【考研类试卷】考研数学一（高等数学）-试卷50及答案解析.doc

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1、考研数学一（高等数学）-试卷 50 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有界，则y n 必为无穷小。D.若 3.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在 x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)=x(1-x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是

2、 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。5.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行。B.a，b，c 两两相互垂直。C.a，b，c 中至少有一个为零向量。D.a，b，c 共面。7.设 z=

3、 （分数：2.00）A.不连续。B.连续但偏导数不存在。C.连续且偏导数存在但不可微。D.可微。8.设 ，对于该曲线积分容易验证 （分数：2.00）A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0。B.积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0。D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线。9.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y(2)=1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。B.xy=4。C.x 2 y=4。D.x-xy=4。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_1

4、1.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)是由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 a 1 =1， =2021，则级数 （分数

5、：2.00）填空项 1:_18.已知 y 1 =e 3x -xe 2x ，y 2 =e x -xe 2x ，y 3 =-xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_20.求极限 （分数：2.00）_21.证明 （分数：2.00）_22.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_23.证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，y 0 )f y

6、(x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_24.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。（分数：2.00）_25.设函数 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 （分数：2.00）_26.设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置。（分数：2.00）_27.设正项数列a n 单调减少，且 发散，试问级数

7、 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 50 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有界，则y n 必为无穷小。D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足 ，由此可排除 A、B。若取 x n =0，y n =n，也满足 3.设函数 f(x)在 x=a 的某邻域内有定义，则 f(x)在

8、x=a 处可导的一个充分条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为4.设 f(x)=x(1-x)，则( )（分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点。B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。C.x=0 是 f(x)的极值点，且(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点。 D.x=0 不是 f(x)的极值点，且(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：因为5.设函数 f(x)连续，则在下列变上限积分定义的函数中，必为偶函数的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：

9、取 f(x)=x，则相应的6.已知 ab+bc+ca=0，则必有( )（分数：2.00）A.a，b，c 两两相互平行。B.a，b，c 两两相互垂直。C.a，b，c 中至少有一个为零向量。D.a，b，c 共面。 解析：解析：由 ab+bc+ca=0 知 (ab).c+(bc).c+(ca).c=0， 而(bc).c+(ca).c=0，所以(ab).c=0。故 a，b，c 共面，应选 D。7.设 z= （分数：2.00）A.不连续。B.连续但偏导数不存在。C.连续且偏导数存在但不可微。 D.可微。解析：解析：由于 ，则 z(x，y)在点(0，0)处连续，A 错误。 所以 z(x，y)在点(0，0)

10、处偏导数存在，B 错误。8.设 ，对于该曲线积分容易验证 （分数：2.00）A.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，恒有 I=0。B.积分 C.对于任何不过坐标原点的闭曲线 L，I0。D.当 L 围成区域 D 不包含坐标原点时，I=0，其中 L 为分段光滑的简单闭曲线。 解析：解析：当 L 围成的区域 D 不包含坐标原点时，由格林公式得9.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y(2)=1 的特解为( )（分数：2.00）A.xy 2 =4。B.xy=4。C.x 2 y=4。 D.x-xy=4。解析：解析：原微分方程分离变量得 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)10.= 1。 （

11、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sinx 2）解析：解析：令 x-t=u，则12.设 y=y(x)是由方程 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 确定的，则 y=y(x)的极值点是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=1）解析：解析：方程两边对 x 求导，可得 y“(3y 2 -2y+x)=x-y， (*) 令 y“=0，有 x=y，代入 2y 3 -2y 2 +2xy-x 2 =1 中，可得 (x-1)(2x 2 +x+1)=0， 则 x=1 是唯

12、一的驻点。 对(*)式求导得 y“(3y 2 -2y+x)+y“(3y 2 -2y+x)“=1-y“， 把 x=y=1，y“(1)=0 代入上式，得 y“(1)= 13.设 a0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式可化为 根据定积分的几何意义可得 (半径为 a 的半圆的面积)，所以14.直线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：设直线与平面的夹角为 ，直线与平面法向量的夹角为 ，直线的方向向量是 平面的法向量是 n=(1，-1，-1)， 则15.已知曲线 L 为圆 x 2 +y 2 =a 2 在第一象限的部分，则

13、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 x 2 +y 2 =a 2 化为参数方程形式： 16.设球体 x 2 +y 2 +z 2 z 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 z 坐标 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由质心公式可得17.设 a 1 =1， =2021，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2020）解析：解析：级数 的部分和数列为 S n =(a 2 -a 1 )+(a 3 -a 2 )+(a n+1 -a n ) =a n+1 -a 1 =a n+1 -

14、1， 则 18.已知 y 1 =e 3x -xe 2x ，y 2 =e x -xe 2x ，y 3 =-xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e 3x +C 2 e x -xe 2x）解析：解析：显然 y 1 -y 2 =e 3x 和 y 2 -y 3 =e x 是对应的二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解。且 y * =-xe 2x 是非齐次微分方程的一个特解。 由解的结构定理，该方程的通解为 y=C 1 e 3x +C 2 e x -xe 2x 。三、解答题(总题数：9，分数：

15、18.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)= ，可得 故 f“(x)0，而 f(0)=0，所以有 f(x)f(0)=0 即得故 f“(x)0，所以有 f(x)f(0)，即得 综上可知， )解析：22.设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：连续利用分部积分法有 )解析：23.证明可微的必要条件：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则 f x (x 0 ，

16、y 0 )f y (x 0 ，y 0 )都存在，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微，则等式z=Ax+By+ 成立。令y=0，于是 令x0，有 =B，于是证明了 f x (x 0 ，y 0 )与 f y (x 0 ，y 0 )存在，并且 )解析：24.设 z=z(x，y)是由 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，于是有 将

17、上式代入 x 2 -6xy+10y 2 -2yz-z 2 +18=0，可得 再对(1)(2)求偏导数，则有 于是 所以点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3。 类似的，由 )解析：25.设函数 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，并且对任意 t 恒有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据曲线积分和路径无关的条件，可知 因此有 Q(x，y)=x 2 +C(y)成立，其中 C(y)为待定函数。 又因为 由已知可知 )解析：26.设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任

18、一点的密度与该点到 P 0 距离的平方成正比(比例常数 k0)，求球体的重心位置。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 1-6-14 所示，以 表示球体，以 的球心表示原点 O，射线 DP 0 为正 x轴建立直角坐标系，则点 P 0 的坐标为(R，0，0)，球面方程为 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 。 设 的重心为 ，由对称性，得 而-2xR 是关于 x 的奇函数，所以 )解析：27.设正项数列a n 单调减少，且 发散，试问级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于正项数列a n 单调递减，所以极限 存在，将极限记为 a，则有 a n a，且 a0。 又因为 是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知 a0(否则级数 是收敛的)。 已知正项级数a n 单调递减，所以 而 收敛，因此根据比较判别法可知，级数 )解析：