令 t=x 2 ，对 用求 R 公式 原级数的收敛半径 R= 因此原幂级数的收敛区间是 再考察端点 x= 的敛散性 当 时，由于 显然 收敛，而 ，因此 收敛，从而原级数 收敛 因此原幂级数的收敛域是 25.设 的收敛半径为 R=R 0 0，求证幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与
29、证明 即证 ，幂级数 均收敛任取|x 0 |R 0 ，x 0 0，考察 的关系并利用比较判别法 注意， 给定的 x， 由 有界，即 M(n=0，1，2，)，M0 为某常数，于是 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 收敛 由比较原理 26.求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 (1)求收敛域：原幂级数记为 ，由 收敛域为(-，+) (2)求和函数方法 1 分解法 为了用 ，对原级数进行分解，记原级数的和为 S(x)，则 其中 因此 ， S(0)=0 方法 2 逐项积分与逐项求导法 我们也是为了利用 e -x 的展开式，作如下变形： 下先求 xS(x)“=xg“(x)， 27.求级数
30、（分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 这是缺项幂级数(有无穷多项系数为零)，且 有相同收敛域作变量替换，令 t=x 2 ，考察级数 ，为求收敛半径，计算 故收敛半径 R=+，即原幂级数的收敛半径 R=+，收敛域为(-，+) 令 逐项求导得 逐项求导后虽未得到 S“(x)的和函数，但得到 S(x)满足的一阶微分方程，又 S(0)=0，即得初值问题 求解这个初值问题就可求得 S(x)两边乘 得 积分并利用 S(0)=0 得 28.求幂级数 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解：不难求得此幂级数的收敛半径 R=1，收敛域为-1，1设幂级数的和函数为 S(x)，即设 记 T(x)=
31、xS(x)，则 T(0)=T“(0)=0，且当-1x1 时 积分两次，依次可得 故 由于幂级数 在 x=1 与 x=-1 两点处都收敛，且和函数 S(x)在 x=1 与 x=-1 两点都连续，从而上述和函数公式在 x=1 与 x=-1 两点也成立，即 29.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 首先求幂级数 的收敛半径 R 因为 ，从而题设幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时幂级数成为正项级数 ，由于其一般项 ，又级数 收敛，从而由比较判别法即知幂级数在 x=1 收敛当 x=-1 时幂级数成为交错级数 ，显然是绝对收敛的故幂级数 的收敛域为-1，1由定理即知其和函数 f(x)在闭区间-1，1上连续 其次在收敛区间(-1，1)内幂级数可逐项求导，从而当 x(-1，1)时 由于幂级数 30.设 （分数：4.00）_正确答案：()解析：分析与求解 由已知 现逐项积分得 (因为逐项积分保持收敛域不变，由
